第七章 隨機振動的響應(yīng)分析

1、第七章隨機振動的響應(yīng)分析第七章 隨機振動的響應(yīng)分析7-1 單輸入單輸出的線性系統(tǒng) 7-2 多輸入多輸出的線性系統(tǒng)本章討論機械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機激勵作用下，激勵激勵系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)響應(yīng)三者之間的關(guān)系。系統(tǒng)有線性與非線性之分。大量工程問題，線性模型可得到逼真的結(jié)果。本課程只討論線性系統(tǒng)問題。隨機激勵分兩類：參數(shù)激勵與非參數(shù)激勵參數(shù)激勵：系統(tǒng)本身的某些參數(shù)(如質(zhì)量、剛度、阻尼等)隨時間隨機地變化而引起振動。非參數(shù)激勵即由外界施加的激勵。非參數(shù)激勵又分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的兩類。本章研究常參數(shù)線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機激勵的響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的激勵(輸入)是平穩(wěn)過程時，由于常參數(shù)的假設(shè)，系統(tǒng)的響應(yīng)(輸出)也一定是平穩(wěn)的。對于一

2、個常參數(shù)線性系統(tǒng)，它往往可能在不同位置上同時受到激勵，即有多個輸入；其響應(yīng)也可能有很多個，而且不同位置處的響應(yīng)也不同。對于線性系統(tǒng)來說，多輸入與多輸出問題可以在單輸入與單輸出問題的基礎(chǔ)上應(yīng)用疊加原理得到解決對于確定性振動，激勵與響應(yīng)之間的關(guān)系，一般用微分方程來描述，方程的非齊次項是確定的，初始條件也是確定的，因此響應(yīng)也是確定的。在隨機振動中，一般激勵與響應(yīng)都必須用概率統(tǒng)計的方法來描述。在激勵與系統(tǒng)特性已知的情況下，只能求出響應(yīng)的一些統(tǒng)計特征，如期望（均值）、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、均方值等。7-1 7-1 單輸入單輸出的線性系統(tǒng)單輸入單輸出的線性系統(tǒng)假定常參數(shù)線性系統(tǒng)只受到一個輸入x(t)的作用

3、，其相應(yīng)的響應(yīng)(輸出)為y(t)，如圖所示。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output (response)輸出（響應(yīng)）輸出（響應(yīng)）x(t)Input (excitation)輸入（激勵）輸入（激勵）本章研究輸入、輸出和系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的關(guān)系，以及計算響應(yīng)（輸出）的統(tǒng)計特征的方法設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程X(t)的一個樣本函數(shù)則系統(tǒng)輸出y(t) 是另一平穩(wěn)隨機過程Y(t)的一個樣本函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)，則頻率響應(yīng)函數(shù)是H()。常參數(shù)線性振動系統(tǒng)常參數(shù)線性振動系統(tǒng)y(t)Output (response)輸出（響應(yīng)）輸出（響應(yīng)）x(t)Input (excitatio

4、n)輸入（激勵）輸入（激勵）一、響應(yīng)的均值對于輸入的一個樣本函數(shù)，由卷積積分公式，可得輸出的一個樣本函數(shù)( )() ( )dy tx th( )() ( )dy tx th設(shè)想對于輸入中的每個樣本函數(shù)，都可按上式寫出其對應(yīng)的輸出的樣本函數(shù)。于是，可得到輸出的集合平均為: ( )() ( )dE Y tEX thdhtXEtYE)()()(xtXEtXE)()(dhtYEx)()(dehHj)()(0dhH)()0( 輸入與輸出均值的關(guān)系式為： ( )= (0)YXE Y tHdhtYEx)()(dhH)()0(H(0)是一個常數(shù)，它表示輸入X(t)與輸出Y(t)中，頻率=0這一成分（即直流分量

5、）之間的傳遞關(guān)系。)()()0(txtyH直流分量上式表明，當(dāng)輸入是平穩(wěn)過程時，輸出的均值與輸入的均值只差一個乘子H(0)。若輸入的均值為零，則輸出的均值也一定為零。此結(jié)論可以推廣到多輸入與多輸出的情形。 ( )=(0)YXE Y tH二、響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)輸出過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為: ( ) ()E Y t Y t上式為輸出的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。該式說明，對于常參數(shù)線性系統(tǒng)，若激勵是平穩(wěn)隨機過程，則響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)與自然時間無關(guān)，也一定是平穩(wěn)的隨機過程。則響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)可表示為:122112( ) ( ) ()=() ()()ddYXRE Y t Y thhR 對輸出的自相關(guān)函數(shù)

