脊波導(dǎo)的幾種計(jì)算方法

1、論述脊型光波導(dǎo)的分析方法及其模場(chǎng)分布的計(jì)算摘要：本文主要介紹了如何通過有效折射率法計(jì)算脊型光波導(dǎo)的模場(chǎng)分布以及如 何通過有限元法來數(shù)值求解脊波導(dǎo)的模場(chǎng)分布其次我們介紹了脊波導(dǎo)的工作特 性和制作方法，最后我們列舉了脊波導(dǎo)在激光器，調(diào)制器等信息光電子器件中的 應(yīng)用。關(guān)鍵詞：脊波導(dǎo)有效折射率模場(chǎng)分布有限元法1引言：脊波導(dǎo)與相同尺寸的矩形波導(dǎo)比較主要優(yōu)點(diǎn)是:主模H10波的截止波長較 長，對(duì)于相同的工作波長,波導(dǎo)尺寸可以縮小;H】o模和其它高次模截止波長相隔較 遠(yuǎn)，因此單模工作頻帶較寬，可以達(dá)到數(shù)個(gè)倍頻程;等效阻抗較低，因此易與低阻抗 的同軸線及微帶線匹配。但脊波導(dǎo)承受功率比同尺寸的矩形波導(dǎo)低。脊形波導(dǎo)

2、在 集成光學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，它是薄膜激光器、藕合器、調(diào)制器、開關(guān)等許多光電 器件的基礎(chǔ)。由于脊形波導(dǎo)邊界復(fù)雜，精確地分析其光學(xué)特性十分困難，若考慮介 質(zhì)的吸收作用，則難度就更大。其次要能夠設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良的光波導(dǎo)，那么必須 首先能夠在理論上對(duì)光波導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于脊型光波導(dǎo)而言由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜沒有 嚴(yán)格的解析解，應(yīng)采用數(shù)值方法或近似法進(jìn)行分析。光波導(dǎo)分析方法常用的有:轉(zhuǎn) 移矩陣法、模耦合理論、有效折射率法、有限元法、時(shí)域有限差分法和束傳播法 等。在本文中采用的計(jì)算方法是有效折射率法對(duì)脊型光波導(dǎo)進(jìn)行分析計(jì)算，還介 紹了一種利用有限元差分算法對(duì)脊波導(dǎo)的模式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。最后介紹了脊型光 波導(dǎo)在信息光電子

3、學(xué)中的應(yīng)用。2脊型光波導(dǎo)的理論模型分析2.1脊波導(dǎo)的有效折射率法脊波導(dǎo)的橫截面如圖一所示，圖中,小,1】2，省分別為芯區(qū)，下包層和上包層的折射 率，a為脊寬，h為脊高，b為脊下的芯厚度，則b-h為脊兩邊的芯厚度，此時(shí) 光功率主要限制在脊下波導(dǎo)的芯中傳播。有效折射率法是把這種波導(dǎo)等效為x方 向厚度為a的對(duì)稱三層平板波導(dǎo)，如圖二所示。在脊波導(dǎo)中主要存在兩種形式的模，模和成n模，前者以和H)'為主，同時(shí)“r為0,后者以E)'和為主，同時(shí)H),為0。我們以E機(jī)導(dǎo)模為例來說明這一等效平板波導(dǎo)的折射率分布是如何確定 的。圖一：橫截面圖圖二：對(duì)稱三層等效平板波導(dǎo)（1）首先把脊寬a在土x方向上

4、延長為無限大，形成一個(gè)在y方向折射率 分布為3內(nèi)1，!13,芯厚度為b的非對(duì)稱三層平板波導(dǎo)。片篇電場(chǎng)主要 沿著X方向偏振，這一偏振放想對(duì)于該平板波導(dǎo)而言相當(dāng)于TE偏振， 因此該平板波導(dǎo)的有效折射率可以通過下述的非對(duì)稱三層平板波導(dǎo) 的TE導(dǎo)模特征方程求出，Ar0（n? N/y/2b =nn + arctan22 n/21(n -N?)V2+ arctan(Nl-np 1/20,1,2,3. ）2.1我們把N1作為x方向等效平板波導(dǎo)芯層的折射率。（2）然后把脊高h(yuǎn)縮為0 （相當(dāng)于把脊去掉），形成一個(gè)在y方向折射率 分布為芯厚度為b-h的非對(duì)稱三層平板波導(dǎo)。七機(jī)導(dǎo)模的 電場(chǎng)主要沿x方向偏振，這一偏振

