解析幾何專題含答案

1、1.12017浙江,222】橢圓上+L=1的離心率是94B.D.-92.12017課標(biāo)3,理10】已知橢圓C：22x y /+ =12. 2a b（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A, A,且以線段A A為直徑的圓與直線bx ay+ 2ab =0相切，貝U C的離心率為B 3B 3C.D.-33.12016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C：與+丫2=1（向）與雙曲線 C2：含-y2=1（n>0）的焦點(diǎn)重合，eb e分別為C, G的離心率，則（）A. m>n 且 ee>1B . m>n 且 ee<1 C . m<n 且 ee>10162<14.1

2、2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:二.工a2 b2二 1(a b 0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF_Lx軸.過(guò)點(diǎn)A的直線與線段PF交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為（）(A) 3（C）I(D) 45.12015高考新課標(biāo)1,理14】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓22A+卜1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為6.12016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓22二十%=1(a>b> 0)的右焦點(diǎn)，直線a b8.12017課標(biāo)II ,理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為N,

3、點(diǎn)P滿足NP = 2NMy=b與橢圓交于 B,C兩點(diǎn)，且/BFC=90,2則該橢圓的離心率是. 227.12017課標(biāo)1,理20已知橢圓C:3+與=1 (a>b>0),四點(diǎn)P1 (1,1), P2 a b(0,1 ), P3 ( 1,斗,R (1,手)中恰有三點(diǎn)在橢圓 C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于 A B兩點(diǎn).若直線P2A與直線PB的斜率的和為-1,證明：l過(guò)定點(diǎn).2M在橢圓C： 2+ y2=1上，過(guò)M2(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x = -3上，且OP .PQ=1。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ勺直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)Fo 229.12017

4、山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:今+占=1 (a>b>0)的 a b離心率為,焦距為.2(I )求橢圓E的方程；(D)如圖，動(dòng)直線：y=hx-遮交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線2OC的斜率為k2 ,且k1k2 = , M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MC :| AB = 2:3 , M 4的半徑為MC| , OS,OT是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T.求/SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率2210.【2017天津，理19】設(shè)橢圓：+%=1何*>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A, a b離心率為1.已知A是拋物線y2 =2px(p>0)的焦點(diǎn)，

5、F到拋物線的準(zhǔn)線的距離為21 .2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II )設(shè)上兩點(diǎn)P, Q關(guān)于軸對(duì)稱，直線 AP與橢圓相交于點(diǎn)B (B異于點(diǎn)A),直線BQ與軸相交于點(diǎn)D .若4APD的面積為除,求直線AP的方程.2211.12017江蘇，17如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:勺十4=1(ab>0)的 a b左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,離心率為1 ,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E2上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)Fi作直線PFi的垂線，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).12.12016高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分12分)設(shè)圓x2 + y2+2

6、x-15 = 0的圓心為A直線l過(guò)點(diǎn)B (1,0 )且與x軸不重合"交圓A于G D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平 行線交AD于點(diǎn)E.(I)證明|EA+忙B為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(II )設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線 C,直線l交C于MN兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線 與圓A交于P, Q兩點(diǎn)，求四邊形MPN面積的取值范圍13.12016高考山東理數(shù)】(本小題滿分14分)平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:與+2r=1(a> b> 0)的離心率是 叵,拋物線 a/ b”2E: x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).(I )求橢圓C的方程；(II )設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與

7、C交與不同的兩點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線ODW過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn) M (i )求證：點(diǎn) M在定直線上；(ii )直線與y軸交于點(diǎn)G,記4PFG的面積為S1, apdm的面積為S2，求S的 S2最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).【答案】(I) x2+4y2=1; (n) (i)見(jiàn)解析；(ii )魯?shù)淖畲笾禐?,此時(shí)點(diǎn) S24P的坐標(biāo)為(色) 2 4 【解析】試題分析：(I)根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程； (n) (i)由點(diǎn)P的坐標(biāo)和 斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn) M在定直線上；(ii )分別列 出S1, S2面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).

