八年級數(shù)學(xué)上冊全等三角形單元培優(yōu)測試卷

1、八年級數(shù)學(xué)上冊全等三角形單元培優(yōu)測試卷一S八年級數(shù)學(xué)軸對稱三角形填空題（難）1. 在等腰磁中，肋丄證交直線 必于點以 若 QLBG則磁的頂角的度數(shù)為【答案】30。或150。或90°【解析】試題分析：分兩種情況：8C為腰，8C為底，根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于 斜邊的一半判斷出ZACD=30°,然后分AD在MBC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可.解：BC為腰，VAD丄 BC 于點 D t AD= - BCt2：.ZACD=30° t如圖1 I AD在"BC內(nèi)部時，頂角ZC=30o f如圖 2 , AD 在AABC 外部時，頂角 ZACB=I80

2、6; - 30o=150o ,圖3DlAD=-BCl：.AD=BD=CD t：.ZB=ZBAD t ZC=ZCAD t ZBADZCAD= - ×180o=90o ,2頂角 ZaAC= 90° ,綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30?；?50。或90。.故答案為30°或150°或90° .點睛：本題考查了含30。交點直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的 關(guān)鍵.2. 在 RtABC 中，ZABC=90o r AB=3 I BC=4t 點 JF 分別在邊 AB J AC ±,將AAEF 沿直 線EF翻折，點A落在點P

3、處，且點P在直線BC上則線段CP長的取值范圍是【答案】<CP5【解析】【分析】根據(jù)點E、F在邊AB、AC ±,可知當(dāng)點E與點B重合時，CP有最小值，當(dāng)點F與點C重 合時CP有最大值，根據(jù)分析畫出符合條件的圖形即可得.【詳解】如圖，當(dāng)點E與點B重合時，CP的值最小，A此時 BP=AB=3,所以 PC=BC-BP=4-3=1 r 如圖，當(dāng)點F與點C重合時，CP的值最大,A此時CP=AC ,RtABC中，ZABC=90o f AB=3 , BC=4,根據(jù)勾股左理可得AC=5,所以CP的最大值為5 , 所以線段CP長的取值范圍是1CP5 ,故答案為1CP<5.【點睛】本題考查了折

4、疊問題，能根據(jù)點E、F分別在線段AB、AC上，點P在直線BC上確左出點 E、F位于什么位置時PC有最大（?。┲凳墙忸}的關(guān)鍵.3. 如圖，AABC中，ZBAC = 90°，AD丄BC, ZABC的平分線BE交AD于點F，AG平分ZDAC.給岀下列結(jié)論：（DZBAD = ZC;ZEBC = ZC ；AE=AF;FGIIAC:EF = FG .其中正確的結(jié)論是.【答案】©©【解析】【分析】 根據(jù)等角的余角相等即可得到結(jié)果，故正確：如果ZEBC=ZC,則ZC=-ZABC,由于ZBAC=90°,那么ZC=30o,但ZC不一定等于30。，故錯誤：2由BE、AG分別是

5、ZABC. ZDAC的平分線，得到ZABF=ZEBD.由于ZAFE=ZBAD+ZFBA, ZAEB=ZC+ZEBD,得到ZAFE=ZAEB,可得正確：連接 EG,先i正明 ABNWZGBN,得到 AN=GN,證出aANEaGNF,得ZNAE=ZNGF,進(jìn) 而得到GFAE,故正確：由AE=AF, AE=FG,而AAEF不一泄是等邊三角形，得到 EF不一定等于AE,于是EF不一定等于FG,故錯誤.【詳解】V ZBAC=90o , AD丄BC,ZC+ZABC=90o , ZC+ZDAC=90o , ZABC+ZBAD=90o ,ZABC=ZDAC, ZBAD=ZC,故正確； 若ZEBC=ZCt 則Z