5、方向?qū)τ谠撈桨宀▽?dǎo)而言也相當(dāng)于 TE偏振，因此該平板波導(dǎo)的有效折射率可以由下述的非對(duì)稱平板波 導(dǎo)的TE導(dǎo)模的特征方程求出，k0(n” N然(b-h)=幾兀 + arctcniarctan23 n(幾=0,1,2,3 )2.2注意方程2.1和2.2中的模的階數(shù)n取值必須相同我們把電作為X方 向等效平板波導(dǎo)芯公兩側(cè)包點(diǎn)的折射率,是得到工：平板波導(dǎo)X 方向的折射率分布N2, Nl, N2.（3） E3導(dǎo)模的電場(chǎng)主要沿x方向偏振，這一偏振方向?qū)τ趚方向的等效 平板波導(dǎo)而言相當(dāng)于TM偏振，因此該等效平板波導(dǎo)的有效折射率可 以有下述的對(duì)稱三層平板波導(dǎo)的TM導(dǎo)模的特征方程求出，k0(/Vf - N2)1/2

6、a =mn + 2arctanNl (M 一"2n/(N”n2)1/2(m0,1,2,3 . ）2.3我們把N作為原脊型波導(dǎo)E嬴模的有效折射率。對(duì)于E3導(dǎo)模其電場(chǎng)主要沿y方向偏振方向，考慮到這一偏振方向,方程2.1-2.2應(yīng)換成TM倒模的特征方程，而方程23應(yīng)換成TE導(dǎo)模 的特征方程，kQ(nl-N2b =nn + arctann2(nl-Nl)1/20,1,2,3 .)2.4kQ(nl - h)nn + ar ct ann：(乃n2) “2ng(nj-N/)l/24-arctannj (N2f /)“2(n = 0,1,2,3 . )2.5(N2-Nj) 1/2 (AZf-N2)V

7、2ko(NN2 )iQ = mn + 2arctan0,1,2,3 .)2.6這樣就得到不同模式的等效折射率。2.2脊波導(dǎo)的有限差分法分析由于脊波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜很難得到脊波導(dǎo)的解析解，而數(shù)值計(jì)算的方法往往能 夠得到脊波導(dǎo)的精確的模場(chǎng)分布，這里我們采用的方法為有限元法，用有限元法 直接計(jì)算得到滿足波動(dòng)方程的本征值和本征太，從而來分析脊波導(dǎo)。下面我們以 片機(jī)作為計(jì)算的例子，其滿足波動(dòng)方程：票+券+(癡2-僻區(qū)=02.7式2.7中，k0 =?為真空中的數(shù)，入為真空中的波長，n為區(qū)域折射率。按照有限差分原理，電磁場(chǎng)分量在網(wǎng)格單元的分布情況為圖三所示1號(hào) (X j-1)圖三：二維琳n波的有限差分網(wǎng)絡(luò)應(yīng)

8、用二維有限差分法將方程2.7變換成二維有限差分格式。用符號(hào)E(i,j) = E(i Ax, jAy)代表場(chǎng)分量E(x,y),其乜A x和A y分別為x和y方向的網(wǎng)格步長大小J,j 分別為x和y網(wǎng)格個(gè)數(shù)，采用五點(diǎn)差分格式，方程2.7可變?yōu)椋?(i+lJ)-2Ex(iJ)+Ex(i-lJ) +_ k2n2E Q j)=優(yōu)邑(i,j)2.8事實(shí)上，傳播常數(shù)的平方和與之傳播常數(shù)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)分布是式(2)的本征值和本征矢 量龍樣我們的問題是計(jì)算機(jī)編程求式2.8的本征值和本征矢量,從而得到該波導(dǎo) 的傳播常數(shù)和場(chǎng)分布。同時(shí)由于光場(chǎng)分布是無限的，所以要用有限的網(wǎng)格來模擬 無限的光場(chǎng)，必定在計(jì)算中采用一定的近似，一

9、般精確取決于計(jì)算范圍的大小和步 長的大小。計(jì)算結(jié)果作為例子我們計(jì)算了空氣/GaAs/AIGaAs三層介質(zhì)脊形波導(dǎo)，介質(zhì)折射率參數(shù) 為四=1,112 = 3.44,113 = 3.4,入 0 = 1.15p m,脊寬 a=3p m,b=lp m,計(jì)算區(qū)域 8p mX8p m。取脊高h(yuǎn)=0.5|J m時(shí)，計(jì)算得到基模和高次一階模的場(chǎng)分布如圖四和圖 五所示，從圖中可以看出波導(dǎo)的場(chǎng)分布的形狀,基模模場(chǎng)的能量分布只有一個(gè)中心 區(qū)域，能量集中在芯層中，在包層中能量衰減很快;而在一階模模場(chǎng)的能量集中在 芯層的兩個(gè)中心區(qū)域。當(dāng)增大脊高，減小芯厚(h=0.8|J m,b-h=0.2|J m),計(jì)算得到的 基模場(chǎng)

