關(guān)于幾種插值多項(xiàng)式的比較分析【畢業(yè)論文,絕對精品】

1、 本科生畢業(yè)論文開 題 報 告 書題 目 插值方法及其MATLAB實(shí)現(xiàn) 學(xué)生姓名 盛克平 學(xué) 號 1209402023 系 別 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師 劉建國 講師 2015年 12 月 11 日目 錄摘 要IABSTRACTII引言- 1 -1 、幾種常見的插值公式及其構(gòu)造- 1 -1.1 Lagrange插值法- 2 -1.2 Newton插值法- 3 -1.3 Hermite插值法- 5 -1.4 分段低次插值法- 6 -1.5 三次樣條插值法- 7 -2 、例題- 8 -3 、結(jié)束語- 12 -4、參考文獻(xiàn)- 13 -附錄1- 14 -附錄2- 14 -附錄3

2、- 15 -5、致謝：- 15 -l 摘 要 插值法是數(shù)值算法的最基本方法之一，同時也是函數(shù)逼近、數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。許多實(shí)際問題都需要運(yùn)用插值法來解決，所以通過介紹幾種常見的插值公式及其誤差估計(jì)，如：Lagrange插值公式、Newton插值公式、Hermite插值公式、分段低次插值公式、三次樣條插值公式。討論和比較它們的實(shí)用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)。關(guān)鍵詞：數(shù)值分析 插值法 插值公式 誤差 MATLABABSTRACT Interpolation is one of the most basic method of numerical algorithm, but also th

3、e function approximation, numerical integration, numerical differentiation, numerical solution of differential equation based. Many practical problems need to solve by using the interpolation method, so the introduction of several common interpolation formula and error estimate, such as: Lagrange in

4、terpolation formula, Newton formula, Hermite formula of interpolation, piecewise low-order interpolation formula, three spline interpolation formula. Discuss and compare their application range and advantages and disadvantages.Keywords:Numerical analysis Method of interpolation Formula of interpolat

5、ion Error Matlab- 9 -引言 插值法是數(shù)值算法的最基本方法之一，同時也是函數(shù)逼近、數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。在全球化、信息化浪潮大力推動下，計(jì)算機(jī)技術(shù)得到了迅速的發(fā)展。插值法也在生活、工程和科學(xué)研究中得到了更為廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算斷面的面積、漏磁探傷和曲線擬和等諸多實(shí)際問題中，有的函數(shù)雖然給出了解析表達(dá)式，但往往過于復(fù)雜而難以計(jì)算，使用不方便；有的函數(shù)只能給出它在平面上一些離散的點(diǎn)和這些點(diǎn)的函數(shù)值，而函數(shù)的具體解析表達(dá)式則不能給出，在這樣的情況下，選用近似函數(shù)來逼近函數(shù)。MATLAB集計(jì)算和繪圖等功能于一體，操作簡單易上手，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有非常重要的地位。在

6、插值法中MATLAB可以通過改變插值函數(shù)的參數(shù)，來實(shí)現(xiàn)不同的插值方式。本文對幾種插值法作歸納、總結(jié)并比較和討論幾種插值法的優(yōu)缺點(diǎn)，總結(jié)出規(guī)律，并給出具體算例及Matlab實(shí)現(xiàn)，以便進(jìn)一步理解插值法，更好地運(yùn)用其方法解決實(shí)際工程問題。1 、幾種常見的插值公式及其構(gòu)造插值法是函數(shù)插值法的簡稱，它的基本思想是：構(gòu)造一個簡單便于計(jì)算的函數(shù)去逼近原函數(shù)，通過計(jì)算逼近函數(shù)在某一點(diǎn)的值從而得到原函數(shù)在這一點(diǎn)的近似值，而求的方法就稱為插值法。下面給出插值函數(shù)的一般定義：定義：已知（可能未知或表達(dá)式非常復(fù)雜）是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在這個區(qū)間上有個彼此不相同的點(diǎn),且對應(yīng)的函數(shù)值為。尋找一個簡單、便于計(jì)算的函數(shù)，使