6、作傅立葉變換，便得到響應(yīng)的自功率譜密度SY()為三、響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)三、響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)變換積分次序，并重新排列jj122112( )( ) ( ) ()()d dd YYXSRedehhR 1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 令=-1+2，由維納辛欽關(guān)系式知，最后一個積分就是激勵X(t)的自譜密度： j( )( )dXXSRe第二個積分就是脈沖響應(yīng)函數(shù)h(2)的傅立葉變換，即頻率響應(yīng)函數(shù)H()。2j22( )()dHhe1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 前兩個積分的不同在于指數(shù)中的正

7、負(fù)號的差別。經(jīng)處理后得隨機輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式:上式是隨機振動理論中一個極其重要的公式，指出了輸入、輸出與系統(tǒng)動態(tài)特性三者之間的關(guān)系。 1221jj1122j2121ddY()XS ()h()edh()eR ()e() 111)()()(dehHHj2( )( )( )( )( )( )YXXSHHSHS上式表明，若已知系統(tǒng)的增益因子|H()|和輸入的自譜密度SX()，則可確定輸出的自譜密度SY()。事實上，若已知SX() 、|H()|和SY() 三者中的任意兩個，就可以確定第三個。此外，響應(yīng)的自譜密度是與系統(tǒng)的相位因子無關(guān)的。2( )( )( )( )( )( )YXXSHHSHS已知

8、響應(yīng)的自譜密度SY()，則可計算出響應(yīng)的均方值EY2: 21(0)( )d2YYE YRS四、響應(yīng)的均方值四、響應(yīng)的均方值將隨機輸入與輸出的自譜密度關(guān)系式代入上式2221( )( )d2YXE YHS注意：當(dāng)均值為零時，均方值就等于方差。22YY在輸入為理想白噪聲的情況下，由于輸入的自譜密度對于所有的頻率都是常數(shù)，則響應(yīng)的均方值公式可得到簡化:220( ) d2YSH只要計算出如下的廣義積分I值，便可求得響應(yīng)的均方值：2( ) dIH2221( )( )d2YXE YHS由互相關(guān)函數(shù)的定義，可得激勵與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù):( )( ) ()( )( )()d ( ) ( )()d( )()dX

9、YXRE X t Y tE X thX thE X t X thR五、激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)五、激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)常參數(shù)線性系統(tǒng)在受到平穩(wěn)隨機輸入時，激勵與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)正好等于脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入自相關(guān)函數(shù)的卷積( )() ( )dy tx th( )( )()dXYXRhR對互相關(guān)函數(shù)表達式作傅立葉變換，便可得到激勵與響應(yīng)之間的互功率譜密度。六、激勵與響應(yīng)的互譜密度六、激勵與響應(yīng)的互譜密度jjj-( )( )d =( ) ()d ( )()d d XYXYXSRehRdehRe 與前面計算響應(yīng)自譜相似的方法，將上式改寫為：jj()( )( )d()d() XYXSheRe ( )(

10、 )()dXYXRhR上式第一個積分是頻率響應(yīng)函數(shù)H()，第二個積分就是激勵X(t)的自譜密度SX()( )( )( ) XYXSHS上式表明：輸入與輸出之間的互譜密度等于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)與輸入自譜密度函數(shù)的乘積。通過該式可完整地確定系統(tǒng)的頻率特性H()。jj()( )( )d()d() XYXSheRe 由于H()是復(fù)數(shù)，它可表示為:( )( )j ( )HAB則互譜密度可以表示為:( ) ( )j ( )( )XYXSABS由于SX()是實偶函數(shù)，則互譜密度函數(shù)可表示為：( )( )( )( )( )arctg( )XYXXYBSHSA上式表明：互譜密度的幅值等于系統(tǒng)的增益因子與 輸入自

11、譜的乘積互譜密度的幅角又等于系統(tǒng)的相位因子。( )( )( )( )( )arctg( )XYXXYBSHSA七、相干函數(shù)七、相干函數(shù)22( )( )( )( )XYXYXYSSS系統(tǒng)輸入與輸出的譜相干函數(shù)（又稱凝聚函數(shù)）可通過下式來定義：SX()和SY()皆為實函數(shù)，故相干函數(shù)必為實函數(shù)?？梢宰C明，對于所有頻率，相干函數(shù)滿足以下不等式：20( )1XY當(dāng)輸入與輸出互不相關(guān)時，有RXY()=0，從而互譜密度SXY()=0，于是由定義知相干函數(shù)也等于零。對于線性系統(tǒng)，存在下列關(guān)系2( )( )( )( )( )( )YXXYXSHSSHS在線性系統(tǒng)的假設(shè)下，輸入輸出線性相關(guān)，有22222( )(

