斜率乘積為定值的問題探究(安金龍)精編版

1、斜率乘積為定值的問題探究【教學(xué)目標(biāo)】會合理選擇參數(shù)（坐標(biāo)、斜率等）表示動態(tài)幾何對象和幾何量，探究、證明動態(tài)圖形中的不變性質(zhì)，體會“設(shè)而不求” 、“整體代換”在簡化運算中作用【教學(xué)難、重點】解題思路的優(yōu)化【教學(xué)過程】一基礎(chǔ)知識、基本方法梳理問題 1已知 AB 是圓 O 的直徑，點 P 是圓 O 上異于 A， B 的兩點，直線PA， PB 的斜率分別為 k1， k2，則 k1. k2=.問題 2（類比遷移 1）點 P 是橢圓上 x2y21上異于長軸端點以外的任一點，A、B 是該43橢圓長軸的兩個端點，直線PA, PB 的斜率分別為k1， k2，則 k1k2=.問題 3. （引申拓展1）求證：橢圓x

2、2y21( a b 0)a 2b 2yP長軸的兩個端點與橢圓上除這兩個頂點外的任一點連線斜率之積為b2a2yAoB x問題 4. （引申拓展 2）設(shè) A、 B 是橢圓 x2y21(a b0) 上關(guān)于原點對稱的兩點，點 Pa2b2是該橢圓上不同于A， B 的任一點，直線PA， PB 的斜率分別為k1， k2，則 k1k2 是否為定值？并給予證明yBOxAP問題 5.（類比遷移 2）設(shè) A、B是雙曲線yx 2y21(a b 0) 上關(guān)于原點對稱的兩點，點P 是該雙曲線上PBa2b2不同于 A ， B 的任一點，直線PA, PB 的斜率是 k1, k2，猜想 k1k2 是Ox否為定值？并給予證明A1

3、知識梳理：結(jié)論 1. 設(shè) A、B 是橢圓 x2y 21(a b0)上關(guān)于原點對稱的兩點，點 P 是該橢圓上不同a2b2于 A， B 的任一點，直線 PA， PB 的斜率分別為k1， k2，則 k1 k2b2a2 結(jié)論 2. 設(shè) A、B 是雙曲線 x2y 21(a0,b0) 上關(guān)于原點對稱的兩點，點 P 是該雙曲線a2b22上不同于A， B 的任一點，直線PA， PB 的斜率分別為k1， k2，則 k kb 12a2友情提醒： 以上兩結(jié)論在解決填空題的時候，在你確保 結(jié)論沒記錯的前提下，你可任性地使用； 但：在解決解答題的時候，若要用到該結(jié)論，不可任性， 需要進(jìn)行簡單的證明，否則，受傷的只是你。

4、二 基礎(chǔ)訓(xùn)練1. (2012 天津理x2y21(ab 0) 的左、19 改編 )設(shè)橢圓b2ya2P右頂點分別為 A, B ，點 P 在橢圓上且異于A, B 兩點，若直線 AP 與1 ，則橢圓的離心率為AOB xBP 的斜率之積為.2APBPb22解析：利用 k · k a2 ，很快可以得到橢圓的離心率為2 .2. 如 圖 2 ， 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， F1,F2 分 別 為 橢 圓x2y 21(ab0) 的左、右焦點， B、C 分別為橢圓的上、下頂a2b2點，直線 BF 2 與橢圓的另一交點為D . 若 cos F1BF2 7 ，則直線 CD25的斜率為解析

5、 ：由已知可得 coscosFOF1 2 2cos 2OBF217，所以 cos OBF24b ，所以255a2b kCD2c 3， 又 因 為 kBDb， 且 kB D kC Db2， 所 以b2， 所 以a5cacakCDbc431 2aa552 52x221 ， 點y3. （2016 如東月考）已知橢圓 C:yP2P4P62P8P10M, M2,M 為其長軸AB的 6等分點，分別過這五點作斜率15為 k ( k0)C 于點 P1,P2,AOB x的一組平行線，交橢圓,P10 , 則這 10P1P3P5P7P91條直線AP,AP , AP的斜率的乘積為121032變式 . （嚇嚇你） 已知