8、試題解析：2(II) (i )設(shè) P(m,m-)(m >0),由 x2=2y 可得 y/=x, 2所以直線的斜率為m,22因此直線的方程為y - = m(x - m),即y = mx-.22二 _m設(shè) A(xi ,y) B(x2 ,y2), D(x(n y(j),聯(lián)立方程 y mX 2x2 4y2 =1得(4m2 +1)x2 -4m3x + m4 -1=0,由 AA。，得 0<m <v：2 + J5 且xi34mx22"，4m 1因此x0 二xix22m32，4m 12將其代入y = mx -得y02m2(4m2 1)因?yàn)楸纫还04m所以直線OD方程為yx.1.聯(lián)

9、立方程J 一一mx,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM =-1,4x = m即點(diǎn)M在定直線y = -1上.42（ii ）由（i）知直線方程為y = mx- 222令乂=0得丫 = 一比，所以G（0,旦）, 22又 P(m,322m - m2，2)4m2 1 2(4m2 1)1 一1,2所以 § =一 | GF | m =-m(m +1),24c1 1 ,m(2m2 1)2S2 =一|PM | |m-x0 |=2-,2 28(4m2 1)所以12(4m2叫：1)S2(2m2 1)2令 t = 2m2 1Si(2t -1)(t 1)s2 ;t當(dāng)1 = 1,即t=2時(shí)，且取得最大值9,此時(shí)m =型，滿足

10、Aa0,t 2S242，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為（義,3,因此2的最大值為號(hào)，止匕時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（Y!）.2 4S242 4考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).14.12015江蘇高考，18（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓X十4=1（2>20）的離心率為 , a2 b22且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F的直線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P, C,若PG2AB,求直線AB的方程. 2【答案】（1） x- + y2=1 （2） y

11、=x-1或 y = -x+1 . 2【解析】試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為 ,2二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3,解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過(guò)F,所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AE出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出 AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出 P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出 PC長(zhǎng)，利用PC=2ABS出直線AB斜率，寫(xiě)出直線AB方程.(2)當(dāng)AB_Lx軸時(shí)，ab=72,又CP = 3,不合題意.當(dāng)AB與軸不

12、垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y = k(x-1), A(x1,y1), B®)2), 2k2-kJ+2k2，1+2k2將AB的方程代入橢圓方程，得(1+2k2 )x2-4k2x + 2(k2-1)=0,則x _2k E2。")c的坐標(biāo)為 x12 -21 2k2y2 -yi二221 k ii： x2- x1二2 2 1 k221 2k2若k=0,則線段ab的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.從而k#0,故直線PC的方程為y +2 一一1 2k k2k2x 21+2k ,則點(diǎn)的坐標(biāo)為-2.5k2 2 k 1 2k2,從而?C =2 3k2 1 . 1 k2k 1 2k2

13、因?yàn)镻C=2AB ,所以2 3k2 1 1k24.2 1 k2k 1 2k221 2k2此時(shí)直線AB方程為y =x-1或y = -x+1 .【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系22設(shè)橢圓?事15.12016高考天津理數(shù)】(本小題滿分14分)=1 ( a > V 3 )的右焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A ,已知11 3e.一,.，,一一、 、'+' = 王，其中O為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.|OF| |OA| |FA|''(I )求橢圓的方程;(n)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓交于點(diǎn) B ( B不在x軸上)，垂直于的直線與交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)H ,若BF _L HF ,

14、且/MOAwNMAO ,求直線的斜率的取值范圍.【答案】(I)W+!2=1(n)(g,_2U史 4344【解析】11 3c一+ =c a a(a -c)試題分析：(I )求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由 ,+=工，得 |OF| |OA| |FA|再利J用a2 -c2 =b2 =3,可解得c2=1, a2 =4 (n)先化簡(jiǎn)條件:/MOA =/MAO u |MA|=|MO |即M再OA中垂線上，Xm =1再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求 B；利用兩直線方程組求 H,最后根據(jù)BF1HF,列等 量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：(1)解：設(shè)F(c,0),由，+,=注,即,可得 |OF | |

15、OA| | FA| c a a(a-c)a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因止匕a2=4,所以橢圓的方程為22L E=i.43(2)( n)解：設(shè)直線的斜率為k ( k/0),則直線的方程為y = k(x-2).設(shè)b(xbb),-22由方程組 43 1，消去 y，整理得(4k2+3)x2 -16k2x + 16k2 -12 = 0.J=k(x2)解得 x=2,或 x=8k=, 4k2 3由題意得8k2 -6Xb = -2 ，從而4k 3Vb =-12k4k2 3_2_9-4k 12k 、, BF = (一2 , 一2).由4k 3 4k 3由(I )知，F(xiàn)(1.0),設(shè)

