線性代數(shù)行列式學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第一頁，共110頁。第1頁/共109頁第二頁，共110頁。同濟(jì)大學(xué)同濟(jì)大學(xué)(tn j d xu)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)系系.線性代數(shù)線性代數(shù)M.第六版第六版.北京：北京：高等教育出版社，高等教育出版社，2014.第2頁/共109頁第三頁，共110頁。第3頁/共109頁第四頁，共110頁。第4頁/共109頁第五頁，共110頁。nn行列式的概念行列式的概念(ginin).(ginin).行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算(j sun).(j sun).第5頁/共109頁第六頁，共110頁。在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組元、三元等簡單的線性方程組.但是，從許多實(shí)踐

2、或理論問題但是，從許多實(shí)踐或理論問題(wnt)里導(dǎo)出的線性方程組常常里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等相等.第6頁/共109頁第七頁，共110頁。我們先討論未知量的個數(shù)與方程我們先討論未知量的個數(shù)與方程(fngchng)的個數(shù)相等的特殊情形的個數(shù)相等的特殊情形.在討論這一類線性方程在討論這一類線性方程(fngchng)組時，我們引入行列式這個計(jì)算工組時，我們引入行列式這個計(jì)算工具具.第7頁/共109頁第八頁，共110頁。我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探

3、求其求解求其求解(qi ji)(qi ji)公式，并設(shè)法化簡此公式公式，并設(shè)法化簡此公式. .第8頁/共109頁第九頁，共110頁。二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 當(dāng)當(dāng) 時，該方程組有唯一時，該方程組有唯一(wi y)(wi y)解解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第9頁/共109頁第十頁，共110頁。求解求解(

4、qi ji)公式為公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式請觀察，此公式(gngsh)(gngsh)有何特點(diǎn)？有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定. .分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得相減而得. .第10頁/共109頁第十一頁，共110頁。其求解其求解(qi ji)公式為公式為11112212112222a xa xba xa xb

5、 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 我們引進(jìn)新的符號我們引進(jìn)新的符號(fho)來表示來表示“四四個數(shù)分成兩對相乘再相減個數(shù)分成兩對相乘再相減”.1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa記號記號(j ho) 11122122aaaa數(shù)表數(shù)表 表達(dá)式表達(dá)式 稱為由該稱為由該數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表

6、明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原則：橫行豎列原則：橫行豎列第11頁/共109頁第十二頁，共110頁。二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算(j sun) 11122122aaaa11221221a aa a主對角線主對角線 副對角線副對角線 即：主對角線上兩元素即：主對角線上兩元素(yun s)(yun s)之積副對角線上兩元素之積副對角線上兩元素(yun s)(yun s)之積之積 對角線法則對角線法則(fz) 第12頁/共109頁第十三頁，共110頁。二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb

7、若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程組的系數(shù)方程組的系數(shù)(xsh)(xsh)行列式行列式) )則上述則上述(shngsh)二元線性方程組的解可表示為二元線性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 第13頁/共109頁第十四頁，共110頁。例例1 求解求解(qi ji)二元線性方程組二元線性方程組 1212232121xxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) (yn wi) 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D2

8、1243121232 D所以所以(suy) (suy) 11142,7DxD222137DxD 第14頁/共109頁第十五頁，共110頁。定義定義(dngy) 設(shè)有設(shè)有9個數(shù)排成個數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則原則(yunz)：橫：橫行豎列行豎列引進(jìn)記號引進(jìn)記號稱為稱為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則

9、二階行列式的對角線法則并不適用！并不適用！第15頁/共109頁第十六頁，共110頁。三階三階(sn ji)行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算 對角線法則對角線法則(fz) 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：對角線法則注意：對角線法則(fz)(fz)只適用于二階與三階行列式只適用于二階與三階行列式. . 實(shí)線上的三個元素的乘積冠正號，實(shí)線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號. .第16頁

10、/共109頁第十七頁，共110頁。12-4-221-34-2D 例例2 2 計(jì)算計(jì)算(j sun)(j sun)行列式行列式 解解按對角線法則按對角線法則(fz)(fz)，有，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第17頁/共109頁第十八頁，共110頁。方程方程(fngchng)左端左端解解由由 得得2111230.49xx 例例3 3 求解求解(qi ji)(qi ji)方程方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或第18頁/共109頁第十九頁，共110頁。利用利用(lyng)(ly

