1、與直線和圓有關(guān)的最值問題-理

1、1 、與直線和圓有關(guān)的最值問題- 理解析版 )圓錐曲線專題突破一：與直線和圓有關(guān)的最值問題題型一 有關(guān)定直線、定圓的最值問題22例 1 已知 x, y 滿足 x + 2y 5 = 0,則（x1） 2+ （y1）2 的最 小值為 破題切入點 直接用幾何意義一一距離的平方來解決，另外還可以將x+2y-5 = 0改寫成x=5 2y,利用二次函 Q（1,1）數(shù)法來解決 解析 方法一 （x 1 ） 2 （ y 1 ） 2 表示點 P （x ， y ） 到點 的距離的平方由已知可知點 P 在直線 l ：， 所以（x 1 ） 2 （y 1 ） 2 的最x + 2y5 = 0上，所以PQ小值為的最小值 為點Q

2、到直線l的距離，即d=|1+2Xl5| 2 5 d2 4.d 5.方法二由 x+2y 5=0,得 x = 5 2y,代入（x1） 2 +（ y 1 ） 并整理可得2 2 2 2 2（5 -2y-1） 2+ （y1） 2 = 4 （y-2） 2+ （y1） 2 l 的方 =5y2 18y + 17 =4令 y=0,可得 A (1k, 0);令 x = 0,可得 B (0,4 -k).4 4 4 OA + OB= (1 -k) + (4 k) =5- (k + k) =5+ (-k+-k) >5+ 4 = 9.4所以，當(dāng)且僅當(dāng)一k=k且k<0,即k= 2時，OA + OB 取最 小值.

3、這時l的方程為2x+y-6 = 0.題型三綜合性問題(1)圓中有關(guān)元素的最值問題例3由直線y=x + 2上的點P向圓C： (x 4) 1 2+ (y +2) 2=1引切線PT (T為切點)，當(dāng)PT的長最小時，點P 的坐標(biāo)是k/4rTh3解析當(dāng)| O"A + OB| = 3 | A"BI時，O, A, B三點為等腰三 角形的 三個頂點，其中OA = OB, /AOB = 120° ,從而破題切入點 將PT的長表示由來，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.解析 根據(jù)切線段長、圓的半徑和圓心到點 P的距離的關(guān) 系， 可知 PT= PC21,故 PT最小時， 即PC最小， 此時PC

4、垂直于 直線y = x+2,則直線PC的方程為y + 2=- (x-4),即 y= y= x+ 2,x + 2,聯(lián)立方程解得點P的坐標(biāo)為(0,2).y= x + 2,2與其他知識相結(jié)合的范圍問題例4已知直線x+y k = 0 (k>0)與圓x2 + y2= 4交于不同 的兩3點A, B, O是坐標(biāo)原點，且有|01十O“B| > 3 |AB| ,那么k的取值范圍是.破題切入點 結(jié)合圖形分類討論.圓心O到直線x +yk = 0(k>0)的距離為1,此時k= 2;當(dāng) k> 2 時，| O"A + OB 3|> 3 |AB| ,又直線與圓x2 + y2 = 4存

5、在兩交點，故k<2 2,綜 上， k 的取值范圍是 2， 2 2) 【總結(jié)提高】 (1) 主要類型： 圓外一點與圓上任一點間距離的最值.直線與圓相離，圓上的點到直線的距離的最值 過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最值.直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線段長的最小 值問題兩圓相離，兩圓上點的距離的最值.已知圓上的動點Q(x ， y) ，求與點 Q 的坐標(biāo)有關(guān)的式子的最 值，如求ax+by, caxx+bdyy等的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系解題思路：數(shù)形結(jié)合法：一般結(jié)合待求距離或式子的幾何意義，數(shù)形結(jié) 合轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的位置關(guān)系求解.函數(shù)法：引入變量構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函

