高數(shù)—不定積分 講解和例題-

1、. 已知物體運動的位置函數(shù)已知物體運動的位置函數(shù) s = s(t)，求時刻求時刻 t 的瞬時速度的瞬時速度 v = v(t)。 已知物體運動的速度函數(shù)已知物體運動的速度函數(shù) v = v(t)求運動的位置函數(shù)求運動的位置函數(shù) s = s(t)。 一般，已知函數(shù)一般，已知函數(shù) f(x), 要找另一要找另一個函數(shù)個函數(shù)F(x), 使使 F (x) = f (x)。 .已知已知 f (x)是一個定義在區(qū)間是一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)，上的函數(shù)，,)()()()(xdxfxFdxfxF 或或則稱則稱 F (x) 為為 f (x) 在在 I 上的上的原函數(shù)原函數(shù)。如：如：,2)(2xx x 2 是是 2 x

2、 的原函數(shù)的原函數(shù);d sin x = cos x d x, sin x 是是 cos x 的原函數(shù)的原函數(shù);, )()(tvts s (t) 是是 v (t) 的原函數(shù)。的原函數(shù)。如果存在函數(shù)如果存在函數(shù)F (x), 使在使在 I 內(nèi)的任一點都有內(nèi)的任一點都有.1. 在什么條件下在什么條件下, f (x) 一定存在原函數(shù)？一定存在原函數(shù)？ 若若 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間I 上連續(xù)，上連續(xù)，則在則在 I 上必存在原函數(shù)。上必存在原函數(shù)。2. 如果如果 f (x) 有原函數(shù)，那么共有幾個？有原函數(shù)，那么共有幾個？設(shè)設(shè)F (x) 為為 f (x) 的原函數(shù)，則的原函數(shù)，則),()(xfxF 為為任

3、任意意常常數(shù)數(shù)。且且CxfCxF),()( f (x) 如有原函數(shù)，就有無窮多個。如有原函數(shù)，就有無窮多個。.F (x) + C 包含了包含了 f (x) 的所有原函數(shù)。的所有原函數(shù)。3. 如果如果 f (x) 有一個原函數(shù)有一個原函數(shù) F (x) ,那么那么F (x) + C 是否包含了是否包含了 f (x) 的的所有原函數(shù)？所有原函數(shù)？的的任任一一個個原原函函數(shù)數(shù)，是是設(shè)設(shè))()(xfx )()(xfx 則則0)()( )()( xfxfxFx )()()(是常數(shù)是常數(shù)CCxFx CxFx )()( .函數(shù)函數(shù) f (x) 的全體原函數(shù)就稱為的全體原函數(shù)就稱為 f (x) 的的不定積分不定

4、積分。 記作記作.)( xdxf其中其中 積分號積分號f (x) 被積函數(shù)被積函數(shù)f (x) d x 被積表被積表 達式達式x 積分變量積分變量例：例：,2)(2xx .22Cxxdx 若若F (x) 為為 f (x) 的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則 .)()(CxFxdxf,sin)cos(xx .cossinCxxdx . f (x) 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)F (x) 的圖形稱為的圖形稱為 f (x) 的一條的一條積分曲線積分曲線，方程為方程為 y = F (x) . CxFxdxf)()(則則就表示了一族積分曲線就表示了一族積分曲線 y = F (x) + C .它們相互平行，即它們

5、相互平行，即在橫坐標相同的點在橫坐標相同的點處有相同的切線斜處有相同的切線斜率。率。xy0)(xFy x.先積分后微分的作用相互抵消。先積分后微分的作用相互抵消。由不定積分的定義，由不定積分的定義， 的原函數(shù)，的原函數(shù)，是是)()(xfxdxf則有則有又又 xdxfxdxF)()(,)(CxF ,)(xdxfd xdxf)(或或 ,)(CxFd或或)(xF）（)()(xdFdxxF 先微分后積分的作用抵消后加任意常數(shù)先微分后積分的作用抵消后加任意常數(shù)C。, )()(xfxdxf .例：例： 求通過點求通過點 ( 1, 2 )，且其上任一點處的，且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標切線斜率等于

6、該點橫坐標6倍的一條曲線。倍的一條曲線。解：解：設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = f (x) .由題意，曲線上點由題意，曲線上點(x, y)的切線斜率的切線斜率,6xdxdy xdxy6,32Cx 為一簇積分曲線。為一簇積分曲線。. 132, 2|1 CCyx即即有有.132 xy所求曲線為：所求曲線為：. 注意：注意：).1(11 CxxdxCxxdxxxd ln1.)(1 xx 依基本導(dǎo)數(shù)公式與不定積分的定義，依基本導(dǎo)數(shù)公式與不定積分的定義，即可得基本積分公式：即可得基本積分公式：請同學(xué)們參見教材第請同學(xué)們參見教材第186頁頁15個公式。個公式。.求下列不定積分：求下列不定積分：例