11、ng)對角線法則計(jì)算下列三階行對角線法則計(jì)算下列三階行列式：列式：xyxyyxyxxyxy 332()xy 第19頁/共109頁第二十頁，共110頁。主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、排列及其逆序數(shù)一、排列及其逆序數(shù)二、對換二、對換(du hun)(du hun)的定義的定義三、對換三、對換(du hun)(du hun)與排列與排列奇偶性的關(guān)系奇偶性的關(guān)系第20頁/共109頁第二十一頁，共110頁。引例引例(yn (yn l)l)用用1 1、2 2、3 3三個數(shù)字，可以組成多少三個數(shù)字，可以組成多少(dusho)(dusho)個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位

12、3 3種放法種放法十位十位(sh wi)1231個位個位1232 2種放法種放法1 1種放法種放法種放法種放法. .共有共有6123 一一、排列及其逆序數(shù)排列及其逆序數(shù)第21頁/共109頁第二十二頁，共110頁。問題問題 把把 n 個不同的元素個不同的元素(yun s)排成一列，共有多少種不同的排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義(dngy) 把把 n 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 n 個個元素的全排列元素的全排列. n 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 顯然顯然(

13、xinrn) 即即n 個不同的元素一共有個不同的元素一共有n! 種不同的排法種不同的排法.第22頁/共109頁第二十三頁，共110頁。所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前排在小的數(shù)之前.因此因此(ync)大部分的排列都不是大部分的排列都不是“順序順序”，而是，而是“逆序逆序”. 3個不同個不同(b tn)的元素一共有的元素一共有3! =6種不同種不同(b tn)的排法的排法123，132，213，231，312，321第

14、23頁/共109頁第二十四頁，共110頁。25對于對于n 個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)次序次序.n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)次序次序.定義定義 當(dāng)某兩個元素當(dāng)某兩個元素(yun s)的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素就稱這兩個元素(yun s)組成一個逆序組成一個逆序.例如例如(lr) 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：3和和1，2和

15、和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序.第24頁/共109頁第二十五頁，共110頁。定義定義 排列中所有排列中所有(suyu)逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)數(shù).排列排列(pili) (pili) 的逆序數(shù)通常記為的逆序數(shù)通常記為 . .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列奇排列(pili)(pili)：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列(pili).(pili).偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. .思考題：思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如

16、：123）的逆序數(shù)等于）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列零，因而是偶排列. .第25頁/共109頁第二十六頁，共110頁。計(jì)算排列的逆序數(shù)計(jì)算排列的逆序數(shù)(xsh)的方法的方法則此排列則此排列(pili)的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為12ntttt設(shè)設(shè) 是是 1, 2, , n 這這n 個自然數(shù)的任一排列個自然數(shù)的任一排列(pili)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個比先看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個比再看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面

17、，記為 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt第26頁/共109頁第二十七頁，共110頁。例例1：求排列求排列(pili) 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù).解：解：(32514)010315t 練習(xí)練習(xí)(linx)1(linx)1：求排列求排列(pili) 453162 的逆序數(shù)的逆序數(shù).9t 解：解：思考思考1 1：設(shè)設(shè)n階排列階排列a1 a2 an-1 an的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為k，求，求n階排列階排列an an-1 a2 a1的逆序數(shù)？的逆序數(shù)？n ntk(1)2 解：解：第27頁/共109頁第二十八頁，共110頁。練習(xí)：計(jì)算練習(xí)：計(jì)算(j sun)下列排列的逆序數(shù)，并討論其下

18、列排列的逆序數(shù)，并討論其奇偶性奇偶性(2 )1(21)2(22)3(23)(1)(1) .kkkkkkk 第28頁/共109頁第二十九頁，共110頁。111lmnaabbcb ca定義定義(dngy) (dngy) 在排列中，將任意兩個在排列中，將任意兩個(lin )(lin )元素對調(diào)，其余元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對換，叫做將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換相鄰對換例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb第29頁/共109頁第三十頁，共110頁。備注備注相鄰對換相鄰對

19、換(du hun)(du hun)是對換是對換(du hun)(du hun)的特殊情形的特殊情形. . 一般的對換一般的對換(du hun)(du hun)可以通過一系列的相鄰對換可以通過一系列的相鄰對換(du hun)(du hun)來實(shí)現(xiàn)來實(shí)現(xiàn). . 如果連續(xù)施行兩次相同的對換如果連續(xù)施行兩次相同的對換(du hun)(du hun)，那么排列就還原了，那么排列就還原了. . m 次相鄰對換次相鄰對換 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cbm+1次相鄰對換次相鄰對換 m 次相鄰對換次相鄰對換 111 lmnaabbcacb111 lm

