2011年高考數(shù)學總復習 提能拔高限時訓練：空間距離（練習+詳細解析）大綱人教版

1、提能拔高限時訓練44 空間距離一、選擇題1.、是兩個平行平面,a,b,a與b之間的距離為d1,與之間的距離為d2,則( )A.d1=d2 B.d1d2 C.d1d2 D.d1d2解析:若a、b為異面直線時,d1=d2,若ab時,d1d2.答案:D2.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別為棱AA1、BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G=(01),則點G到平面D1EF的距離為( )A.3 B. C. D.解析:A1B1EF,A1B1平面D1EF.A1到面D1EF的距離等于G到面D1EF的距離.在面A1ED1中,作A1HED1,垂足為H.面A1ED1面D1EF,A1H面

2、D1EF.在A1ED1中,.答案:D3.如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,PD底面ABCD,PD=AD=1,設點C到平面PAB的距離為d1,點B到平面PAC的距離為d2,則有( )A.1d1d2 B.d1d21C.d11d2 D.d2d11解析:CD平面PAB,C到平面PAB的距離等于D到平面PAB的距離.過D作DEPA,則DE平面PAB.B與D到平面PAC的距離相等.設ACBD=O,則平面PDO平面PAC,d2等于D到PO的距離.可計算,d2d11.答案:D4.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1的中點,則E到平面ABC1D1的距離是( )A. B. C. D.解

3、析:A1B1平面ABC1D1,點B1到平面ABC1D1的距離等于點E到平面ABC1D1的距離.答案:B5.如右圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動點P,它到直線A1B1與到直線AD的距離相等,則動點P所在曲線形狀為(圖中實線部分)( )解析:由已知,得點P到點A的距離等于點P到直線A1B1的距離,點P的軌跡為以A為焦點,A1B1為準線的拋物線在正方形ABB1A1內(nèi)的部分.答案:C6.甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構(gòu)型為一個各棱都相等的四面體,四個氫原子分別位于該四面體的四個頂點上,碳原子位于該四面體的中心,它與每個氫原子的距離都是a.若將碳原子和氫原子均視

4、為一個點,則任意兩個氫原子之間的距離為( )A. B. C. D.解析:設A在平面BCD上的射影為E,O在AE上,VABCD=4VOBCD,AE=4OE.AO=a,.設AD=x,則,.答案:B7.在ABC中,C=90°,B=30°,AC=2,M為AB中點,將ACM沿CM折起,使A、B間的距離為22,則M到面ABC的距離為( )A. B. C.1 D.2解析:從點M作面ABC的垂線.如圖,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,有MA=MB=MC=2,從而點M在面ABC上的射影一定在AB和BC的中垂線上,即ABC的外心.而由AC2+AB2=4+8=12=BC2,知ABC是直角

5、三角形,所以ABC的外心為斜邊的中點.取BC的中點G,連結(jié)MG,MG即為三棱錐的高.顯然MG=1.答案:C8.設OA,OB,OC為不共面的三條射線,若AOB=AOC=60°,BOC=90°,點P為射線OA上一點,設OP=a,則點P到平面OBC的距離為( )A. B. C. D.解析:如圖所示,過P作PG平面OBC于點G,則PG的長即為所求.由AOB=AOC,知點G在BOC的角平分線上.過G作GHOB于點H,連結(jié)PH,由三垂線定理,得PHOB,OH=a,OG=a.在RtPGO中,故選D.答案:D9.如圖,四棱錐PABCD的底面是正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E為B

6、C中點,F為PA上一點,FGAD.若異面直線DE與BF所成角的余弦值為,則PG的長為( )A.1 B. C.2 D.解析:如圖,取AD的中點H,連結(jié)BH,則BHED,所以FBH即為異面直線DE與BF所成的角,所以.設FA=x,又,則,由余弦定理,可得,即,所以F為PA的中點.又FGAD,所以G為PD的中點,且,故.答案:C10.斜邊長為2a的直角三角板ABC的直角頂點C在桌面上,斜邊AB與桌面平行,A=30°,三角板ABC與桌面所成的銳角為45°,則邊AC的中點到桌面的距離是( )A. B. C. D.解析:先求出直線AB到桌面的距離,點A到桌面的距離就是直線AB到桌面的距

7、離;而AC的中點到桌面的距離就是點A到桌面距離的一半.如圖,A1B1為AB在桌面上的射影,CDAB,D1為D在A1B1上的射影.面ABC與桌面所成銳二面角為45°,又點C到AB的距離CD為,.AB到桌面的距離為,則AC的中點到桌面的距離為,故選D.答案:D二、填空題11.平面內(nèi)有RtABC,C=90°,P是平面外一點,且PA=PB=PC,P到的距離是40 cm,AC=18 cm,則點P到BC邊的距離是_.解析:作PO平面ABC,垂足為O,PA=PB=PC,AO=BO=CO,O為ABC的外心.又ACB=90°,O是AB邊的中點.作ODBC,由三垂線定理,知PDBC.

