截面的幾何性質(zhì)

1、圖1-1SzAydASyAZdA(I - 1)分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的靜矩。靜矩可用來(lái)確定截面的形心位置。由靜力學(xué)中確定物體重心的公式可得ycAydAAZczdAAAycZcydA SzA AzdAASyA(1-2)SyAzcycSzASyzcASzAyc(I - 3)(I -4)如果一個(gè)平面圖形是由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的組合圖形,則由靜矩的定義可知， 整個(gè)圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即:nSzAiycii 1SyAi zcii 1(I - 5)附錄I截面的幾何性質(zhì)§ -1截面的靜矩和形心位置如圖1-1所示平面圖形代表一任意截面， 以下兩

2、 積分利用公式（1-1）,上式可寫(xiě)成式中A、yci和zci分別表示某一組成部分的面積和其形心坐標(biāo)，n為簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。將式（I - 5）代入式（1-4），得到組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式為ycAyi 1nnAz：(1-6)例題1-1圖a所示為對(duì)稱(chēng)T型 截面，求該截面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系 zOy其中y為截面的對(duì)稱(chēng)軸。因圖形相對(duì)于 y軸對(duì)稱(chēng)，其形心一定在該對(duì)稱(chēng)軸上， 因此zc=0,只需計(jì)算yc值。將截面分成i、n兩個(gè)矩形，則2 2Ai =0.072m , An =0.08myi =0.46m, yn =0.2mnAy cii 1yc nAiA yiA” yiiAi A”例題I - 1圖0.

3、072 0.460.08 0.20.323m0.0720.08§ - 2慣性矩、慣性積和極慣性矩如圖1-2所示平面圖形代表一任意截面，在圖形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy。現(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積 dA, dA的形心在坐標(biāo)系 zOy中的坐標(biāo)為y和z, 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 p?，F(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積dA對(duì)z軸和y軸的慣 2性矩，p dA為微面積dA對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的 極慣性矩，而以下三個(gè)積分IzIyy2dAA 3z2dAAp2dAA r分別定義為該截面對(duì)于由圖(1-2)可見(jiàn),(I - 7)z軸和y軸的慣性矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。2 27 z，所以有A PdAA(y2 z2)dA Iz I

4、y圖1-2(I - 8)即任意截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩， 等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的兩任意正交坐標(biāo)軸的慣性矩 之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積 zydA稱(chēng)為微面積dA對(duì)y、z軸的慣性積，而積 分IyzAzydA(I - 9)定義為該截面對(duì)于 y、z軸的慣性積。從上述定義可見(jiàn)，同一截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為負(fù)， 也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單 位是m或mm。§ - 3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式、慣性矩、慣性積的平行移軸公式圖1-3所示為一任意截面，z、y為通過(guò)截面 形心的一對(duì)正交軸，zi、yi為與z

5、、y平行的坐標(biāo) 軸，截面形心C在坐標(biāo)系z(mì)lOy1中的坐標(biāo)為（b, a）， 已知截面對(duì)z、y軸慣性矩和慣性積為lz、|y、Iyz， 下面求截面對(duì) Z1、yi軸慣性矩和慣性積| zi、I yi、 I yizi 。Izilz a2 A（I - i0）同理可得2lyily b A（I - ii）式（I - iO）、（I - ii）稱(chēng)為慣性矩的平行移軸 公式。F面求截面對(duì)yi、zi軸的慣性積Iyizi。根據(jù)定義yiziAziyidAA(z b)(y a)dAzydA a zdA b ydA ab dAAAAAI yz aSy bSz abA由于z、y軸是截面的形心軸，所以 Sz = S=O，即(I -