20、naabbcb cam+1次相鄰對換次相鄰對換 第30頁/共109頁第三十一頁，共110頁。定理定理1 1對換對換(du hun)(du hun)改變排列的奇偶性改變排列的奇偶性. . 證明證明(zhn(zhngmnggmng) )先考慮相鄰對換的情形先考慮相鄰對換的情形 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 第31頁/共109頁第三十二頁，共110頁。11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 注意到除注意到除 外，其它外，其它(qt)

21、(qt)元素的逆序數(shù)不改變元素的逆序數(shù)不改變. ., a b第32頁/共109頁第三十三頁，共110頁。11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . ab 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . ab 因此因此(ync)(ync)相鄰對換改變排列的奇偶性相鄰對換改變排列的奇偶性. . 1aartbbrt aart 1bbrt1rt 1rt 第33頁/共109頁第三十四頁，共110頁。既然相鄰對換改變排列既然相鄰對換改變排列(pili)(pili)的奇偶性，那么的奇偶性，那么 2m+1次相鄰對換次相

22、鄰對換因此，一個排列因此，一個排列(pili)(pili)中的任意兩個元素對換，排列中的任意兩個元素對換，排列(pili)(pili)的的奇偶性改變奇偶性改變. .111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cb推論推論(tuln) (tuln) 奇排列奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)奇數(shù)， 偶排列偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶數(shù). . 由定理由定理1 1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列( (逆序數(shù)為零逆序數(shù)為零) )，因此可知推論成，因此可

23、知推論成立立. .證明證明 第34頁/共109頁第三十五頁，共110頁。第35頁/共109頁第三十六頁，共110頁。第36頁/共109頁第三十七頁，共110頁。1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以 n n 個元素相乘的次序個元素相乘的次序(cx)(cx)是可以任意的，即是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與與 都同時作一次對換，即都同時作一次對換，即 與與 同時改變奇偶性，但是這兩個同時改變奇偶性，但是這兩個(lin

24、)(lin )排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變之和的奇偶性不變. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii第37頁/共109頁第三十八頁，共110頁。于是于是(ysh) (ysh) 與與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù). . 即即 是偶數(shù)是偶數(shù)(u sh). (u sh). 因?yàn)閷Q改變排列因?yàn)閷Q改變排列(pili)(pili)的奇偶性，的奇偶性， 是奇數(shù)，是奇數(shù)， 也也是奇數(shù)是奇數(shù). . 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 . . st s t所以所以 是偶數(shù)，是偶數(shù)， ss tt (

25、)()sstt()()stst()st ()st 因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變. .1 12 2,n ni ji ji jaaa設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為第38頁/共109頁第三十九頁，共110頁。1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過

26、多次對換還是(hi shi)(hi shi)如此如此. . 所以，在一系列對換之后有所以，在一系列對換之后有第39頁/共109頁第四十頁，共110頁。定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第40頁/共109頁第四十一頁，共110頁。例例1 試判斷試判斷(pndun) 和和142331425665a a a a a a32

27、4314512566a a a a a a 是否是否(sh fu)都是六階行列式中的項(xiàng)都是六階行列式中的項(xiàng).解解下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 4312650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng).142331425665a a a a a a 行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和(341526)(234156)538tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng).324314512566a a a a a a 第41頁/共109頁第四十二頁，共110頁。例例2

28、用行列式的定義用行列式的定義(dngy)計(jì)算計(jì)算 0001000200100000000nDnn 第42頁/共109頁第四十三頁，共110頁。 1221!nnnDn 解解 1,12,21,11 1 1 21 1!tnnnnnnttDaaaannn 12212321122 tnnnnnnn 第43頁/共109頁第四十四頁，共110頁。1. 對換改變對換改變(gibin)排列奇偶性排列奇偶性2. 行列式的三種行列式的三種(sn zhn)表示方法表示方法121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1

29、 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第44頁/共109頁第四十五頁，共110頁。第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二階與三階二階與三階(sn ji)(sn ji)行行列式列式1.2 1.2 全排列和對換全排列和對換1.3 n1.3 n階行列式的定義階行列式的定義1.4 1.4 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)1.5 1.5 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開第45頁/共109頁第四十六頁，共110頁。111213212223313233aaaDaaaaaa 11223312233113213