8、PD是點P到BC邊的距離,且ODAC.OD=9 cm.在RtPOD中,(cm).故點P到BC的距離為41 cm.答案:41 cm12.把長、寬分別為、2的長方形ABCD沿對角線AC折成60°的二面角,則頂點B和D之間的距離是_.解析:作DEAC,垂足為E,BFAC,垂足為F.AB=,AD=2,EF=2.又二面角DACB為60°,DEAC,BFAC,異面直線DE、BF所成的角為60°.答案:13.如圖,已知點E是棱長為2的正方體AC1的棱AA1的中點,則點A到平面EBD的距離等于_.解析:可求得SEBD=.設點A到面EBD的距離為d,由VAEBD=VBADE,得,解

9、得.答案:14.已知菱形ABCD中,AB=2,A=120°,沿對角線BD將ABD折起,使二面角ABDC為120°，則點A到BCD所在平面的距離等于_.解析:如圖,ABD沿BD折起,A到A點處,連結(jié)AC、BD交于點O,連結(jié)AO,則AOC為二面角的平面角.AOC=120°.故AOA=60°.又,點A到面BCD的距離為.答案: 三、解答題15.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2(如圖).(1)求證:平面A1BC1平面ACD1;(2)求(1)中兩個平行平面間的距離.解:(1)由于BC1AD1,則BC1平面ACD1.同理,A1B平面

10、ACD1,則平面A1BC1平面ACD1.(2)設兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d,則d等于D1到平面A1BC1的距離.易求A1C1=5,A1B=25,BC1=13,則,則,則SA1BC1=.由于VD1A1BC1=VBA1C1D1,則.代入求得,即(1)中兩個平行平面間的距離等于.16.如圖,在三棱錐PABC中,AC=BC=2,ACB=90°,AP=BP=AB,PCAC.(1)求證:PCAB;(2)求二面角B-AP-C的大小;(3)(理)求點C到平面APB的距離.解法一:(1)證明:如圖,取AB中點D,連結(jié)PD、CD.因為AP=BP,所以PDAB.因為AC=BC,所以CDAB

11、.因為PDCD=D,所以AB平面PCD.因為PC平面PCD,所以PCAB.(2)因為AC=BC,AP=BP,所以APCBPC.又PCAC,所以PCBC.又ACB=90°,即ACBC,且ACPC=C,所以BC平面PAC.取AP中點E,連結(jié)BE、CE.因為ABBP,所以BEAP.因為EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影,所以CEAP.所以BEC是二面角BAPC的平面角.在BCE中,BCE=90°,BC=2,所以.故二面角BAPC的大小為.(3)由(1)知AB平面PCD,所以平面APB平面PCD.如圖,過C作CHPD,垂足為H.因為平面APB平面PCD=PD,所以CH平面APB.所以C

12、H的長即為點C到平面APB的距離.由(1)知PCAB,又PCAC,且ABAC=A,所以PC平面ABC.因為CD平面ABC,所以PCCD.在RtPCD中,CD=AB=2,所以.所以.所以點C到平面APB的距離為.解法二:(1)同解法一;(2)如圖,以C為原點建立空間直角坐標系Cxyz,則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).設P(0,0,t).因為,所以t=2,P(0,0,2).取AP中點E,連結(jié)BE,CE.因為|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,所以CEAP,BEAP.所以BEC是二面角BAPC的平面角.因為E(0,1,1), ,所以.所以二面角B-A-PC的大小為.(3)

13、因為AC=BC=PC,所以C在平面APB內(nèi)的射影為正APB的中心H,且CH的長為點C到平面APB的距離.如(2)建立空間直角坐標系Cxyz.因為,所以點H的坐標為.所以.所以點C到平面APB的距離為.教學參考例題 志鴻優(yōu)化系列叢書【例題】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2,AC=BC=1,ACB=90°,點E是AB的中點,點F在側(cè)棱BB1上,且EFCA1.(1)求二面角C-A1F-E的大小;(2)求點E到平面CA1F的距離.解法一:(1)過E作EGFA1,垂足為G,連結(jié)CG.在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面A1B平面ABC,又AC=BC,E為AB中點,CEAB.CE平面A1B.CGA1F.CGE為二面角C-A1F-E的平面角.又CE平面A1B,CEEF.而EF平面CA1,EF平面A1CE.EFA1E.A1AEEBF.在RtA1AE中,在RtEBF中,.又,.CGE=45°,即二面角CA1FE的大小為45°.(2)設頂點E到平面A1CF的距離為d,由(1)知CG=1,CE平面A1B,A1FEF,VE-A1CF=VC-A1EF,.,即點E到平面CA1F的距離為.解法二:(1)如圖,分別以CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,并設BF=x,則C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),F(0,1,x),A1(