10、分布如圖六所示.我們將圖四和圖六進(jìn)行比較，可以看出:當(dāng)脊高增大時(shí)， 波導(dǎo)芯左右兩側(cè)對(duì)光場(chǎng)限制增大，但是有一部分能量進(jìn)入包層，也就是說，模的 損耗增大。可以得出下述結(jié)論：在脊形波導(dǎo)中，脊高h(yuǎn)對(duì)側(cè)向光有限制作用力越大，側(cè)向光能更好地限制在芯內(nèi)。 隨著脊高h(yuǎn)增加，模的損耗也增加。所以我們?cè)谠O(shè)計(jì)脊形波導(dǎo)過程中,選擇高h(yuǎn) 和芯厚b時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況充分考慮，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值。圖四：脊形波導(dǎo)的基模光場(chǎng)分布，以場(chǎng)強(qiáng)度最大值 依次遞減10%的等高線分布圖五：相應(yīng)高次一階模光場(chǎng)分布圖六：脊高增大為h=o.8|j m時(shí)基模光場(chǎng)分布本文采用有限差分法，求波動(dòng)方程的本征值和本征矢量，得到脊形波導(dǎo)的基模和 高階模場(chǎng)分布情況

11、，得到的場(chǎng)分布的形狀與其他方法所得結(jié)果基本一致;同時(shí)我們 分析了脊形波導(dǎo)中脊高與模式分布之間的關(guān)系，為實(shí)際設(shè)計(jì)脊形波導(dǎo)器件提供了 理論基礎(chǔ)。23有效折射率有限元法計(jì)算脊波導(dǎo)的模式前面我們介紹了對(duì)于脊波導(dǎo)的兩種計(jì)算方法，一種是有效折射率法(EIM),但 這種方法對(duì)于實(shí)際情況有時(shí)不夠精確，另一類是采用精確的數(shù)值方法，如我們介 紹的有限元法(FEM)。但是這個(gè)方法的處理較為麻煩而且計(jì)算量很大。這里介紹的任一界面和折射率分布.光波導(dǎo)的模式特性的一種方法，為有效折射 率有限元法(EI-FEM)。用IE-FEM分析介質(zhì)光波導(dǎo)時(shí)，首先采用IEM,將描述二維光 場(chǎng)限制光波導(dǎo)的標(biāo)量波動(dòng)方程,分解成兩個(gè)互相聯(lián)系的

12、具體邊界條件的一維波動(dòng) 方程,然后用FEM分別求解這兩個(gè)一維波動(dòng)方，從而求得整個(gè)介質(zhì)光波導(dǎo)的解.這里我們我們利用有效折射率有限元法計(jì)算了半導(dǎo)體脊性光波導(dǎo)的模式傳播 常數(shù)和模式特性以及模式場(chǎng)分布及其變化規(guī)律。圖一所示的脊形介質(zhì)光波導(dǎo)中，橫向電場(chǎng)&滿足矢量波動(dòng)方程+ n2(x,y) 一 僻其=一 (Et.Vtlnn2 )2.8其中睦為橫向梯度算符京0 = 2"方A為光波波長，n(x,y)為與坐標(biāo)軸z無關(guān)的波導(dǎo)界面折射率分布。P為傳播常數(shù)。方程2.8中- (瓦.VJn，)代表了場(chǎng)的矢 量性質(zhì)，對(duì)于均勻介質(zhì)光波導(dǎo)它是由折射率的橫向變化產(chǎn)生的。如果沿橫向的折 射率變化緩慢且差別很小，則

13、可忽略場(chǎng)的矢量性質(zhì)，而得到橫向電磁場(chǎng)的標(biāo)量波 動(dòng)方程。德+ 翡 + (需兀2 一 /?2)(x,y) = 0 2.9式中3(x,y)為橫向電磁場(chǎng)沿坐標(biāo)軸x或y的分量.當(dāng)電場(chǎng)偏振沿x方向時(shí),w(x,y)代 表TE偏振;當(dāng)電場(chǎng)偏振沿y方向時(shí)，3(x,y)代表TM偏振.根據(jù)有效折射軍法，設(shè)場(chǎng) W(x,y)滿足w(% y) = % Q)Wx)，( y)2.10并設(shè)外y(x,y)為對(duì)x變化緩慢的函數(shù),定義有效折射率輪廓neff(x),則可將(2.10)式所述的二維標(biāo)量波動(dòng)方程分解成兩個(gè)互相聯(lián)系的一維波動(dòng)方程，即齡 + n2(x,y)k§ -/方(%)的. (3) = 0 2.11a佚 + 成“