6、i2)I yiziI yz abA式（I - i2）稱(chēng)為慣性積的平行移軸公式。、慣性矩、慣性積的轉(zhuǎn)軸公式圖1-4圖（1-4）所示為一任意截面，z、y為過(guò)任一點(diǎn)O的一對(duì)正交軸，截面對(duì) z、y軸慣性 矩Iz、Iy和慣性積|yz已知?，F(xiàn)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角（以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎┑玫搅硪?對(duì)正交軸zi、yi軸，下面求截面對(duì)zi、yi軸慣性矩和慣性積Izi、Iyi、Iyizi 。Iz1zy2 COs2I yzsin 2(I - 13)2同理可得zyzyI vcos2y12 2I yz sin 2(I-14)I zI ylyz- si n 2Iy1z1yz cos 22(I-15)式（I1-13)、(1

7、 - 14）稱(chēng)為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式（1-15）稱(chēng)為慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。§ - 4形心主軸和形心主慣性矩、主慣性軸、主慣性矩由式（1-15）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a =0°，即兩坐標(biāo)軸互相重合時(shí)，1皿 Iyz ；當(dāng)a =90° 時(shí)，IyiZlIyz，因此必定有這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸，使截面對(duì)它的慣性積為零。通常把這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為截面的 主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸，截面對(duì)主軸的慣性矩叫做 主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a 0角得到主軸zo、yo，由主軸的定義上 ®si n220 Iyz cos200從而得2Iyztan 2 ayzIzI y(I - 16)上式就是確定主軸的

8、公式，式中負(fù)號(hào)放在分子上，為的是和下面兩式相符。這樣確定的a 0角就使得Iz0等于Imax。由式（I - 16）及三角公式可得cos 2sin 2 0Iy)2 4虢,(Iz將此二式代入到式（I - 13）、（I - 14）便可得到截面對(duì)主軸Z0、y0的主慣性矩(I-17)二、形心主軸、形心主慣性矩通過(guò)截面形心的主軸叫做形心主軸,截面對(duì)通過(guò)截面上的任何一點(diǎn)均可找到一對(duì)主軸。 形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題1-5求例1-1中截面的形心主慣性矩。解：在例題I - 1中已求出形心位置為zC 0 yC 0.323m過(guò)形心的主軸z。、y0如圖所示，Z。軸到兩個(gè)矩形形心的距離分別為aI 0.137m

9、 aI 0.123m截面對(duì)Z0軸的慣性矩為兩個(gè)矩形對(duì)Z0軸的慣性矩之和，即Iz0 I； a©2 I；, Aia，20.6 0.1230.6 0.12120.37 10 2m4 截面對(duì)yo軸慣性矩為0.13720.2 0.40.2 0.4 0.12321233Iy0I；0 iy，00.242 10 2m4第六章梁的應(yīng)力§ 1 梁的正應(yīng)力一、純彎曲與平面假設(shè)本節(jié)將推導(dǎo)梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。為了方便，我們先研究梁橫截面上只有彎矩的情況，這種情況稱(chēng)為“純彎曲”。如圖6- 1所示的梁，在如圖所示荷載作用下，中間CD段就屬于這種情況，由其剪力圖和彎矩圖可以看到，在CD段內(nèi)的

10、彎矩 M= Fa=常數(shù)，而剪力Fs等于零。(b)(c)CADqFF1m pIsqn(b)我們先作女圖下的實(shí)驗(yàn)，觀察到如下的一些現(xiàn)象:（1）變形前，梁側(cè)面上與縱向直線垂直的橫向線在變形后仍為直線，并且仍然與變形后的梁軸線（簡(jiǎn)稱(chēng)撓曲線）保持垂直，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。（2）變形前互相平行的縱向直線，變形后均變?yōu)閳A弧線，并且上部的縱線縮短，下部 的縱線伸長(zhǎng)。在梁中一定有一層上的纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，此層稱(chēng)為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱(chēng)為中性軸。根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們對(duì)純彎曲情況下作出如下假設(shè)：1. 平面假設(shè)：梁的橫截面在梁彎曲后仍然保持為平面，并且仍然與變形后的梁軸線保持垂直。2.單向受力假設(shè)：梁