16、 H(0,yH),有 FH =(1，Vh) c 412“Ic ”2川口已得某市=°,所以E+1A = 0,解得yH=3T.因此直線MH2的方程為y =x 吐”k 12k設(shè)Mmn)，由方程組，9一相,k* 12k消去了，解得二.在即中,ZMOAWMO,即( -2>a + 或4H + 武，化簡(jiǎn)得知之 1,即如9解12(V+D 隆所以，直線的斜率的取值范圍為(-oO, gUll*).44考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程16.12015高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓22xyC:2=1 a b 0ab的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別是F1, F2 ,以兄為圓心以 2

17、3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓 C上.(I )求橢圓C的方程;22(n)設(shè)橢圓e：二十2T=1, p為橢圓C上任意一點(diǎn), 4a 4b過(guò)點(diǎn)P的直線y = kx + m交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.4 |OQ 求事的值;(ii )求AABQ面積的最大值.2_【答案】(I)、+ y2=1 ； (II ) ( i)2； (ii ) 6V3 .4【解析】試題分析：(I )根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定a,b的值，從而得到橢圓的方程；（II ） （i）設(shè) P（x0,y0）,OQOP=九，由題意知Q（hXo,hv。）,然后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定九的值

18、；(ii )設(shè)Alx” )B(x2,y2,利用方程組y = kx m22結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)選將AOAB的面積表示成關(guān)于k,m的表16s=2m,X2 X2 2jl6k2 * +4 -m2 m21 4k2=22m4 -21 4k22上二，然后，令1 4k22m1 4k2=t,利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出AOAB的面積的最大值，并結(jié)合（i ）的結(jié)果求出面積的最大值試題解析：(I )由題意知2a = 4,貝1Ja=2 ,又',a2 -c2 = b2可得b = 1 ,a 22所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二 十 y2”22（II ）由（I ）知橢圓E的方程為左+匕=1, 164(i

19、)設(shè) P(x°, y° ),OQOP2=九，由題意知Q（-九x°,-九y° ）因?yàn)?+y2 =1 ,416=1,即-2/2、無(wú)+ y； =1 ,所以九414°)=2,即塔|OP所以x -x24、16k2 4 - m221 4k22416k2+4-m2 m1 4k2因?yàn)橹本€y = kx+m與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,m） . 一一一 1所以&OAB的面積S =- m x2 -x2 =2由至0 ,可得m2 <1 +4k2 由可知0：t_1因止匕 S =2m4二7 = 2«?47 ,故SM2J3當(dāng)且僅當(dāng)t =1 ,即m2 =1 +4

20、k2時(shí)取得最大值2君由（i ）知，MBQ面積為3S ,所以MBQ面積的最大值為6展.【考點(diǎn)定位】I、橢圓的怖隹方程與幾何性質(zhì)，2、直線與橢圜立造關(guān)系綜合問(wèn)題：3、函數(shù)的最值問(wèn)題.【客師點(diǎn)用I】本通考查了桶圖的霍念標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)以及直線與橢圖的位貴關(guān)系,意在考查學(xué)生理解 力、分析封折能力以及螺合利用所學(xué)知識(shí)解決同S能力弼娉的運(yùn)算求解SS力，在得到三角形的面積的表 達(dá)式后，能否利用換元的方法，現(xiàn)察出其中的函數(shù)背景成了完全解決同照的關(guān)鍵.2217.12015高考陜西，理20（本小題滿分12分）已知橢圓E：j+多=1 （ab>0） a b的半焦距為，原點(diǎn)0到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（c,0 ）,（0,b ）

21、的直線的距離為1c.（I）求橢圓E的離心率；225.（II ）如圖，AB是圓M:（x + 2）+（y-1）=-的一條直徑，右橢圓E經(jīng)過(guò)A , B2兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.2123【解析】試題分析：（I）先寫(xiě)過(guò)點(diǎn)（c,0 ）, （0,b）的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn) 。到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓E的離心率；（II ）先由（I ）知橢圓E的方程，設(shè)AB的方程，聯(lián)立y =k（x+2） + 1,消去丫，可得xx2和取2的值，進(jìn)而可得，再利用四=標(biāo)x2 +4y2 =4b2可得b2的值，進(jìn)而可得橢圓E的方程.試題解析：（I）過(guò)點(diǎn)（c,0 ）, （0,b）的直線方程為bx+cy- bc = 0 ,c = _3a