14、焙-儼% (%) = 02.11b方程(2.11a)和(2.11b)分別代表兩種不同偏振態(tài)的平面波導(dǎo)的波動(dòng)方程.在某節(jié)點(diǎn) x =/處,通過求解描述折射率分布為n(孫x)的平面波導(dǎo)的波動(dòng)方程(2.11a),可得 到該平面波導(dǎo)的有效折射率(即修節(jié)點(diǎn)處的等效折射率neff(左),重復(fù)求解方程 (2.Ua)得沿x方向各節(jié)點(diǎn)處的等效折射率分布從neff(x).最后，把求得的neff(x)代入 方程(2.11b)并求解，則得到圖1所示的二維限制光波導(dǎo)的模式傳播特性.根據(jù)有限元技術(shù),由方程(2.11)可推得用EI-FEM求解介質(zhì)光波導(dǎo)模式傳播特性的 有限元方程A%y(“y) =(xt)klB(pxy (%

15、y) 2.12aC<px(x ) = p2D(px(x )2.12b其中A、B、©和D為單元系數(shù)矩陣集總后所形成的實(shí)對(duì)稱矩陣；(外),)和(外)代表場(chǎng)域節(jié)點(diǎn)上的場(chǎng)函數(shù).廣義對(duì)稱特征值問題式可利用著名的“特征 值系統(tǒng)程序包一EISPACK'求解。這樣我們就通過有效折射率法和有限元法綜合在一起的做法得到了另外一種 計(jì)算方法。3脊波導(dǎo)在光信息技術(shù)中應(yīng)用綜述脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)由于其性能優(yōu)良，在很多光電子器件中都能夠看脊型光波導(dǎo)的應(yīng)用, 現(xiàn)在較為成熟的器件有基于脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的激光器，基于脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的調(diào)制器，基 于脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的定向耦合器，基于脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的濾波器，基于脊波導(dǎo)的光開關(guān)等 等，下面

16、介紹脊波導(dǎo)在激光器中的應(yīng)用。3.1脊波導(dǎo)在激光器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用在半導(dǎo)體激光器的諸多應(yīng)用中，都要求其低閾值電流，并且保證基橫模、基側(cè) 模工作。如何實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的單模工作，仍然是半導(dǎo)體激光器制作的一個(gè)主要課題。 側(cè)向模式的不穩(wěn)定是由于大電流注入引起折射率和增益分布凹變導(dǎo)致空間燒空 和H聚集效應(yīng)的產(chǎn)生，保持側(cè)向模式最有效的方法是橫向建立折射率導(dǎo)引機(jī)制， 現(xiàn)行的掩埋型激光器采用二次液相外延的方法制作,由于匚藝復(fù)雜及經(jīng)過腐蝕后 再在高.溫下進(jìn)行第二次液相外延，必然會(huì)在工藝過程中帶進(jìn)一些附加的缺陷，使可 靠性與只用一次液相外延制作的激光器相比差一些。另外由于工藝復(fù)雜,成品率 相對(duì)較低，因而成本也較高而脊型光波導(dǎo)

17、就能筋有效地限制光場(chǎng)在側(cè)向的分布提 升激光器的性能。由于RWG結(jié)構(gòu)不破壞有源層及其邊界結(jié)構(gòu),只需一次液相外延， 因而,制作出的激光器可靠性較高，工藝相對(duì)簡單及成品率高，成本也相應(yīng)較低，這 里介紹一種脊波導(dǎo)激光器。wn金具電機(jī)P金J»電機(jī)Zn/A哈區(qū) p+lnG，A>P 接觸 P-lnP*晨IhG.AbP<#« n+-【uP?！奔皥D七：五層RWG結(jié)構(gòu)如圖七所示為一種五層的脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)激光器。4總結(jié)本文主要介紹了脊波導(dǎo)的幾種分析方法，當(dāng)然脊波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)并不局限于如圖 一所示的單脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，還有很多的形變脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，如雙脊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)等等。本 文分析的三種方法有一定的通用性。首先三種計(jì)算方法中有效折射率法的精度不 夠高，而有限元法的計(jì)算量較大，對(duì)于內(nèi)存的要求很高。而有效折射率有限元法 則是在兩者之間取了一個(gè)折中。脊波導(dǎo)在薄膜激光器、藕合器、調(diào)制器、開關(guān)等 許多光電器件中都能見到它的身影。在本文中我