6、數(shù)的最值求解(3) 注意事項：準(zhǔn)確理解待求量的幾何意義，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的相應(yīng)的位置關(guān)系；涉及切線段長的最值時，要注意切線， 圓心與切點的連線及圓心與切線段另一端 點的連 線組成一個直角三角形.1 .若動點 A, B分別在直線l 1: x+y7 = 0和12: x + y 5 = 0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為.解析 依題意知，AB的中點M的集合是與直線1 1: x+y -7 = 0和12： x+y 5=0距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.設(shè)點M所在直線的方程為1 : x +y+m = 0,根據(jù)平行線間的距離公式得|m27| = |m

7、25|? |m+ 7| = |m + 5|? m= 6,即 1 : x+y 6 = 0,根據(jù)點到直 線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為I -261 = 3 2.2 .已知點M是直線3x + 4y-2 = 0上的動點，點N為圓 (x+ 1)+ (y+1) 2=1上的動點，則MN的最小值是 , 解析 圓心(一1, 1)到點M的距離的最小值為點(一1, 1)到直線的距離d =3一=2| = 9,故點N到點M的 距離的最554小值為d-1=.53 .已知P是直線l： 3x-4y+11 =0上的動點，PA, PB 是圓x +y 2x 2y+1=0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形 PACB 面積的最

8、小值是 答案 3解析 如圖所示，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1) 3 4 5 (y1) 2=1,圓心為C (1,1)半徑為r = 1.1 根 3x 4y據(jù)對稱性可知四邊形PACB面積等于2s*。=2X2PA-r =PA, 故PA最小時，四邊形 PACB的面積最 小，由于 PA= PC2- 1, 故PC最小時， PA最小，此時，直線CP垂直于直線l :+ 11= 0,故PC的最小值為圓心 C到直線l :3x 4y+11=03 1 x22AB 42|3 -4+ 11甲2的;2直線l的斜率當(dāng)/AOB= 2時，S4AOB面積最大.此時O到的距離d設(shè)AB方程為y=k ( x 2) ( k<0),即 kx-

9、y- 2k=0. | 2k| = 2PC21= 22-1= 3.故四邊形PACB面積 的最小值為3.4 . (2013 江西改編)過點(2, 0)引直線l與曲線y =相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點， 當(dāng)4AOB的面積 取最大值時，3 長安0答案 34 1 1 解析-/Saaob = 2OA - OB - sin / AOB = 2sin Z AOB<2.5 =2. 由d =k2+1= 2，仔 L 3 .5 .過點P (1,1)的直線，將圓形區(qū)域 (x, y) | x2+y2<4 分為兩 部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為.答案x + y 2 = 0解析由題意知，當(dāng)圓

10、心與P的連線和過點P的直線垂直 時，符合條件.圓心O與P點連線的斜率k= 1,所 以直線OP垂直于x + y-2= 0.y>0,6 .已知 Q= x, y2)直線 y=mx+ 2m和yV 4 x2曲線y= 4 x2有兩個不同的交點， 它們圍成的平面區(qū)域 為M,向區(qū)域上隨機投一點A,點A落在區(qū)域M內(nèi) 的概率為P(M),兀一2若P(M)C兀-2, 1 ,則實數(shù)m的取值范圍是.答案0,12 兀解析 畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點 (一2,0),圓是 上半圓，直線過(一2,0) , (0,2)時，向區(qū)域Q上隨機投 一點A,此時P(M)一2兀點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M),當(dāng)直線與x軸重合時，P

11、(M) =1 ,故直線的斜率范圍是 0,1.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x + y 8x+15 = 0,若直線 y= kx-2上至少存在一點， 使得以該點為 圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則 k的最大值是.答案43解析 可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線y= kx 2的距離不大于2.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x 4）2 + y2=1,圓心為（4,0）.由題意知 （ 4,0 ）|4k 2|k2 1到kx y 2 = 0的距離應(yīng)不大于42，22故 k 的最大值是 38 直線l 過點 （ 0 ， 4 ） ，從直線 l 上的一點 P 作圓 C ：-2y=0的切線PA, PB （A, B為切點），若四邊