11、的縱向纖維處于單向受力狀態(tài),且縱向纖維之間的相互作用可忽略不計(jì)。、正應(yīng)力公式的推導(dǎo)相應(yīng)的縱向線應(yīng)變?yōu)橹行詫又行暂S(b)圖6ydxdx式（6- 1 ）表明：梁的縱向纖維的應(yīng)變與纖維距中性層的距離成正比，離中性層愈遠(yuǎn),纖維的線應(yīng)變愈大。(6- 2)3. 靜力學(xué)方面由圖6- 4可以看出，梁橫截面上各微面積上的微內(nèi)力 它們向截面形心簡(jiǎn)化的結(jié)果應(yīng)為以下三個(gè)內(nèi)力分量dFN= t dA構(gòu)成了空間平行力系,FnodAN A由截面法可求得該截面上只有彎矩M y z ddA M z y odAAAM即上式中Fn, M均等于零，所以有由式（d）得因E、p為常量，所以有即梁橫截面對(duì)中性軸（z軸） 確定了中性軸的位置。

12、由式（e）可得因此FndA 0A(d)MyzcdA 0A(e)Mza y cdA M(f)Fn人力A啦0A PAydASz 0(g)的靜矩等于零。由此可知，中性軸通過(guò)橫截面的形心，于是就AZydA2. 物理方面在彈性范圍內(nèi)正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系為圖6- 4CT E £將式（6- 1）代入，得(T(h)a zydA I yz 0即梁橫截面對(duì)y、z軸的慣性積等于零，說(shuō)明 y、z軸應(yīng)為橫截面的主軸，又 y、z軸過(guò)橫截 面的形心，所以其應(yīng)為橫截面的形心主軸。最后由式（f）可得M zAy cdA M式中l(wèi)zM AydAEy2AdAE y2dAAAdA是梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。將上式整理可得EI

13、由式（6- 3）可知：曲率與彎矩ElM成正比，與Elz成反比。在相同彎矩下,（6- 3）Elz值越大，梁的彎曲變形就越小。Elz表明梁抵抗彎曲變形的能力，稱(chēng)為梁的彎曲剛度。將式（6- 3）代入式（6- 2），可得(TMy(6-4)這就是梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力的計(jì)算公式。例題6- 1長(zhǎng)為I的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F,已知h = 0.18m，b = 0.12m，y= 0.06m，a = 2m, F = 1.5kN，求C截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。耀i51z 1h/2h/2解：先求出C截面上彎矩MeFa 叫56-10圖截面對(duì)中性軸的慣性矩bh310.12 0.183l z1212將M、

14、lz、y代入正應(yīng)力計(jì)算公式，則有323 10 N m440.583 10 mMCy3 103lz0.583 10 4(0.06)3.09 106Pa 3.09MPaK點(diǎn)的正應(yīng)力為正值，表明其應(yīng)為拉應(yīng)力。§3-2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置，此時(shí)M咯axy maxl z距中性軸最遠(yuǎn)的位而對(duì)整個(gè)等截面梁來(lái)講，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在彎矩最大的橫截面上， 置，即卩axmaxymaxWz引用符號(hào)ymax，則上式可改寫(xiě)成maxWz式中的W叫做彎曲截面系數(shù) 對(duì)矩形截面（或抗彎截面系數(shù)），它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。對(duì)圓形截面正應(yīng)力強(qiáng)度條件為、三種強(qiáng)度

15、問(wèn)題的計(jì)算Wzbh12h 2bh26d4 64Wz d2% axI32max(TWz(& 6)根據(jù)式（6- 6）可以求解與梁強(qiáng)度有關(guān)的三種問(wèn)題。（1）強(qiáng)度校核（2） 選擇截面 此時(shí)應(yīng)將式（10 - 6）改寫(xiě)為WzMmax確定許用荷載此時(shí)應(yīng)將式（10-M max6- 2圖a所示一矩形截面的簡(jiǎn)支木梁，彎曲時(shí)木材的許用正應(yīng)力T=10Mpa，校核該梁的強(qiáng)度。(3)例題T6)改寫(xiě)為Wz T已知 l = 4m b = 140mm h = 210mm q= 2kN/m ,q(b)ql2解：先畫(huà)梁的彎矩圖（圖例8 b）。由梁的彎矩圖可以看出，梁中最大彎矩應(yīng)發(fā)生在跨中截 面上，其值為Mlq|2max81