6、C=IZABC,2V ZBAC=90° ,那么ZC=30° ,但ZC不一定等于30° ,故錯誤；VBE. AG分別是ZABC. ZDAC的平分線，: ZABF=ZEBD,VZAFE=ZBAD+ZABF, ZAEB=ZC+ZEBD,又 TZBAD=ZC, ZAFE=ZAEf, AF=AE,故正確：VAG是ZDAC的平分線，AF=AE,.AN丄BE, FN=EN,1 ABN 與厶 GBN 中,ABN = ZGBN. BN = BN,AANB =乙 GNB = 90° ABN GBN (ASA), AN=GN,又 VFN=EN, ZANE=ZGNF,ANEGN

7、F (SAS), ZNAE=ZNGf,.GF"AE,即 GFAC,故正確；V AE=AF, AE=FG,而厶AEF不一泄是等邊三角形，.EF不一定等于AE, EF不一泄等于FG,故錯誤.故答案為：.【點睛】本題主要考査等腰三角形的判定和性質(zhì)立理，全等三角形的判圮和性質(zhì)左理，直角三角形 的性質(zhì)定理，掌握掌握上述定理，是解題的關(guān)鍵.4. 如圖，在ZVB4中，ZB = 20o, Ai = A1B ,在AB上取點C,延長A人到兒， 使得1A =A1C;在上取一點D ,延長AA2到£，使得A2A3=A2Di 按此做法進(jìn)行下去，第n個等腰三角形的底角ZA”的度數(shù)為【答案】（-,802【

8、解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求岀ZBAIAO的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的 性質(zhì)分別求出ZCA2A1, ZDA3A2及ZEAaAj的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第n個等腰三角形的 底角ZAn的度數(shù).【詳解】解：AOBAI 中，ZB=20% A0B=AiB,ZBA AO=180O-ZB 180°-20°2 _ 2=80°,VAiA2=AiC, ZBAI AO 是厶AiA2C 的外角,=40°： ZCA2Ai=同理可得,ZDA3A2=20% ZEA4A3=10第n個等腰三角形的底角ZAn=【點睛本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，

9、根拯題意得出ZCA2A1, ZDA3A2及ZEA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵5. 如圖，ZMON=30°,點A】、A2、A-在射線ON上，點B- B2, B-在射線OlVI上， A1B1A2, A2B2A3, A3B3A.均為等邊三角形，從左起第1個等邊三角形的邊長記6,第2個等邊三角形的邊長記為S 以此類推，若0A1 = 3,則。2二, 02019=【答案】6：3×22018.【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得岀A1B1 A2B2A3B3,以及a2=2a1=6,得出 a3=4a, a4=8a a5=16a.進(jìn)而得出答案.【詳解】V A1B1A

10、2是等邊三角形，AAiBi=A2Bit Z3=Z4=Z12=60%Z2=12O%VZMON=30°,Zl=180o-120o-30o=30o,又 VZ3=60% Z5=180o-60o-30o=90%VZMON=ZI=30% OAI=AIBi=3 9A2Bi=3,V A2B2A3. A3B3A4是等邊三角形，Zll=Z10=60 Z 13=60%VZ4=Z12=60AAIBlA2B27A3B3, BA27B2A3»Z1=Z6=Z7=3O% Z5=Z8=90o,a2=2a=6>a3=4a,aa=8a,as=16a>以此類推：a2oi9=22l8a1=3x22l故答

11、案是：6： 3×22018.【點睛】此題主要考査了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得岀a2=2a1=6, a3=4a1, a4=8a1, a5=16a1.進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.6. 如圖,點AbC在同一直線上, ABD和ABCE都是等邊三角形,AEZCD分別與BD,BE交于點EG,連接FG,有如下結(jié)論：AE=CDZBFG= 60° ；EF=CG ；AD丄CDFGIl AC其中，正確的結(jié)論有（填序號）【答案】【解析】【分析】M ABE A DBCt 貝ZBAE= BDC t AE=CD I 而可證到ZABF竺 DBG I 貝IJ有 AF=DG t BF=BG

12、I 由 ZfSG = 60° 可得ZiBFG 是等邊三角形，證得ZBFG = ADBA = 60Q I 則有FGIl ACt由Z CDB30o I可判斷AD與CD的位置關(guān)系【詳解】'ABD 和ZkBCE 都是等邊三角形， BD = BA=AD I BE = BC=ECl Z ABD = Z CBE二 60° T 點人 BS C 在同一直線上， Z DBE 二 180° 60° 60° 二 60° ,二 Z ABE 二 ZDBC 二 120° 在AABF和ADBC中，BD = BAV z<ABE = zDBC I