22、- 2則原點(diǎn)0到直線的距離d逐一吃 一 b2 - c2a由d =1c,得a = 2b= 2x/a2 - c2 ,解得離心率 2（II）解法一：由（I）知，橢圓E的方程為222x +4y = 4b .依題意，圓心M （-2,1 ）是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|=7T0.易知，AB不與軸垂直，設(shè)其直線方程為y = k（x + 2）+1 ,代入（1）得8k(2k+1)設(shè) A(x,y1),B(x2,y2),貝11為 +x2=-?小2 =-1 +4k一224(2k+1) - 4b1+4k2由”4得-合=-4，解得k = 2.從而 X1X2 =8- 2b2.于是 |AB |= Ji + 2| x1 x2 |

23、 =x1)x2 f -4x1x2 = J10(b2 -2).由 | AB |二癡，得 J10(b2- 2)=而，解得 b2 = 3.22故橢圓E的方程為± + L = 1.123解法二：由（I）知，橢圓E的方程為x2 +4y2 = 4b2.因此AE直線方程為y = 1(x + 2)+1 ,代入(2)得x2+4x + 8- 2b2 = 0.所以 X + x2 = - 4 , x1x2 =8- 2b2.|Xi -x2 產(chǎn)x1 +x2 ) -4x1x2 二. 10(b2 -2).由 | AB |二 J10 ,得；10(b2- 2) = J10,解得 b2 = 3.22故橢圓E的方程為- +

24、 = 1.123考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；4、 橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位 置.218.12016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖，設(shè)橢圓 今+ y2 = 1 (a>1).a(I)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a、k表示)；(II )若任意以點(diǎn) A (0,1 )為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】(I)登"(II ) 0<e<,1 a2k22【解析】2試題分析：(I)先聯(lián)立y = kx+1和斗+y2=1 ,可得為，X2,再利用弦長(zhǎng)公式可

25、得a直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)；(II )先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有 4個(gè)，再 利用對(duì)稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍.y = kx 1試題解析：(I )設(shè)直線y = kx+1被橢圓截得的線段為AP,由x2 2 得+ y =1L.a(1 +a2k2 )x2 +2a2kx = 0 ,2a2kx1 = 0 , x2 = 2-1 a k因此AP=1 k2X1 - x22a2 k1 a2k2.1 k2(II )假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有 4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不 同的點(diǎn)P, Q ,滿足 P = AQ

26、.記直線AP , AQ的斜率分別為k1 , k2，且k1 , k2 A 0 , k1 * k2 .由(I )知,AP2a21klM +k12AQ =2a2|k2|"1+k；1 a2k1因此T2+1k-12+1 =1+a2(a2 -2),人k2)因?yàn)槭疥P(guān)于k- k2的方程有解的充要條件是1+a2(a2 -2)>1,所以 a >無(wú).因此，任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1 ； a 工 2 ,由e = c =二1得，所求離心率的取值范圍為 0<ewY2. a a2考點(diǎn)：1、弦長(zhǎng)；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率.19.12015高考新

27、課標(biāo)2,理20(本題滿分12分)已知橢圓C:9x2+y2 =m2(m >0),直線不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)A , B ,線段AB的中點(diǎn)為M .(I )證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；(n)若過(guò)點(diǎn)(m,m),延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四 3邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說(shuō)明理由.【答案】(I)詳見(jiàn)解析；(n)能，4 "或4 + ".【解析】(I )設(shè)直線 l : y =kx+b (k#0,b#0) , A(x1, y1) , B(x2, y2) , M (xM,yM).將 y=kx+b 代 入 9x2 + y=m#