16、 2 103424310 N.m彎曲截面系數(shù)為bh21Wz0.140.2120.10310 2m366由于最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩所在截面上，所以有max4 103maxWz0.103 10 23.88 106Pa 3.88MPa所以滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。§6- 3梁橫截面上的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件、矩形截面梁的切應(yīng)力矩形截面梁的切應(yīng)力公式的推導(dǎo)，采用了下面的兩條假設(shè)：（1）橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力均與側(cè)邊平行。（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。圖6-5*FsSzT (6- 8)Izb式（6- 8）即為矩形截面梁橫截面任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式。式中：Fs為橫

17、截面上的剪力;Sz*為面積Ai對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b為截面的寬度。maxz h、 1 、b h22、Szb(-y) y ( y)-(y )22 22 4(e)將其代入式（6- 8),可得Fs22、T(y )2Iz 4(f)對(duì)于矩形截面梁，由圖6- 7a可知此式表明矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力沿梁高按二次拋物hy T線形規(guī)律分布。在截面上、下邊緣（2 ）處，T = 0,而在中性軸上y = 0）的切應(yīng)力有最大值，如圖10- 7b。即%axFsh23Fs 3Fs2bh 2A(g)例題6- 5 一矩形截面的簡(jiǎn)支梁如圖所示。 F = 3kN,求m - m截面上K點(diǎn)的切應(yīng)力。已知：I

18、= 3m, h= 160mm b = 100mrpy = 40mm*A、r b -bh3Iz 12面積入對(duì)中性軸的靜矩為SzA y解：先求出m - m截面上的剪力為習(xí)題k6 5截面對(duì)中性軸的慣性矩為空業(yè) 0.341 10 4m4330.1 0.04 0.060.24 10 m則K點(diǎn)的切應(yīng)力為FsSzTI zb3 1030.24 10 30.341 10 4 0.10.21 106 Pa 0.21Mpa二、工字形截面梁的切應(yīng)力1.腹板上的切應(yīng)力*FsSzT式中：Fs為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到截面邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz圖6-8X max為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b1為腹板的厚

19、度。切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖 仍發(fā)生在截面的中性軸上。2翼緣上的切應(yīng)力翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，其計(jì)算公式仍與矩形截面的切應(yīng)力的形式相同，即*FsSzTIz S式中Fs為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；S為翼緣的厚度。三、T字型截面梁的切應(yīng)力T字型截面可以看成是由兩個(gè)矩形組成，下面的狹長(zhǎng)矩形與工字形截面的腹板相似，該 部分上的切應(yīng)力仍用下式計(jì)算：*FsSzT最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。四、圓形及環(huán)形截面梁的切應(yīng)力圓形及薄壁環(huán)形截面其最大豎向切應(yīng)力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性軸均勻分布，計(jì)算公式分別為圓形截面4ax3FsA式中Fs為橫截面上的剪力，A為圓形截面的面積。薄壁環(huán)型截面ax2F sA式中Fs為橫截面上的剪力，A為薄壁環(huán)型截面的面積。五、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件TmaxF s,maxz,maxI zb(6- 9)此式即為切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。例題6- 6 一外伸工字型鋼梁如圖 a所示。工字鋼的型號(hào)為 22a,已知：I =6m, F=30kN,(b)(c)Dq = 6kN/m ， 材料的許用應(yīng)力 d =170MPa, t =100MPa,試校核梁 的強(qiáng)度。解：(1)校核最大正應(yīng)力彎矩圖如圖c所示，最大正應(yīng)力 應(yīng)發(fā)生在最大彎矩的截面上。查型鋼 表可知333Wz