13、 ：. ABE DBCr ：. BAE= BDC t . AE = CD t .正確； BE = BC±,abf 和 AdbgZBAF = ZBDG中 # < AB = DBr ：. ABF 卜 DBG I ：. AF=DG r BF 二 BG ZABF = ZDBG = 60°. Z FBG = 180° - 60° - 60o = 60o f /. BFG 是等邊三角形 f .,. Z BFG=60o I ：.正確；. AE=CDlAF=DGI ：. EF=CG 二正確；/ Z ADB = 60° ,而 ZCDS=Z EAB30o ,

14、 .,. AD 與 CD 不一定垂直 f .,.錯誤. BFG 是等邊三角形，. Z BFG=60。, /. AGFB = A DBA = 60o , /. FGIl AB I ：.正確. 故答案為®【點睛】本題考查了等邊三角形的判立與性質(zhì)、全等三角形的判左與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平 行線的判定和性質(zhì),證得 DBC是解題的關(guān)鍵.7. 如圖，在AABC中，P, O分別是BC, 4C上的點，PR丄AB PS丄AC,垂足 分別是/?, S ,若AQ = PQ, PR = PS,那么下而四個結(jié)論：AS = AR： QPllAR 、厶BRP竺 QSP；BR = QS ,其中一泄正確的是（填寫

15、編號）【答案】®,【解析】【分析】連接AP,根據(jù)角平分線性質(zhì)即可推出，根據(jù)勾股定理即可推出AR=ASt根據(jù)等腰三角 形性質(zhì)推岀ZQAP=ZQPA,推出ZQPA=ZBAP,根據(jù)平行線判左推出QPZZAB即可：在 RtBRP和RtAQSP中，只有PR=PS.無法判斷厶BRP幻AQSP也無法證明BR=QS .【詳解】解：連接AP TPR丄AB, PS丄AC, PR=PS,點P在ZBAC的平分線上，ZARP=ZASP=90a , ZSAP=ZRAPi在 RtARP 和 RtAASP 中，由勾股左理得：AR2=AP2-PR2, AS2=AP2-PS2tVAP=AP. PR=PS,： AR=AS

16、,正確： VAQ=QP, ZQAP=ZQPa,VZQAP=ZBAPt ZQPa=ZBAP,QPAR,正確： 在 RtBRP 和 RtQSP 中，只有 PR=PS,不滿足三角形全等的條件，故錯誤； 故答案為：.【點睛】本題主要考査了角平分線的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握根據(jù)垂直與相等得出點在角 平分線上是解題的關(guān)鍵.8. 等腰三角形一邊長等于4, 一邊長等于9,它的周長是【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有兩條邊長為4和9,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要 應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形：【詳解】解：因為 4+4=8<9, 0<4<9+9=18,&

17、#176;腰的不應(yīng)為4,而應(yīng)為9,等腰三角形的周長=4+9+9=22.故答案為22.【點睛】本題主要考査了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；求三角形的周長，不能盲目地將 三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去9. 已知等邊ABC中，點D為射線BA上一點，作DE=DC,交直線BC于點E,ZABC的平分4線BF交CD于點F,過點A作AH丄CD于H,當(dāng)EDC=30o ,CF=-,則DH=2【答案】亍【解析】VABC是等邊三角形, AB=BC f ZABC= ZACB= Z BAC=60o.VDE=DC r ZEDC=30o ,ZDEC=ZDCE=75o , Z

18、ACF=75o-60o=15o.VBF 平分ZABC f ZABf=ZCBRAB=BC在AABF 和ZkCBF 中，ZABF=ZCBF IBF=BFtoABFCBF , AF=CF ,ZFAC=ZACF=15o ,/. ZAFH=I5o+15o=30o.VAHlCD ,112AAH=-AF=-CF=-223VZDEC=ZABC+ZBDE rZBDE=75o-60o=15o ,. ZADH=I5o+30o=45o ,ZDAH=ZADH=450 r. 2/.DH=AH=-32故答案為;點睛：本題考查了全等三角形的判左與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，注意輔 助線的作法.10如圖，在AABC