12、 )( )( )1( )( )( )( )( )XYXXYXYXXSHSSSSHS輸入輸出互不相關(guān)時，相干函數(shù)的值等于0；輸入輸出線性相關(guān)時，相干函數(shù)等于1。相干函數(shù)的值在0與1之間。如果相干函數(shù)值大于零但小于1，為以下三種情況之一 聯(lián)系輸入X(t)和輸出Y(t)的系統(tǒng)是非線性的(2) 測量中有外界噪聲干擾(3) 輸出Y(t)是輸入X(t)和其它輸入的綜合輸出。j0( )tx tx e如圖所示的單輸入線性系統(tǒng)，假定只在輸出測量中混有噪聲，則實測得到的輸出Z(t)是真實輸出Y(t)與噪聲干擾N(t)之和。( )( )( )Z tY tN tN(t)Z(t)H()X(t)Y(t)只討論一種存在噪聲

13、干擾的情況：假定X(t)與N(t)皆是均值為零的平穩(wěn)隨機過程，且N(t)與X(t)和Y(t)都是不相關(guān)的，則有：0)()()()(YNNYXNNXRRRR)()()()()()()()()()(XYXNXYXZRRRtNtXtYtXEtZtXER輸入與實測輸出之間的互相關(guān)函數(shù)：故有:)()(XYXZSS實測輸出的自相關(guān)函數(shù))()()()()()()()()()()()()(NYNNYYNYZRRRRRRtNtYtNtYEtZtZER實測輸出的自譜密度)()()(NYZSSS輸入X(t)與實測輸出Z(t)的譜相干函數(shù):( )( )( )( )( )XZXYZYNSSSSS22( )( )( )(

14、 )XZXZXZSSS得到222Z2( )( )( )1( )( )( )( )XXXXNHSSHSS將互譜密度與自譜密度式代入上式，并結(jié)合下式2( )( )( )( )( )( )XYXYXSHSSHS上式表明：在有噪聲干擾的情況下，輸入與實測輸出的譜相干函數(shù)將小于1。因此，對于線性系統(tǒng)，可借助相干函數(shù)值來判斷干擾影響的大小。)()()()()()()(XXZXXYXZSSHSHSS此外：雖輸出中含有干擾，但通過實測信號的互譜密度以及輸入信號的自譜密度可以精確的獲得系統(tǒng)的頻響特征222Z2( )( )( )1( )( )( )( )XXXXNHSSHSS7.2 7.2 多輸入多輸出的線性系統(tǒng)

15、多輸入多輸出的線性系統(tǒng)考慮某一具有m個輸入Xi(t) (i=1,2, m)和n個輸出Yk(t) (k=1,2, n)的常參數(shù)系統(tǒng)，假定每個輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機過程。( ), 1,2, kihtim在系統(tǒng)有m個輸入Xi(t)的情況下，對應(yīng)于每一個輸出Yk(t)，有m個脈沖響應(yīng)函數(shù)：對于n個輸出，則共有nm個脈沖響應(yīng)函數(shù)，脈沖響應(yīng)以矩陣形式可表示為：111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmhthththththth thththt矩陣中各元素均加以兩個腳標(biāo)第一個腳標(biāo)k(k=1,2, n)表示k處的響應(yīng)(輸出)；第二個腳標(biāo)i(i=1,2

16、, m)表示i處的激勵 (輸入)頻率響應(yīng)函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅立葉變換，因此，圖示系統(tǒng)共有nm個頻率響應(yīng)函數(shù)，頻率響應(yīng)矩陣H()可表示為111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmHHHHHHHHHH已知系統(tǒng)的激勵和動態(tài)特性，便可確定系統(tǒng)響應(yīng)的各個統(tǒng)計特征。m個輸入和n個輸出 可以表示為1122( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )mnX tY tXtY tX tY tXtY t一、響應(yīng)的均值一、響應(yīng)的均值對于線性系統(tǒng)，每一個輸出Yk(t) (k=1,2, n)都可以由對應(yīng)于每個獨立輸入的響應(yīng)Yki(t) (i=1,2, m)疊

17、加而成，如圖所示。121( )( )( )( )( )mkkkkmkiiY tYtYtYtYt假定各個輸入Xi(t)都是平穩(wěn)的隨機過程，則有iXXEi常數(shù)對應(yīng)于每個獨立輸入(第i個輸入)的響應(yīng)Yki(t)的期望為(0)( )dkiiikiYXkiXkiE YHh11(0) (1,2, )kimmYkkiXkiiiE YE YHknk處總響應(yīng)的期望為寫成矩陣形式：XYH)0(YnYYY21XmXXX21111212122212(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)mmnnnmHHHHHHHHHH系統(tǒng)的每一個輸出Yk(t)是對應(yīng)于各個獨立輸入的響應(yīng)的疊加：11111( )(