30、2132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a規(guī)律：規(guī)律：三階行列式共有三階行列式共有6 6項(xiàng)，即項(xiàng)，即3!3!項(xiàng)項(xiàng)每一項(xiàng)都是位于每一項(xiàng)都是位于(wiy)(wiy)不同行不同列的三個元素的乘積不同行不同列的三個元素的乘積每一項(xiàng)可以寫成每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中 是是1 1、2 2、3 3的某個排列的某個排列. .當(dāng)當(dāng) 是偶排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取正號；是偶排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取正號； 當(dāng)當(dāng) 是奇排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號是奇排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號. . 123123pppaaa123p p p123p p p123p p p第

31、46頁/共109頁第四十七頁，共110頁。所以，三階所以，三階(sn ji)(sn ji)行列式可以寫成行列式可以寫成 123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 其中其中(qzhng) (qzhng) 表示對表示對1 1、2 2、3 3的所有排列求和的所有排列求和. . 123p p p 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律(gul).(gul).下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. . 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a a

32、a a aa a aa a aa a a第47頁/共109頁第四十八頁，共110頁。1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項(xiàng)項(xiàng)2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積個元素的乘積3.每一項(xiàng)可以寫成每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中4. 是是1, 2, , n 的某個排列的某個排列.5.當(dāng)當(dāng) 是偶排列時，對應(yīng)是偶排列時，對應(yīng)(duyng)的項(xiàng)取正號；的項(xiàng)取正號；6. 當(dāng)當(dāng) 是奇排列時，對應(yīng)是奇排列時，對應(yīng)(duyng)的項(xiàng)取負(fù)號的項(xiàng)取負(fù)號. 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121

33、222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 簡記簡記(jin j)(jin j)作作 ，其中其中 為行列式為行列式D D的的(i, j)(i, j)元元det()ijaija第48頁/共109頁第四十九頁，共110頁。思考題：思考題： 成立成立(chngl)嗎？嗎？答：符號答：符號 可以可以(ky)(ky)有兩種理解：有兩種理解：若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ；若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . .11 1 11 11 注意：當(dāng)注意：當(dāng)n = 1時，一階行列式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對值

34、的記號相混淆絕對值的記號相混淆(hnxio). 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 第49頁/共109頁第五十頁，共110頁。111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：寫出四階行列式中含有寫出四階行列式中含有(hn yu)(hn yu)因子因子 的項(xiàng)的項(xiàng). . 2311aa例：例：計(jì)算計(jì)算(j sun)(j sun)行列式行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 11212243232334142

35、4344000000aaaDaaaaaaa 第50頁/共109頁第五十一頁，共110頁。解：解：112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中(qzhng) (qzhng) 第51頁/共109頁第五十二頁，共110頁。111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa

36、11223344a a a a a a a a11223344 第52頁/共109頁第五十三頁，共110頁。12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四個結(jié)論四個結(jié)論(jiln)：(1) (1) 對角對角(du jio)(du jio)行列式行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa 第53頁/共109頁第五十四頁，共110頁。nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素（主對角線下側(cè)元素(yun s)(yun s)都為都為0 0

37、）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素（主對角線上側(cè)元素(yun s)(yun s)都為都為0 0）nnaaa2211 第54頁/共109頁第五十五頁，共110頁。思考題：用定義思考題：用定義(dngy)計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：用樹圖分析解：用樹圖分析(fnx)111 13 33 31 12 23 311222211(2134)1t(2143)2t(2413)3t(2431)4t491223D故故1130230021011210D第55頁/共109頁第五十六頁，共110頁。思考題思考題已知已知 ，求，求 的系數(shù)的系數(shù)(xsh). 12111231

38、11211xxxxxf 3x第56頁/共109頁第五十七頁，共110頁。故故 的系數(shù)的系數(shù)(xsh)為為1.解解含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即3x 1211123111211xxxxxf 對應(yīng)對應(yīng)(duyng)于于 124311223443( 1)ta a a a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a a ax 3x第57頁/共109頁第五十八頁，共110頁。1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因?yàn)閿?shù)的乘法是可以因?yàn)?/p>

39、數(shù)的乘法是可以(ky)(ky)交換的，所以交換的，所以 n n 個元素個元素相乘的次序是可以相乘的次序是可以(ky)(ky)任意的，即任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與與 都同時作一次對換，即都同時作一次對換，即 與與 同時改變同時改變(gibin)(gibin)奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變之和的奇偶性不變. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii第58頁/共109頁第五十九頁，共110頁。于是于是 與與 同時同時(tngsh)(tngsh)為奇數(shù)或同時為奇數(shù)

