上海市八年級(初二)第二學(xué)期數(shù)學(xué)“無理方程”教案

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。課 題：§21.4無理方程(一)教學(xué)目標(biāo)1. 知道無理方程、代數(shù)方程的概念，并會識別無理方程；2. 經(jīng)歷探索無理方程解法的過程，領(lǐng)會無理方程“有理化”的化歸思想；3. 會解簡單的無理方程，知道解無理方程需要檢驗(yàn)，及如何檢驗(yàn)。教學(xué)重點(diǎn)掌握簡單的無理方程的解法教學(xué)難點(diǎn)了解無理方程產(chǎn)生增根的原因 教學(xué)方法帶領(lǐng)學(xué)生類比學(xué)習(xí)，探究新知。教學(xué)過程問題1已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的A、B兩點(diǎn)。其中點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B是軸上的點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離等于5，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。解由點(diǎn)B在軸上，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式，得即 師述大家能談?wù)劮匠痰奶攸c(diǎn)嗎？學(xué)生回答這個

2、方程的根號里含有未知數(shù)。 師述如果讓你給這種根號里含有未知數(shù)的新方程起個名，你會怎么稱呼它？（停頓，讓學(xué)生稍微思考一下）學(xué)生回答 這是根式方程，無理方程師述根式方程這個名稱倒是挺形象的。那無理方程（停頓，讓學(xué)生稍微思考一下）同學(xué)們不妨回顧一下數(shù)與式。我們都知道實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)又可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（同時板書）。而代數(shù)式可分為有理式和無理式，有理式又可分為整式和分式。通過比較，我們可以看到代數(shù)式和實(shí)數(shù)分類結(jié)構(gòu)相同，如下圖所示 ，師述那我們現(xiàn)在來看方程的分類。我們學(xué)過的一元一次方程，二元一次方程（組）,一元高次方程，都屬于整式方程，前階段我們還學(xué)過分式方程。由類比，我們把整式方程和分式

3、方程統(tǒng)稱有理方程，而我們剛才列出的方程就是無理方程。師述我們給出無理方程的概念方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程。（同時讓學(xué)生把書翻開P.40，把定義劃下來）我們繼續(xù)定義有理方程和無理方程統(tǒng)稱代數(shù)方程。代數(shù)方程結(jié)構(gòu)如下在黑板上寫無理方程的定義時可寫為含有未知數(shù)的方程叫做無理方程。問題2試判斷下列方程中哪些方程是無理方程。(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) 解(1)是一元一次方程，(3)是二元一次方程，都屬于整式方程；(5)是分式方程，而(2)、(4)、(6)、(7)、 (8)都是無理方程，以上八個方程都是代數(shù)方程。師述現(xiàn)在，我們知道

4、無理方程的概念了。接下來，該一起來探究無理方程的解法了。我們不妨來研究問題2中的方程（2）。問題3解無理方程（2） 解方程兩邊平方，得整理得 師問請問同學(xué)們，你平方的目的是什么？學(xué)生回答兩邊平方去掉了根號，把無理方程化成了有理方程。師述同學(xué)們回答得非常好，通過平方我們把無理方程的求解化歸到有理化的求解，顯然有理方程我們是會解的。 同時板書 學(xué)生繼續(xù)求解 師生共同探討不是方程的解，那我們是不是方程解錯了？學(xué)生稍作停留，回答說沒有。但卻是方程的解，這是為什么呢？（把問題拋給學(xué)生。）學(xué)生回答平方，平方把無理方程化為了有理方程，但是.，原方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如方程平方前未知數(shù)x的取值范圍

5、是，而方程平方后未知數(shù)x允許的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，平方使未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大了。所以也就產(chǎn)生了增根。師述:很好。看來由于解無理方程會產(chǎn)生增根。因此有檢驗(yàn)的必要?，F(xiàn)在我們就以方程為例，來進(jìn)行檢驗(yàn)。那怎樣檢驗(yàn)?zāi)兀客ｎD能像分式方程那樣檢驗(yàn)嗎？.只能把解依次代入原方程的左右兩邊，加以檢驗(yàn)。如果左=右，解是原方程的解，否則，解是原方程的增根，要舍去。師述老師帶領(lǐng)學(xué)生在黑板上進(jìn)行一次檢驗(yàn)。檢驗(yàn)當(dāng)時，方程，右邊=4，可知是方程的根； 當(dāng)時，方程，右邊=-1，而右邊不可能是負(fù)數(shù)，可知是方程的增根，應(yīng)舍去。所以，方程的解是 師問:通過剛才的探究，我們初步掌握了解無理方程的步驟。那現(xiàn)在我們一起把問題1中的無理方

6、程解完好嗎？學(xué)生解，教師準(zhǔn)備好，然后投影。師述那這個方程怎么沒產(chǎn)生增根呢？學(xué)生回答方程平方前后未知數(shù)x的取值范圍都是一切實(shí)數(shù)，沒有變化，所以沒有產(chǎn)生增根。歸納解簡單無理方程的一般步驟，可用流程圖表示為 開始 平方，去根號（無理方程有理化） 解有理方程 檢驗(yàn) 是 否 原方程的解 是增根，舍去 寫出原方程的解，結(jié)束課堂小結(jié)：本節(jié)課你的收獲是什么？1 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識？學(xué)生答知道了無理方程的概念，探究了其解法。解法中，通過平方將無理方程化歸為有理化求解。我們還探究了無理方程產(chǎn)生增根的原因。教師補(bǔ)充前面我們學(xué)過的分式方程，通過去分母使分式方程整式化，也體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。2 你領(lǐng)悟了哪些常用數(shù)學(xué)思想與方法？ 答類比法，化歸思想。備用練習(xí)解問題2中的無理方程（8）解移項(xiàng) 兩邊平方，得整理得 檢驗(yàn)是原方程的增根，舍去。而是原方程的解。布置作業(yè)完成練習(xí)冊P.18-19習(xí)題21.4(1