7、例1.1.xdxx321 xdxx312 xdx 3538x 83.C 例例2.2.xdxxx 21xdxxdx 212321 x2 23x 32.C ).1(11 Cxxdx. 函數(shù)和的不定積分等于函數(shù)和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。各個函數(shù)的不定積分的和。 .)()()()( xdxgxdxfdxxgxf 被積函數(shù)中不為零的常被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外。數(shù)因子可提到積分號外。)0(.)()(為為常常數(shù)數(shù) kxdxfkxdxfk.利用基本積分表和不定積分性質(zhì)，可計算利用基本積分表和不定積分性質(zhì)，可計算一些簡單函數(shù)的不定積分。注意一些簡單函數(shù)的不定積分。注意3 3點：點：

8、1 1、在分項積分后，對每個不定積分的任意常數(shù)在分項積分后，對每個不定積分的任意常數(shù)不必一一寫出?？稍诜e分號全部不出現(xiàn)后簡寫為不必一一寫出?？稍诜e分號全部不出現(xiàn)后簡寫為一個常數(shù)。一個常數(shù)。2 2、檢驗積分結(jié)果是否正確，只要將其結(jié)果求導(dǎo)，檢驗積分結(jié)果是否正確，只要將其結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)即可?？此膶?dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)即可。3 3、由于微分形式不變性，積分表中的每個公式由于微分形式不變性，積分表中的每個公式中的中的 x 可用其它變量可用其它變量 u 替代，公式仍正確。替代，公式仍正確。技巧：先將被積函數(shù)變形，化為表中所列技巧：先將被積函數(shù)變形，化為表中所列的類型，然后再積分。的類

9、型，然后再積分。.例例3.3.xdxex)sin3( xdxxdexsin3.cos3Cxex 例例4.4.xdxxx 2324xdx 234x4 .)23ln()23(Cx 掌握被積函數(shù)的恒等變形。掌握被積函數(shù)的恒等變形。.lnCaaxdaxx ,cossinCxxdx .例例5.5.xdx 2cotxdx)1(csc2 xcot 同理，同理， xdx2tanxdx)1(sec2 .tanCxx 例例6.6.xdxx 22cossin1xdxxxx 2222cossincossin xdxx 22cscsecxtan 例例7.7.xdxx 2cos1cos12xdxx 22cos2cos1

10、xdx 1sec212 .tan21Cxx .cotCx .Cx .例例8.8.xdxxx )1()1(22xdxxxxxx )1(2)1(1222xdxx 2121xln 例例9.9.xdxx 241( (假分式假分式= =多項式多項式+ +真分式真分式) )xdxx 24111 xdxxxx2222111)1( )1(xx 331.arctanCx .arctan2Cx .從理論上來講，只需把積分結(jié)果從理論上來講，只需把積分結(jié)果求導(dǎo)，就可檢驗積分是否正確。但由求導(dǎo)，就可檢驗積分是否正確。但由于函數(shù)變形及原函數(shù)間可相差一個常于函數(shù)變形及原函數(shù)間可相差一個常數(shù)等因素，一般不檢驗。數(shù)等因素，一般

11、不檢驗。 所以注重積分過程的正確性是至所以注重積分過程的正確性是至關(guān)重要的。關(guān)重要的。 即每一步運算都要看能否還原到即每一步運算都要看能否還原到上一步。上一步。.習(xí)習(xí) 4 1（A）1（雙）（雙）習(xí)習(xí) 4 1（B）1（5，6，7，11），），2.一、第一類換元法一、第一類換元法如如何何積積分分？ xdx2sin是是復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)，xy2sin ( ( 湊微分法湊微分法 ) )1.1.湊常數(shù)湊常數(shù)例例1 1：)22(dxxd xdx2sin xdx2sin221(2x = u) udusin21Cu cos21.2cos21Cx .例例2 2：xdex 534 )53(453 xdex3)53(

12、xdxd udeu34)53(ux Ceu 34.3453Cex 例例3 3： 222xxxdxdx 2)1(11( +1)(x + 1 = u)udu 211Cu arctan.)1(arctanCx 31.例例4 4：)0(22 axaxd 211axxda( /a)a.arcsinCax 229xxxd如如： 2)1(10 xxd( -1)1,10( xua.101arcsinCx .arctan122Caxaxaxd 同理：同理：.例例5 5：)0(22 aaxxd xdaxaxa1121 axaxdaxaxda)()(21 Caxaxa lnln21.ln21Caxaxa 同理：同理