40、或同時(tngsh)(tngsh)為偶數(shù)為偶數(shù). . 即即 是偶數(shù)是偶數(shù)(u sh). (u sh). 因?yàn)閷Q改變因?yàn)閷Q改變(gibin)(gibin)排列的奇偶性，排列的奇偶性， 是奇數(shù)，是奇數(shù)， 也是也是奇數(shù)奇數(shù). . 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 . . st s t所以所以 是偶數(shù)，是偶數(shù)， ss tt ()()sstt()()stst()st ()st 因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變. .

41、1 12 2,n ni ji ji jaaa設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為第59頁/共109頁第六十頁，共110頁。1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 經(jīng)過一次對換經(jīng)過一次對換(du hun)(du hun)是如此，經(jīng)過多次對換是如此，經(jīng)過多次對換(du (du hun)hun)還是如此還是如此. . 所以，在一系列對換所以，在一系列對換(du hun)(du hun)之后之后有有第60頁/共109頁第六十一頁，共110頁。

42、定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第61頁/共109頁第六十二頁，共110頁。例例1 試判斷試判斷(pndun) 和和142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 是否是否(sh fu)都是六階行列式中的項(xiàng)都是六階行列式中的項(xiàng).解解下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 4312

43、650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng).142331425665a a a a a a 行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和(341526)(234156)538tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng).324314512566a a a a a a 第62頁/共109頁第六十三頁，共110頁。例例2 用行列式的定義用行列式的定義(dngy)計(jì)算計(jì)算 0001000200100000000nDnn 第63頁/共109頁第六十四頁，共110頁。 122

44、1!nnnDn 解解 tnnnnttnnDaaaannn1,2,1 1 ,121 1 1 21 1! tnnnnnnn 122123211 22 第64頁/共109頁第六十五頁，共110頁。 行列式的三種表示行列式的三種表示(biosh)方法方法nnnt p ppppnpp ppDaaa121212()12( 1) 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第65頁/共109頁第六十六頁，共110頁。第第1 1章章 行列式行列式1

45、.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式1.2 1.2 全排列和對換全排列和對換1.3 n1.3 n階行列式的定義階行列式的定義(dngy)(dngy)1.4 1.4 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)1.5 1.5 行列式按行（列）展行列式按行（列）展開開第66頁/共109頁第六十七頁，共110頁。111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 稱為稱為(chn wi)(chn wi)行列式行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. . TDD若記若記 ，則，則 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 記記性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1 (xngzh)1 行列式

46、與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 . .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 第67頁/共109頁第六十八頁，共110頁。121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1 (xngzh)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .證明證明(zhngmng)(zhngmng)根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)行列式的定義，有行列式的定義，有若記若記 ，則，則det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijijbai jn 1121221()2( 1)nnnppt p pp

47、p ppp naaa D 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)凡是對行成行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立立的對列也同樣成立. .第68頁/共109頁第六十九頁，共110頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)2 (xngzh)2 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行行列式變號列式變號. .驗(yàn)證驗(yàn)證(ynzhng)(ynzhng)于是于是(ysh)(ysh)175662358175358662196 196 175175662358358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.

48、 .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .ji()ijijrr cc第69頁/共109頁第七十頁，共110頁。性質(zhì)性質(zhì)3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)(bish) (bish) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. .驗(yàn)證驗(yàn)證(ynzhng)(ynzhng)kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我們我們(w men)(w men)以三階行列式為例以三階行列式為例

49、. . 記記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有根據(jù)三階行列式的對角線法則，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .ki()iirk ck第70頁/共109頁第七十一頁，共110頁。1112131212223313233kkaaaDaaaaaak kkkaaaaaaaaaakaaaaaaaakk112233122331132132132231122133112332()()()()()()a a aa a aa a aa a aa a aa aka112233122331132132132231122133

50、112332()Dk 推論推論(tuln) 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面可以提到行列式符號的外面?zhèn)渥ⅲ旱趥渥ⅲ旱?行（列）提出行（列）提出(t ch)(t ch)公因子公因子 ，記作，記作 . .ki()iirk ck第71頁/共109頁第七十二頁，共110頁。kakakakaaaaaaaaaaaaa21222324311112132333111214331414 驗(yàn)證驗(yàn)證(ynzhng)(ynzhng)我們我們(w men)(w men)以以4 4階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4 (xngzh)4