19、中，AB=AC, D、E 是ZkABC 內(nèi)兩點，AD 平分ZBAC, ZEBC=ZE=60° , 若 BE=6cm, DE=2cm,則 BC=cm.【答案】8cm.【解析】【詳解】解：如圖，延長ED交BC于M延長AD交BC于N,作DFBC,VAB=AC, AD 平分ZBAC,'AN丄BC, BN=CN,VZEBC=ZE=60°,BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，TBE=6cmt DE=2cmtDM=4,VBEM為等邊三角形，ZEMB=60T AN 丄 BC,ZDN M =90°,ZNDM=360,.,.NM=2.BN=4,BC=8.二、八年級數(shù)學(xué)軸對

20、稱三角形選擇題(難)11. 已知點M(2,2),且OM=22 ,在坐標(biāo)軸上求作一點P，使 OMP為等腰三角形，則點P的坐標(biāo)不可能是()A. (2 2 ,0)B. (0,4)C. (4,0)D. (0,8 2 )【答案】D【解析】【分析】分類討論：OM=OP: MO=MP; PM=PO,分別計算出相應(yīng)的P點，從而得岀答案.【詳解】T M(2,2)z且0M=2T,且點P在坐標(biāo)軸上當(dāng) OM=OP = 22 時P點坐標(biāo)為：(±2,),(,±2任),A滿足:當(dāng) MO = MP = 22 時：P點坐標(biāo)為：(4,0),(0,4), B滿足;當(dāng)PM=PO時：P點坐標(biāo)為：(2,0),(0,2

21、), C滿足故答案選：D【點睛】本題考查動點問題構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解題關(guān)鍵.12. 在平而直角坐標(biāo)系中，等腰MBC的頂點久B的坐標(biāo)分別為(OfO)X (2,2),若 頂點C落在坐標(biāo)軸上，則符合條件的點C有()個.A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】要使AABC是等腰三角形，可分三種情況(若AC=AB I若BC=BA I若CA=CB)討 論，通過畫圖就可解決問題.【詳解】若AC=AB I則以點&為圓心為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個交點； 若BC=BA I則以點B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個交點(A點除外)； 若CA=C8 ,則點C在

22、M的垂直平分線上.'：A (0,0) ,8(2,2), ：.AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個交點綜上所述：符合條件的點C的個數(shù)有8個.故選D 【點睛】本題考查了等腰三角形的判立、垂直平分線的性質(zhì)的逆左理等知識，還考査了動手操作的 能力，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵13. 如圖，在射線Q4, OB上分別截取OAi = OBl,連接AlBIt在BiAit 上分別截 取B1A2=B1B29連接A2B29按此規(guī)律作下去，若ZAxBlO = a9則ZAloBlOO =()aUaaA-rrB. C. D.2,°292018【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等用表示岀ZA

23、2B2O ,依此類推即可得到結(jié)論.【詳解】解:.BA2=BB, ZAIBlO = a , 同理 ZA3BiO = *x =事 ,ZA4B4O =00Bloo =尹 »故選：B.【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，圖形的變化規(guī)律，依次求岀相鄰的兩個角的 差，得到分母成2的指數(shù)次幕變化，分子不變的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.14. 點A的坐標(biāo)是（2, 2）,若點P在X軸或y軸上且AAPO是等腰三角形，這樣的點P 共有（）個A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使AAOP是等腰三角形，可以分兩種情況考慮：當(dāng)OA是底邊 時，作OA的垂直平分線，和坐

24、標(biāo)軸岀現(xiàn)2個交點：當(dāng)OA是腰時，則分別以點0、點A為 圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸岀現(xiàn)6個交點，這樣的點P共8個.【詳解】如圖，分兩種情況進(jìn)行討論:和坐標(biāo)軸的交點有2個:當(dāng)OA是腰時，以點0為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸有4個交點；以點A為圓心,OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)2個交點：滿足條件的點P共有8個, 故選：C.【點睛】本題考查了等腰三角形的左義，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)OA為腰或底兩種 情況分類討論，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解決.15. 如圖,ABC中,4C = DC = 3, BD垂直ZBAC的角平分線于ZE為AC的中點，則 圖中兩個陰影部分而積之差的最大值為（）【答案】