28、 (k2+9)x2+2kbx+b2 m2 = 0 , 故x1 x2kbxM =一 _2，M 2 k2 9yM =kxM +b=于是直線OM的斜率koM =泣=-?,即& k = -9.所以直k 9xmk線OM的斜率與的斜率的乘積為定值.(II)四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(m,m),所以不過(guò)原點(diǎn)且與 C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0,3k #3 .由(I )得OM的方程為y = x .設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 kxp9.由尸工x，得 222、9x + y = m ,222 k mxp 二29k 81，即 xp n Tm3；k2 9.將點(diǎn)gm)的坐標(biāo)代入直線的方程得b=T，因此

29、Xm =器號(hào).四邊形0ApB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段0P互相平分,Xp =2Xm .于士 km3.k2 92Mmk冬二3!.解得477k2 =4十77 .因?yàn)?ki A0,ki #3, i =1 ,所以當(dāng)?shù)?(k2 9)斜率為 4_"或4+"時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.【考點(diǎn)定位】1、弦的中點(diǎn)問(wèn)題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】（I）題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦AB的 中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦 AB 的中點(diǎn)，并尋找兩條直

30、線斜率關(guān)系； （II）根據(jù)（I ）中結(jié)論，設(shè)直線 OM方程并 與橢圓方程聯(lián)立，求得M坐標(biāo)，利用xp =2xm以及直線過(guò)點(diǎn)（？m）列方程求的值.32220.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓E:±+L=1的焦點(diǎn)在軸上，A是E的 t 3左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA_LNA.（I ）當(dāng) t =4,| AM |=| AN | 時(shí)，求 AAMN 的面積；（II）當(dāng)2 AMi =AN|時(shí)，求k的取值范圍.【答案】（I）出；（n） （3/2,2）. 49【解析】試題分析：CI）先求直線dAf的方程，再來(lái)點(diǎn)Af瞪H坐標(biāo)，最后求的面枳M1 ）設(shè)M（巧將直線

31、處的方程與橢圓方程組成方程組，消去y,用火表示不，從而表示|3門(mén)，同理用k表示 再由= 求匕22試題解析：設(shè)MJ,”），則由題意知，當(dāng)一時(shí),E的方程為1,A -2,0 .3T由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為 -.因此直線AM的方程為將x=y-2代入)十:=1得7y212y = 0.解得丫=0或丫 = 11,所以必因止匕MMN的面積=2 Jx1212：1442 7749(II )由題意 t >3, k >0 , A(f/T,0).22將直線AM的方程y = k(x + M)代入 亍+=1得(3+1卜2 )x2+2而k2x + t2k2 - 3t = 0 .- t2k2 由

32、x1ft = 2 得 x1 =3 tk4 3-tk23 tk2=xi6J 2 k23 tk2由題設(shè)，直線AN的方程為y = 1(x +小)，故同理可得AN = k6k t 1 k23k2 t '由 2 AMi =|AN 得3 tk23k2 t,即 k3 -2 t =3k 2k -1 .當(dāng)k = 3/2時(shí)上式不成立,因此t=”) t>3等價(jià)于k3-3k2 k-2 k-2 k2 1k3 -2k3-2k -2k-2 0即飛<0.由此行k3 -2k3-2 ：0 k -2 :二 0，或3k3 -2 0因此k的取值范圍是(我2).考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系21.【2015高

33、考四川，理20如圖，橢圓E:2+多=1(a a b a 0)的離心率是,a b2過(guò)點(diǎn)P (0,1 )的動(dòng)直線與橢圓相交于A,橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2點(diǎn).B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與x軸時(shí)，直線被(1)求橢圓E的方程;(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得QBPAPB恒成立？若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 22【答案】(1):+/=1; (2)存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(0,2). 42【解析】(1)由已知，點(diǎn)(/1)在橢圓E上.21 d丁 +TT =1>a b因此，a2 -b2 =c2,c_V2a 一萬(wàn),解得 a =2,b = 2.22所以橢圓的方程為ZE=1

34、. 42所以，若存在不同于點(diǎn) P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0,2).下面證明：對(duì)任意的直線，均有 1QAJ =噠.|QB| |PB|當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為y = kx+1, A B的坐標(biāo)分別為(七，y1),(x2,y2).-22，得(2 k2 +1)x2+4kx-2H一 ±-L=1聯(lián)上 42y = kx 1其判別式 A=16k2 +8(2k2+1) >0 ,4k2所以， x1 x2 =-己 ,x1x2 = 一一己 2k2 12k2 1因止匕 1 =x-x2 =2k. x x2x-易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的