51、 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零則此行列式為零aaaaakaaaaaaaaaaa21222324311111121312323313134414 k 00 第72頁/共109頁第七十三頁，共110頁。性質(zhì)性質(zhì)5 5 若行列式的某一列若行列式的某一列(y li)(y li)（行）的元素都是兩數(shù)之（行）的元素都是兩數(shù)之和和, ,例如第例如第i i行的元素都是兩數(shù)之和：行的元素都是兩數(shù)之和：niiiiininnnnnnaaaaaaaaaDaaaa 111211122122 則則nniiiniiinnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDa

52、aaaaaaa 11121111211212122122 第73頁/共109頁第七十四頁，共110頁。121222221113212331332323aaDaaabababaa pt p p pppppppaaab1231232312()2321()( 1) pt p p ptpp p pppppp p pp p paaabaa123123131312312322()()131223( 1)( 1)111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa驗(yàn)證驗(yàn)證(ynzhng)(ynzhng)我們我們(w men)(w men)以三階行列式為

53、例以三階行列式為例. . 第74頁/共109頁第七十五頁，共110頁。性質(zhì)性質(zhì)6 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列后加到另一列( (行行) )對應(yīng)對應(yīng)(duyng)(duyng)的元素上去，行列式不變的元素上去，行列式不變則則1.DD 驗(yàn)證驗(yàn)證(ynzhng)(ynzhng)122211132123313323,aaDaaaaaaa 我們我們(w men)(w men)以三階行列式為例以三階行列式為例. . 記記 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 備注：以數(shù)備注：以數(shù)

54、乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，記作行（列）上，記作 . .kiijijrkr ckc(). j第75頁/共109頁第七十六頁，共110頁。例例2101044614753124025973313211 D計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算(yn sun) 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值3 ()ijijrr cc()iirk ckijijrkr ckc() 第76頁/共109頁第七十七頁，共110頁。2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753

55、124022010013211312 rr第77頁/共109頁第七十八頁，共110頁。2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 第78頁/共109頁第七十九頁，共110頁。42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第79頁/共109頁第八十頁，共110頁。2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第80頁/

56、共109頁第八十一頁，共110頁。6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第81頁/共109頁第八十二頁，共110頁。例例2 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2第82頁/共109頁第八十三頁，共110頁。 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 第83頁/共

57、109頁第八十四頁，共110頁。例例3 設(shè)設(shè) 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明(zhngmng) 第84頁/共109頁第八十五頁，共110頁。證明證明(zhngmng)1111110;kkkkkpDpppp對對 作運(yùn)算作運(yùn)算(yn sun) (yn sun) ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1Dijrkr 1D設(shè)為設(shè)為對對 作運(yùn)算作運(yùn)算(yn sun) (yn sun) ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式

58、 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp設(shè)為設(shè)為第85頁/共109頁第八十六頁，共110頁。對對 D 的前的前 k 行作運(yùn)算行作運(yùn)算(yn sun) ，再對后，再對后 n 列作運(yùn)算列作運(yùn)算(yn sun) ，把把 D 化為下三角形行列式化為下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故第86頁/共109頁第八十七頁，共110頁。 ( (行列式中行行列式中行(zhn (zhn xn)xn)與列具有同等的地位與列具有同等的地位, , 凡是對行成立的性凡是對行成立的性質(zhì)對列也同

59、樣成立質(zhì)對列也同樣成立).). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)(1)利用利用(lyng)(lyng)定定義義;(2);(2)利用利用(lyng)(lyng)性質(zhì)把行列式化為上三角性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值形行列式，從而算得行列式的值行列式的行列式的6 6個性質(zhì)個性質(zhì)第87頁/共109頁第八十八頁，共110頁。對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節(jié)主要考慮如何本節(jié)主要考慮如何(rh)(rh)用低階行列式來表用低階行列式來表示高階行列式示高階行列式. .第88頁/共109頁第八十九頁，共110頁。12233111122

60、1221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132結(jié)論結(jié)論 三階三階(sn ji)(sn ji)行列式可以用二階行列式表示行列式可以用二階行列式表示. .思考題思考題 任意一個行列式是否任意一個行列式是否(sh fu)(sh fu)都可以用較低階的行列式表都可以用較低階的行列式表示？示？第89頁/共10