6、橢圓 C : x2y 21，點 M1,M2, M 2017 為其長軸 AB的 2018 個等分2點，分別過這2017 個點作斜率為 k( k0) 的一組平行線， 交橢圓 C 于點 P1 ,P2 , P4034 , 則這 4034條直線 AP,AP,AP,AP, AP的斜率的乘積為123440344. （ 2011 江蘇 18 改編）如圖3，已知橢圓方程為x 2y 21，42y過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A 兩點，其中 P 在第一象限，過P 作 xP軸的垂線，垂足為C，連接 AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線 PA的斜O(jiān)B率為 k，對任意 k0，Cx求證： PA PBA分析： 可以轉(zhuǎn)化為證明KPA

7、KPB=-1 ，注意到 KABKPB=b21圖 3a2 =2法一 ：由題意設(shè)P( x0 , y0 ), A(x0 ,y0 ), B( x1 , y1 ), 則C ( x0 ,0)，A、 C、 B 三點共線，y1x0y0y1y0 , 又因為點 P、 B 在橢圓上，x02y021, x12y121 ，兩式相減x12x0x1x04242得：kPBx0x1， kPAkPBy0 x0x1 ( y1y0 )( x0x1 )1， PA PB2( y0y1 )x02( y0y1 )(x1x0 )( y0y1 )法二 ：設(shè) A( x1 , y1), B(x2 , y2 ), A,B 中點 N(x0 ,y 0 )

8、,則 P(-x1 ,y1 ),C(- x1,0) ,A、C、 B 三點共線，y2x1y2y1y1kAB , 又因為點A、 B 在橢圓上 ,x22y221, x12y121 ,x2x2x12x142423兩式相減得：y01,kON kPAy0y112kAB1,ON / PB,PAPB x02kABx0x12kAB法三 ：設(shè) P(s,t ) ，則 C( s,0) A(s,t) ， k APt ， kABkAC0tt，即 kAP2kAB ,sss2sy0ty0ty 2t 2，又因為 P(s,t ) ，B( x0 , y0 )設(shè) B( x0 , y0 ) ，因為 k AB，kBP, 所以 k ABkB

9、P0sx0sx02s2x0在橢圓x 2y 21 上，所以s2t 21， x02y021，所以s24x02t 2y020，所以4242422k AB kBP1, 所以 1 kAPkBP1, 即 k APkBP1222方法梳理：一 . 解決直線和圓錐曲線問題的一般方法：Step 1 設(shè)（點的坐標(biāo)、直線方程、曲線方程） ；Step 2 代（點的坐標(biāo)代入方程，方程聯(lián)立方程組代入消元） ；Step 1 化（化簡方程，解方程） .二. 常用的化簡策略“設(shè)而不求”，整體代換三. 解決此類問題的基本要求1、“思路清晰”，“出路通達(dá)”；2、書寫規(guī)范，推算嚴(yán)謹(jǐn)。三 . 典型例題例 1.（南京市、 鹽城市 2017

10、 一模改編） 已知橢圓 C 的方程 x2y21, 直線 l : ykx m ，42（ m 0）交橢圓 C 于 P, Q 兩點， T 為弦 PQ 的中點， M ( 1,0), N (1,0) ，記直線 TM ,TN 的斜率分別為 k1 ,k2 ，當(dāng) 2m22k21 時，求 k1 k2的值 .解：（ 1）方法一：設(shè) P( x1 , y1 ) ， Q( x2, y2 ) ， T (x0 , y0 ) ，yx2y 21，消去 y ，得 1(k)2 x2 4kmx 2m 2 4 0Q聯(lián)立 422，TykxmM ONB x因為 2m22k 21， m0，P所 以2422，0( k4 m )( 1k 2 m

11、 ) ( 2 恒 成 4立)4x1,24km， x1x24km，又 2m22k 21，所以 x1x22k，所以 x0k ，2(12k2 )12k2mmk111111y0m k，則 k1k22m2mmkk4k 24m22(2m22k 2 ).2m112mmx12y12142方 法 二 ： 設(shè) P(x1, y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ， T( x0 , y0 )， 則，兩式作差，得x22y22142x1x 2 x 1 x 2y1 y2y y20，又x1x22，xy1 y22 y0，142x0 x1x2y0y1y20x0y0 y1y20，又 P( x1 , y1 ) ，Q( x2 , y2