13、：)0(.ln2122 aCxaxaaxaxd.2121ln221Cxx 例例6 6：tdtt 3cos5sintdtt )2sin8(sin21.2cos418cos161Ctt 122xxxd如：如： 2)1(2xxd)1,2( xua.2. 湊函數(shù)（變量）湊函數(shù)（變量）定理定理1.1. 設(shè)設(shè) F(u) 是是 f (u) 的一個原函數(shù)，且的一個原函數(shù)，且 的的是是則則)()()(xxfxF 原函數(shù)，且有原函數(shù)，且有換元公式換元公式： xdxxf)()( )( ufud)()(xuCuF .)(CxF u = (x)可導(dǎo)可導(dǎo),證明：證明： )()()(xxFCxF 得得證證。 ),()(xx

14、f )()(xuuduf . xdxxf)()( CuF )( .)(CxF 換元公式：換元公式： (x) = u uduf)(前例：前例： xdx2sin.2cos21Cx xdxxxdxcossin22sinxdx)(sin (u = sin x)xdx sinsin2 Cu 2xdsin udu2 )()(xdxf )()(xdxdx .sin2Cx .例例1 1：xdxx ln1xdxdxln1 xdxlnln1 udu 1.lnlnlnCxCu 例例2 2：xdxx1sin12 )1(12xdxdx xdx11sin .1cosCx .例例3 3： xdxtanxdxx cossin

15、xdxcoscos1 .coslnCx 同理：同理：.sinlncotCxxdx 例例4 4：xdx sec xdxsec(sec x + tan x)(sec x + tan x)xdxxxxx tansectansecsec2 xxxxdtansec)sec(tanCxx tansecln.Cxxxdx tanseclnsec同理：同理：Cxxxdx cotcsclncscxdxxxdxx2cos1tan1cossin1 Cxxdx tanlntantan1例例5 5：xdxx cossin1)2(2sin1xdx )2()2csc(xdx Cxx |2cot2csc|ln或或.例例6 6

16、：xdx 2sinxdx 22cos1 xdxxd2cos21221.2sin4121Cxx xdx 2cos同同理理，.2sin4121Cxx .例例7 7：xdx 4cosxdx 222cos1dxxx 424cos12cos21.4sin3212sin4183Cxxx dxxx 84cos2cos43.例例8 8：xdx 3sinxdxx sinsin2.cos31cos3Cxx xdxcos)cos1(2 xxdxdcoscoscos2.例例9 9：xdxx52sincos )cos(sincos42xdxx )cos()cos1(cos222xdxx xdxxxcos)coscos2

17、(cos642 x5cos52 x7cos71 .C x3cos31.時時：當當0,0cossin nmxdxxnmxxxun22sin1cos,sin 令令，是奇數(shù)是奇數(shù)xxxum22cos1sin,cos 令令，是是奇奇數(shù)數(shù)22cos1cos22cos1sin,22xxxxnmnm ，利利用用的的冪冪或或則則降降低低，是是偶偶數(shù)數(shù)且且.例例1010：xdx 4secxdxtansec2 xdxtan)1(tan2 x3tan31 .tanCx 例例1111：xdxx 35sectanxdxxsecsectan24 Cxxx 357sec31sec52sec71xdxxsecsec)1(se

18、c222 .時時：當當0,0sectan nmxdxxnmxxxun22tan1sec,tan 令令，是是偶偶數(shù)數(shù)1sectan,sec22 xxxum令令，是是奇奇數(shù)數(shù)1sectansec,22 xxxnm利用利用的冪的冪則化為則化為，是奇是奇是偶是偶.例例1212：xdxx 4sin12sin xxd42sin1sin例例1313：xdxxx )1(arctan)2(1xdxdx xdx arctan22)(1x dx arctan2.)arctan(2Cx xarctanCx )arctan(sin2.習(xí)習(xí) 4 2（A）3（4，5，6，13，16，17）習(xí)習(xí) 4 2（B）2（4，7，8）

19、.二、第二類換元法二、第二類換元法 ( (變量代換法變量代換法) )定理定理2.2.設(shè)設(shè) x = (t) 是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，, 0)( t 且且 的的原原函函數(shù)數(shù)，是是)()()(ttft 的原函數(shù)，且有的原函數(shù)，且有是是則則)()(xfx 換元公式：換元公式： tdttfxdxf)()()( 的反函數(shù)。的反函數(shù)。是是其中其中)()(txxt xdxf)(對對即即 令令 x = (t)，,)(tdtxd tdttf)()( tdt)( )( t Ct )( .)(Cx .1. 1. 三角代換三角代換例例1 1： )0(22axdxa分析：分析：目的：消去根式。目的：消去根式。