12、形PACB 面積的 最小值為2 ，則直線l 的斜率 k 為 答案±2解析 易知圓的半徑為 1 ，因為四邊形 PACB 的最小面積是2,此時切線段長為2,圓心（0,1）到直線y=kx 4 的距離為 %整理，得3k2 4k&0,解得0& k<3. 6i + k2= 5,解得 k= ± 2.9.若直線ax + by = 1過點A （ b, a）,則以坐標(biāo)原點O 為圓心， OA 長為半徑的圓的面積的最小值是 答案兀解析:直線ax + by = 1過點A （ b, a）,1 /. ab + ab=1.= ab = 2.又 OA= a2+ b2,.以。為圓心，OA

13、為半徑的圓的面積為S=兀OA= （a+ b） 兀上ab ,書出，面積的最小值為冗.10 .與直線 x y 4 = 0 和圓 A： x2+y2 + 2x 2y=0 者B 相切的半徑最小的圓C的方程是答案(x-1) 2+ (y + 1) 2=2解析 易知所求圓C的圓心在直線y= x上，故設(shè)其坐 標(biāo)為C (c, c),又其直徑為圓A的圓心A ( -1,1)到直線x-y-4 =0的距離減去圓A的半徑，即即圓C到直線x- y 4=0的距離等于故育區(qū)笑4| =啦? c=3或c=1 結(jié)合圖形當(dāng)c = 3時圓C在直線x y 4 = 0下方，不符合題意，故所求圓的方程為 (x-1) 2+ (y+1) 2 = 2

14、.11 .已知點P (x, y)是圓(x + 2) 2 + y2=1上任意一點.(1)求點P到直線3x + 4y+12 = 0的距離的最大值和最小值；y-2(2)求x的最大值和最小值.x 1解(1) 為d =圓心C ( 2,0)到直線3x + 4y+ 12 = 0的距離所以點= 6+1|3 X 232 + 42P到直線+ 4X 0+ 12| =6. 53x + 4y+12 = 0的距離的最大值為 d + r61最小值為d r = 5 1=5.y 2(2)設(shè) k = x -2i )則直線kx yk + 2 = 0與圓(x +2)2+y2= 1有公共點，3代2|3-3 '2+i<31

15、+ - 333, kmin=* kVmin 一kmax44 3 34.y -2即一x 1 12+ (2014 ,蘇川3H拋)已知圓M的方程 為x2曲y最則t為y，6最小值維標(biāo)原點。為圓心的圓。 與圓 M 相切(1) 求圓 。 的方程；圓。與x軸交于E, F兩點，圓。內(nèi)的動點D使得DE, DO , DF成等比數(shù)列，求 D“E - D-F的取值范圍.解(1)圓M的方程可整理為(x-1) 2+(y1)2 = 8,故圓 心 M(1,1),半徑 R = 2 2.圓。的圓心為 0(0,0) 5 = 2<2 2 , 所以點。在圓M內(nèi)，故圓。只能內(nèi)切于圓M.設(shè)噴|小M。半因為圓。內(nèi)切于圓M,所以MO =

16、 Rr,即2 = 2 2 r)解得r = 2,所以圓。的方程為x2+y2=2.徑為r，(2) 不妨設(shè)E(m,0) ， F(n, 0) ，且m<n. 故 E( 2， 0) ， F( 2， 0)設(shè) D(x ， y) ，由 DE ， D。 ， DF 成等比數(shù)列，得 DEXDF= D。2,即 x+ 2 2 + y2X x 2 2+y2= x2 + y2, 整理得x2 y2 = 1.而 D E= ( 2 x, y) ,D F=( 2 x, 一y),所以 D E , D F = (一 2 x) ( 2 一 x) + ( y) ( y) = x2 + y2 2 = 2y2 1.由于點所以x2 y2<2 ， 得 y2<12，D在圓O內(nèi)，故有2 2