12、 ) 在直線 ykxm2，x1 x22上， y1y2k ， x02ky00 ，x1x2又 T ( x0 , y0 ) 在直線 ykxm 上， y0kx0m ，2kmmy0mm由可得 x0， y01 2k2，12k 212k 2，所以 k112km2km12k 2x0112k 2y0mmk21 2k2，所以x0 12km2km11 2k212k2m2m2k1k1mm12k 22km12k 24k 2m2(12k 2 ) 24k 2 m24m42km12m2 )1 .2(2k 22例 2. （2013 蘇北四市?？碱}改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 E : x2y 21，若點 A ，

13、ByPM43分別是橢圓 E 的左、右頂點，直線l 經(jīng)過點 B 且垂直于 x 軸，點 P 是橢圓上異于A ， B 的任意一點，直線AOBxAP 交 l 于點 M .ml（ 1 ）設(shè)直線OM 的斜率為k1 , 直線 BP 的斜率為5k 2 ，求證： k 1 k2 為定值；（ 2）設(shè)過點 M 垂直于 PB 的直線為 m . 求證：直線 m 過定點，并求出定點的坐標(biāo) .解（ 1）法一、設(shè) P( x1 , y1 )( y10) ， M (2, y0 ) ，則 k1y0 ， k2y1，因為 A, P,M 三點2x1 2共線，所以y04 y1 ， 所以， k1 k2y0 y14 y12，因為 P( x1 ,

14、 y1 ) 在橢圓上，所以x122( x1 2)2( x124)23(42) ，故 k1 k24 y123為定值y14x124)22( x1法 二 、 設(shè) P( x1 , y1 )( y10) ，因為 A( 2,0B),( 2 , 0所 以 kPAy1, kPBy1 , 所 以x12x12kP AkP By12，又因為 P( x1 , y1 ) 在橢圓上， 所以 y123(4x12 ) ，所以 kPAkPBy1243 ，x1244x124設(shè)直線 AP 的方程為 y k ( x2) ，則直線 BP 的斜率為 k23， M (2,4 k ) ，直線 OM 的斜率4k為 k2k ，所以 k1k22k

15、 (33)為定值4k2（ 2）法一、直線BP 的斜率為 k2y1，直線 m 的斜率為 km2x1, 則直線 m 的方程為x12y1yy02x1 ( x2) ， y2x1 (x2)y02 x1x2(2x1 )4 y1y1y1y1y1x122 x1x2( x124) 4y122 x12( x1 24) 12 3x122 x12 x12 x1( x1)，y1(x12) y1y1x( x1 2) y1=y1xy1=y1所以直線 m 過定點 (1,0) 法二 、由（ 1）知 kOM kBP3kOM3，所以 kOM3，又因為 kmkBP1 ，所以2km ，若記2km2直線 m 與 x 軸的交點為 E ，則

16、 tanMOB3MB3MB3OB ，又tan MEB ，即OB，所以 EB222 EBOB2 ，所以 EB3 ，所以 E 點的坐標(biāo)為 (1,0) ，故直線 m 過定點 (1,0) 6例 3：已知橢圓方程C的方程為 x2y21 ， A,B 為橢圓Ny410x=-S的左、右頂點，點S 為橢圓 C 上位于 x 軸上方的動點，直線3AS,BS 與直線 x10Ax分別交于 M， N兩點 .3OBM（ 1）試求線段 MN的長度的最小值；（ 2）試問：以線段 MN為直徑的圓是否過定點，并證明你的結(jié)論.解：（ 1）方法一 . 由已知可得A(2,0) , B(2,0) , 設(shè) AS 的方程為 yk( x2) ，