35、坐標(biāo)為B'(-x2,y2).x1又 kQA=g-x2又2所以kQA=kQB，即Q,A,B三點(diǎn)共線.所以空I |QA| _兇 |PA|QB| |QB | 一幅| 一 |PB故存在與P不同的定點(diǎn)Q(0,2),使得LQAJ =四恒成立.|QB| |PB|22.【2016年高考北京理數(shù)】(本小題14分)已知橢圓 C: 乂 + £=1 (a>b>0)的離心率為 燙，A(a,0) , B(0,b), O(0,0), a2 b22/AB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：AN BM為定值.2【答案】(

36、1) +y2=1; 詳見(jiàn)解析. 4【解析】試題分析：(1)根據(jù)離心率為 叵,即£=立，AOAB的面積為1,即1ab=1, 2 a 22橢圓中a2 =b2+c2列方程求解；(2)根據(jù)已知條件分別求出 AN| , |BM |的值，求 其乘積為定值.2所以橢圓C的方程為土+y2=1.4(2)由(I )知，A(2,0),B(0,1),設(shè) P(Xo, y0),則 x2 +4y； =4.當(dāng)Xoo0時(shí)，直線PA的方程為y=(x-2).Xo -2令 x = 0 ,得 yM = - 2* .從而 BM | =|1 -yM1 =1 + 2y0 . X0 -2Xo -2直線PB的方程為y =包二1X+1.

37、X0所以AN BM =X0從而 AN =|2 -X2 x0 y0 -12 y?-11 2y0X0 - 22,2,c,X0 +4y0 +4x0y0 4x。-8y。+4 4x0y0 4x。8y。+8Xo yo - X0 - 2 yo2Xo y° - Xo - 2 y02BM=2, AN=2,所以 AN BM|=4.綜上,AN BM為定值.考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.23.【2016年高考四川理數(shù)】(本小題滿分13分)22已知橢圓E: '= 1(a Ab A0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的 a b三個(gè)頂點(diǎn)，直線l:y = -x+3與橢圓E有且只

38、有一個(gè)公共點(diǎn) T.(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);(D)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l '平行于O1與橢圓E交于不同的兩點(diǎn) A、B, 且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù) 九，使得|pt|2=%pa -PB ,并求九的值.=1,點(diǎn) T坐標(biāo)為(2,1)； (n) k =【解析】 試題分析：(I)由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可 得a=&c,從而可得a=J2b,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個(gè)參數(shù)，再利用直線b的值，從而和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，解出得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(D)首先設(shè)出直線1'方程為y = 1x + m,由兩直線方程求22出點(diǎn)

39、P坐標(biāo)，得|PT ,同時(shí)設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1), B(X2,y2),把l'方程與橢圓方程聯(lián)立 后消去y得x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得 xi+x2,xix2,再計(jì)算PA.PB, 比較可得九值.試題解析：(I)由已知，a2+a2=(2c)2,即2 = &。，所以a = V2b,則橢圓E的由方程組22x y2b" b " '得 3x2 -12x+(18-2b2)=0 .y =-x 3,方程的判別式為A=24(b2 -3),由A=0 ,得b2=3 ,此方程的解為x=2,22所以橢圓E的方程為人+匕=1.63點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1 ). 22x y工=1,由

40、方程組 63 可得 3x2+4mx+(4m2 -12) =0.y = 1x m,2方程的判別式為A=16(9-2m2),由A>0 ,解得-3、23 -2:二 m :.由得. 24m4m T2x1 x2= - 一，x1x2 =33所以 PA =«2_等_%, +(1、弓_7)2 =曰 2 一竿一丁 3323同理 |PB2-2m-x2所以PA PB5=4(2 -2m2m10 2=m .94 ,使得 |pt2=，1pa PB .故存在常數(shù),二 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)24.12015高考重慶，理21】如題(21)圖,22橢圓 與+與= 1(a a b a 0 )的左、右 a

41、b焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQ_LPFi(1)若|PF1 =2+ePF2 =2-短,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若 PFi =|PQ，求橢圓的離心率e2_恪案】(1) /y、；褥一點(diǎn)【解析】 試題解析：(1)本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可 得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即參數(shù)的值，而由 PQ 1 PF1,應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；(2)要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)PF1 = m,貝U PF2 =2a-m,QF2 = PQ - PF2| =m-(2a -m) = 2m-2a