20、利用三角恒等式：利用三角恒等式：. 1cossin22 tt若令若令 x = a sin t ,則則有有反反函函數(shù)數(shù)取取),2,2( t. 0cos,arcsin taxt且且taaxa22222sin .costa 被積函數(shù)被積函數(shù).例例1 1： )0(22axdxa解：解：令令 x = a sin t , d x = a cos t d t ,tdta22cos 原式原式 tdta)2cos1(22Ctta 2sin2122axtarcsin Cttta cossin22taxt sinxa22xa Cxa arcsin22axaxa22 .例例2 2：)0(22 aaxxd分析：分析：化

21、化去去根根式式。利利用用公公式式tt22sec1tan 若令若令 x = a tan t ,)2,2( t取取.sec1tan222tataax 則則解：解： 令令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t .tdtata secsec2原原式式 tdtsec1tanseclnCtt axt tantxa22ax 1lnCax aax22 .ln22Cxax .)0(22 aaxxd對對也可令也可令 x = a sh t ( t 0 )化去根式?；ジ?。利用公式利用公式122 tshtch解：解：令令 x = a sh t ， d x = a ch t d t ,

22、tdtchatcha 1原式原式1222 tshaax. tcha tdCt .Caxhsra .例例3 3：)0(22 aaxxd分析：分析：化化去去根根式式。利利用用公公式式tt22tan1sec 若令若令 x = a sec t ,)2, 0( t取取.tan1sec222tataax 則則解：解：令令 x = a sec t , d x = a sec t tan t d t , tdttdtattasectantansec原原式式1tanseclnCtt txa22ax xat cos122lnCaaxax .ln22Caxx .或令或令 x = a ch t ( t 0 ) 22a

23、xxd則則.Caxhcra .ln2222Caxxaxxd 如：如： 12xxxd 43212xxd.121ln2Cxxx )(21 .當被積函數(shù)含有因子：當被積函數(shù)含有因子：,22xa ,22xa ,22ax 目的：目的： 去根號。去根號。.sintax 令令.tantax 令令.sectax 令令.costax 或或.cottax 或或.csctax 或或.例例1 1： 222xxxd解：解：,sin2tx 令令,cos2tdtxd tttdtcos2sin2cos22原式原式tdt 2csc21Ct cot21tx22x 2.2212Cxx )2(sinxt .例例2 2： 232)1(

24、xxd解：解：令令 x = tan t , d x = sec 2 t d t .,sec)sec()1(33232ttx tdtt 32secsec原式原式 tdtcosCt sinx121x .12Cxx t.例例1 1：xdxx 1分析：分析： 目的：化分數(shù)冪為整數(shù)冪。目的：化分數(shù)冪為整數(shù)冪。(去根號去根號), tx 若若令令.2tx 則則解：解：, tx 令令.2,2tdtxdtx 則則 原式原式tdtt 123-1+1 tdttt11122tdttt212 .Ctttt 1ln3121232回代回代.1ln)(312123Cxxxx tdttt11122,xt xdxx 1.例例2

25、2：xdxx 3131解：解：,133tx 令令),1(313 tx.2tdtxd 原原式式tdtt)2(314 Ctt 255131.)13(31)13(1513235Cxx tdttt23311)1( .例例3 3： 12xxxd令令 x = sec t ,d x = a sec t tan t d t , tttdtttansectansec Cttd.1arccosCx 解二：解二：)0(,12 xtx令令,12 tx則則11122 ttdttt 12ttdCt arctan.1arctan2Cx 解一：解一： 12xxxd.對形如：對形如：;122xdaxx 稱為倒代換。稱為倒代換。

26、可令可令,1tx tdt211原式原式 12xxdx;1222xdaxx ;12xdcbxaxx 等等xdcbxaxx 221前例前例3 3： .,012tdtdxttx 令令CxCt 1arcsinarcsin.例例4 4： )1(24xxxd解二：解二：dttdxtx21,1 令令解一：解一：xdxxxx )1(12444原式原式xdxxdxx 242111Cxxx arctan11313 tdtt241原式原式Cttt arctan313Cxxx 1arctan11313.教材第教材第 203 頁積分公式：頁積分公式：(16)(24).2arcsin222222Cxaxaxaxdxa 另外補充一個積分公式：另外補充一個積分公式：. xdxx624例例1 1：.2arctan613Cx xdxx4252例例2 2： .2arctan4ln252C