17、 k0，則104，聯(lián)立方程組yk( x2)(12)x22x16k240，所以M (3 ,3 k)x24 y2，整理可得4 k16k428k228k24 k224k10xS， yS2)2 ，所以8k2)，設(shè), yN ) ,14k2k(4k214kS(4k2 ,14kN(3又因為11S,B,N 三點共線，所以 BS/BN, 且BS (16k24 k2 )， BN16, 所 以12 , yN4k14k316k2164k，即4441 4k 2 yNN，所以 MNyMyNk,k 0，3 1 4k23ky33k所以 MNyM4k42448，當(dāng)且僅當(dāng) 4k4 ，即 k1時取等號 .yN3kk3k33333k

18、所以線段 MN的長度的最小值為8 .3方法二 .由已知可得 A(2,0) ,B(2,0) , 設(shè)AS的方程為 yk(x2) ，0，則M (014)k ，k,33由于 k kSB1, 所以 kSB1 ，所以可設(shè) BS 的方程為 y1( x2)，則 N( 10,4)，所以44k4k33kMN4k444448k4，即 k1 時取等號 .33kk3k2 k3k，且僅當(dāng) 433333k所以線段 MN的長度的最小值為8 .3（2）法一 .由（ 1）知 M(10 ,4 k) ， N (10 , 4 ) ，所以以線段MN 為直徑的圓的方程為3333k( x10 2( y440，即( x10 224k4160

19、(*)，)( yk )yy()933k3333ky0x14x2當(dāng)10)216時，對于任意大于0 的實數(shù) k(*)式恒成立， 所以3 ，或( xy00y0397即以線段 MN為直徑的圓是恒過定點(14,0) 和 ( 2,0) .3法二 . 假設(shè)以線段MN 為直徑的圓是恒過定點Q( m, n) ，由（1 ）可得M (104,k ) ，33N( 10, 4 ) ，所以 MQNQ0,又MQ(m10 , n4 k) ， NQm16 , n4，33k3333k所以 (m10)2(n4)( n4k)0 對于任意大于0 的實數(shù) k 都成立，33k310)2n24416n0時 (*)即 (mn(k)0(*)，當(dāng)

20、(m102160式恒成立 ，所以333k93)9m14m2即以線段 MN為直徑的圓是恒過定點143 ，或(,0) 和(2,0) .n03n0引申： 若直線方程變?yōu)閤 t,( t(,2)(2,) 時，以上問題的結(jié)果又如何呢？由已知可得A(2,0) ,B(2,0),設(shè) AS的方程為 yk (x 2) ， k0 ，則 M (t , k (t2) ，由于kkSB1, 所以 kSB1，所以可設(shè) BS 的方程為y1( x2) ，則 N (t,1(t2) ，所以44k4k4kMNk(t 2)1(t 2)k t 21t 2 2 k t 2t2t24 ，4k4k4k當(dāng)且僅當(dāng) k t21t2 ，即 kt2時取等號

21、 .2 t24k所以線段 MN的長度的最小值為t 24 .（ 2）假設(shè)以線段 MN為直徑的圓是恒過定點Q(m,n ) ，由（ 1）知 Mtkt(,()2，1(t2) ，N (t,4 k所以 MQ NQ0,又 MQ(m t, nk(t2) ， NQmt , n1 (t2)，4k所以 (mt )2 nk(t2) n1 (t2)0 對于任意大于0 的實數(shù) k 都成立，4kt224n0即(m22nk(t2)t0 (*)，當(dāng)2時 (*)式恒成立，t )n4k4(mt) 2t4048t 24t 242所以 mt2，或 mt2即以線段MN 為直徑的圓是恒過定點 ( tt 4 ,0) 和n0n02(tt 24,0).2當(dāng) xt43時，以上的結(jié)論又如何？3（ 1） MN的長度的最小值為t 24(4)2423；33（ 2）當(dāng) xt4 3 時，以線段 MN為直徑的圓是恒過定點( 3,0) 和 (53,0) ；33當(dāng) xt43時，以線段 MN為直徑的圓是恒過定點(3,0) 和( 53,0) .四 . 課堂小結(jié)33五 . 鞏固練習(xí)1. （ 2015 全國卷 2 理 20）已知橢圓 C :9 x2y 2m2 (m0)