42、,于是有 QF1| =2a- QF2 = 4a -2m ,這樣在RtAPQF1中求得m =2(2 -&)a ,在RtiPF1F2中可建立關(guān)于a,c的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義,設(shè)橢圓的半焦距為2a =| PF1 | + |PF2|=(2+ '、2)+(2-、2)=4,故 a=2.c,由已知PFi _L PF2 ,因止匕2c =|FE |= |PF |2 +|PF> |2 = (2+2)2+(2- 2)2 =2、3,即 c=.3.從而 b =、a2 - c2 = 12故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 上+y2 = 1 .4由橢圓 的 定義， |PE | + |PF2|=

43、2a,| QFi |+|QF2|=2a ，從而 由|PF| = |PQ| = |PF2| + |QF2|,有 |QFi|二4a - 2|PFi|又由 PF,_LPF2, |P1 |=|PQ|知 |QF|=0|P>|,因此(2+我)|PF,|二4a于是（2 + a2 - 2b2 )= 4a.解得e =6- .3.解法二：如圖（21）圖由橢圓的定義，|PFi| + |PF2|=2a,|QFi|+|QF2|=2a,從而由 |PF | = | PQ | = | PF | + |QF 有 |QFi|二4a-2|PFi|又由 PF_LPF2, |P弓 |二|PQ| 知 |QF|二&|PF|,

44、因此 4a-2| PF |=V2|PF |, |PF |=2(2-物a,從而 |PE |=2a-| PE |=2a- (2-防a =2(彼-i)a由 PF IPF2,知 | PFi |2 +|PF2 |2=| PF2 |2=(2c)2 = 4c2,因止匕【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力.2225.12015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為 與+與=1（abA0）,點(diǎn) 仍坐標(biāo) a b原點(diǎn)，點(diǎn)A勺坐標(biāo)為（a,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,b）,點(diǎn)M£線段ABk,滿足|BM|=2MA ,直線OM勺斜率為.10（I ）求E的離心率e;（II

45、）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-b）, N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7,求2【答案】（I）友；（II ） £+9=1. 5459【解析】（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2ab）,又koM =在，從而且=1， 3310 2a 10進(jìn)而得 a = V5b, c = Ja2 -b2 = 2b ,故 e 二=25 . a 5（II ）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線 AB的方程為 *+2=1,點(diǎn)N ,5b b的坐標(biāo)為（Y5b,-二b）,設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為（Xi），則 222線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（Y5b + Zb+）.又點(diǎn)T在直線AB上，且424

46、4而 h + X 17b+ 一b十一b_解得b = 3,所以a=375 ,故橢圓54 廠 2 +口_4=17 1h b2 2_5b“一丁kNS kAB - 1,從而有'22E的方程為工+L=1. 459【考點(diǎn)定位】1.橢圓的離心率；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的應(yīng)用.22_26.12015高考福建，理18】已知橢圓E:三+與=1（a>b>0）過(guò)點(diǎn)（0,石），且離 a b心率為-2 .2（I ）求橢圓E的方程;(II)設(shè)直線x = my-1, (m?R)交橢圓E于A, B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G(- 9,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. 422【答案】(1

47、):+上=1； ( n) G (-9,0)在以AB為直徑的圓外.424【解析】解法一：(I)由已知得i?9?i?9筍.b=&，?a = 2=-,解得 ib = J2 , a 2?_2 =b2 |AB|2 5, 2 彳、 25 5m23(m2+1) 25 17m2 +2 八故 |GH|2-=-my0 + (m2+1)y1 y2+=22+ =2>04216 2(m2+2)m2 + 216 16(m2+2)所以 |GH|>|AB| ,故 G(-2,。) 在以AB為直徑的圓外. 4解法二：(I )同解法一. (n )設(shè)點(diǎn) A(xi yi), B(x2,y2),則 GA = (x1 +-,yi),GB =(x2 +-, y2). 4? x = my- 1由 ix2 v2彳4(m2+2)y2- 2my- 3=0，所以 y1 +y2= 孚 NN2 =-23，? + < =1m +2 m +2? 4.9.,9、,5.,5、從而 GA|_GB = (x1 + )(x2 +