25、C【解析】【分析】首先證明兩個陰影部分而積之差=Sg然后由DC丄AC時，&（：£）的而積最大求出結(jié)論即 可.【詳解】延長BD交AC于點H設(shè)AD交3E于點0A9： AD丄 BH, ZADB=ZADH90 ：. ZABD+ZBAD=90 ZHZHAD=90°T ZBAD=ZHAD, ：. ZABD=ZH. ：.AB=AH9：AD丄8H, ：. BD=DH.9：DC=CA. :ZCDA=ZCADVZCD+ZH=90% ZCDA十上CDH=90°, /.ZCDH=ZH9 /.CD=CH=AC. 1 1 BD=DH9 AC=CH, S、CDH= SaADH = SA

26、AS“24 _ _ 1 .ViAE=ECl Sf = SAeM 9 : .SxdfSmbe 4V SOBD SAOE-SADB SABE=SADH - SCDH-SACD.1 9VAC=CD=3. 當(dāng)DC丄人C時，ZkACD的而積最大，最大而積為一×3×3 = 一2 2故選C.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn) 化的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.16如圖，四邊形ABCD中，Z BAD=I20% ZB = ZD=90。，在BC. CD ±分別找一點A. 130°B. 120°則Z AM

27、N÷Z ANM的度數(shù)為()C. IlOoD. 100°【答案】B【解析】 根據(jù)要使AAMN的周長最小.即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān) 于BC和ED的對稱點AS A",即可得出Z AAxM+Z AJJ=Z HAAr=60%進(jìn)而得出Z AMN +Z ANM = 2(Z AAzM÷Z A)即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BC和ED的對稱點/V, A，連接AWz,交BC于M,交CD于N則/VA即為 AMN的周長最小值作DA延長線AH./ Z BAD = I20% Z HAA' = 60°. Z AA,M + Azl = Z H

28、AAz=60o. Z MArA = Z MAA Z NAD = Z A，且Z MArA÷Z MAAf = Z AMN,Z NAD + Z A" = Z ANW Z AMN + Z ANM = Z MAjA÷Z MAAz+Z NAD÷Z A"=2(Z AAzM + Z A = 2×60o = 120o. 故選B.17.如圖，四邊形ABCD中，Z C=50> ZB=ZD=90= E, F分別是BC, DC ±的點，當(dāng) AEF的周長最小時，ZEAF的度數(shù)為()B. 6(D 80°A. 50°【答案】D【解

29、析】【分析】【詳解】 作點A關(guān)于直線BC和直線CD的對稱點G和H,連接GH,交BC. CD于點J F,連接AE、AF,則此時 AEF的周長最小，由四邊形的內(nèi)角和為360。可知,Z BAD=360o-90o-90o- 50o=130o,即Z 1+Z 2+Z 3=130°，由作圖可知,Z 1=ZG, Z 3=Z H, AAGH 的內(nèi)角和為 180°,則2 (Zl+Z3) +Z2=180oO,又聯(lián)立方程組，解得Z 2=80°.故選D.x / E C考點：軸對稱的應(yīng)用：路徑最短問題.18如圖，點f Q分別是邊長為4cm的等邊AABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A, 點Q從頂點B同時出發(fā)，且速度都為lcms,連接AQ、CP交于點下而四個結(jié)Q§秒時，APBQ為直角三角形，正確的有幾個(【答案】C【解析】【分析】 等邊三角形ABC中，AB二BC,而AP二BQ,所以BP=CQ 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明ABQCAP ； 由ABQCAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ZBAQ=ZACP,從而得到ZCMQ=60° ； 設(shè)時間為t秒，則AP=BQ=tcm , PB= ( 4-t) cm,當(dāng)ZPQB=90°時，因為ZB=60所以 PB二2BQ,即4t=2t故可得岀t的值，當(dāng)ZBPQ=90&#