18、)( )()d (1,2, )mmkkikiiiiY tYthX tkn二、響應(yīng)的相關(guān)矩陣系統(tǒng)的響應(yīng)以矩陣形式的形式可以表示為下式111( )( )()dY thX t其中Y(t)與X(t)是給出的列陣，而h(1)表示脈沖響應(yīng)矩陣。( ):1( ):( ):1Y tnh tnmX tm111( )( )()dY thX t12( )( )( )( )mX tXtX tXt111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmnnnmhthththththth thththt12( )( )( ) ( )nY tY tY tY t11111( )( )( )()

19、d (1,2, )mmkkikiiiiY tYthX tkn222()()()dY thX t對上式進行轉(zhuǎn)置得222()()()dTTTYtXthn個輸出的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一個nn階的輸出相關(guān)矩陣RY()1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn nYYYYYYY YY YY YYY YY YY YRRRRRRRRRR():1Y tn():1TYtn)()()()(21tYtYtYtYn)()()()(21tYtYtYtYnT上式也可以下列形式表示寫成111222( ) ( )() ( ) ()d()()dTYTTRE Y t

20、YtEhX tXth若將該式中兩個積分的乘積改寫成二重積分，并交換求平均與積分的次序，可得 ()(1)nmm(1)()mmn112221121221( )() ()()()dd ()()()ddTTYTXRhE X tXthhRh111222( ) ( )() ( ) ()d()()dTYTTRE Y t YtEhX tXth該表達式給出了多輸入與多輸出系統(tǒng)的輸出相關(guān)矩陣與輸入相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式，其中，輸入相關(guān)矩陣為:( )( )()TXRE X t Xt系統(tǒng)的n個輸出的自譜與互譜構(gòu)成了一個nn階的輸出功率矩陣SY()。1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )(

21、)( )( )( )nnnnn nYYYYYYY YY YY YYY YY YY YSSSSSSSSSS三、響應(yīng)的譜矩陣三、響應(yīng)的譜矩陣其中矩陣元素為輸出功率矩陣也可以表示成下列表達式的形式：j( )( )d ( ,1,2, )k lk lY YY YSRek lnj( )( )dYYSRe將輸出相關(guān)矩陣表達式代入上式，可得多輸入與多輸出系統(tǒng)的輸出功率譜矩陣與輸入功率譜矩陣間關(guān)系式1122j112221jj()j11121222( )()()()dd d ()d()d()()d ( )( )( ) TYXTXTXShRheheReheHSH 112221( )()()()ddTYXRhRh()

22、()()n mm mm n其中H()是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣，HT()是H()的轉(zhuǎn)置矩陣，H()的共軛矩陣為1j11( )()( )dHHhe而輸入功率譜矩陣為j( )( )dXXSRe1122j112221jj()j11121222( )()()()dd d ()d()d()()d ( )( )( ) TYXTXTXShRheheReheHSH )()()()(TXYHSHS系統(tǒng)的m個激勵和n個響應(yīng)構(gòu)成一個mn階互相關(guān)矩陣RXY() 1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmm nX YX YX YX YX YX YXYX YX YX Y

23、RRRRRRRRRR四、激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣四、激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣矩陣的元素為1( )( )()( )( )()d ( 1,2,; 1,2, ) j kmX YjkjkiiiRE Xt Y tE XthX tjmkn矩陣的元素為激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣也可表示為： dhRdhtXtXEdhtXtXEtYtXERTXTTTTTXY)()()()()()()()()()()(系統(tǒng)的m個激勵和n個響應(yīng)構(gòu)成一個mn階的互譜矩陣SXY() 1 11 212 12 2212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmm nX YX YX YX YX YX YXYX YX YX YSSSSSSSSSS五、激勵與響應(yīng)的互譜函數(shù)五、激勵與響應(yīng)的互譜函數(shù)其中，矩陣元素的定義為( )( )d (1,2,; 1,2, )j ki kjX YX YSRejmkn激勵與響應(yīng)的互譜矩陣也可表示為jj()j( )()( )d d ()d()( )d( )( )TXYXTTXXSRheReheSH 類似地，有下列表達式成立：)()()(1TYYXHSS)()()()()()(1XTTXSHHHSH)()()(TXXYHSS)()()(*TXXYHSS)()()(*XTXYSHS)()(*TXYYXSSY為輸入，X為輸出Y X ，H