7、滿足：通常稱為插值區(qū)間，為被插值函數(shù)，為插值函數(shù)，為插值節(jié)點(diǎn)。其中當(dāng)是多項(xiàng)式時，稱為代數(shù)插值方法，即多項(xiàng)式插值。若設(shè)為誤差函數(shù)或余項(xiàng)，則有.而且滿足關(guān)系式: 1.1 Lagrange插值法已知Lagrange插值是為次多項(xiàng)式插值，首先考察低次的插值多項(xiàng)式。當(dāng)時，要構(gòu)造出過兩點(diǎn)與的多項(xiàng)式（次數(shù)不超過1次且），使得。則可以寫成： 它是兩個線性函數(shù)的線性組合，所以稱為線性插值多項(xiàng)式.當(dāng)時，相應(yīng)的構(gòu)造出過三點(diǎn)的多項(xiàng)式（次數(shù)不超過2且），使得。則可寫成：式被稱為拋物線插值多項(xiàng)式。同理，當(dāng)為插值節(jié)點(diǎn)時，有,則可寫成： 式被稱為Lagrange插值多項(xiàng)式.在，式子中，均為插值基函數(shù)，且滿足： ，即得.誤差估

8、計(jì)由定理形式給出：定理1.1.1 設(shè)為區(qū)間上互不相同的節(jié)點(diǎn)，且在內(nèi)存在，滿足的插值多項(xiàng)式，則對，使得.還可寫成其截?cái)嗾`差：.其中，.Lagrange插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)式簡單明確、便于推導(dǎo)、格式整齊規(guī)范；缺點(diǎn)是沒有承上啟下性和計(jì)算量大，即當(dāng)需要增加、減少新的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)位置變化時，就得從新計(jì)算所以的函數(shù)。在Matlab中，利用Lagrange插值方法進(jìn)行多項(xiàng)式插值，并將圖形顯式出來 實(shí)現(xiàn)Lagrange插值的步驟如下： Step1 定義函數(shù)f = 1/(25*x2+1)將其保存在fm 文件中，具體程序如下： function y = f1(x) y = 1/(25x2+1); Step2 定義

9、拉格朗日插值函數(shù),將其保存在lagrangem 文件中，具體實(shí)現(xiàn)程序 編程見附錄A. Step3 建立測試程序，保存在textM文件中，實(shí)現(xiàn)畫圖： x=-1:0.001:1; y=(1+25.*x.2).-1; p=polyfit(x,y,n); py=vpa(poly2sym(p),10); plot_x=-1:0.001:1; f1=polyval(p,plot_x); figure plot(x,y,'r',plot_x,f1) 輸入n=6時，出現(xiàn)如下面的圖2.1所示 圖2.1 Largange插值圖像 通過圖2.1可以看出當(dāng)n=6時，被插圖像與插值圖像沒有很好的模擬，于

10、是重新運(yùn)行textM，并選擇n=15，運(yùn)行,顯示如圖2.2所示 圖2.2 Largange插值圖像 綜合圖2.1和圖2.2的Lagrange插值圖像可以看出，n=15時的被插圖像與插值圖像實(shí)現(xiàn)了很好的模擬 結(jié)果分析： 由圖2.1和圖2.2可以看出n的次數(shù)越高，越能實(shí)現(xiàn)較好的模擬，從而模擬的效果越好，從圖2.2就可以看出兩條曲線接近重合，而圖一兩條直線卻分開很多，誤差較大，精度也不高因此在實(shí)際的應(yīng)用中應(yīng)該盡量在給定的條件下增加n的次數(shù)，才能實(shí)現(xiàn)與原函數(shù)較好的重合，才能使計(jì)算的結(jié)果更加的準(zhǔn)確，從而減小了誤差.1.2 Newton插值法在介紹Newton插值法之前，先來了解一下什么是差商?給定了函數(shù)

11、在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值。那么有形如：，稱為函數(shù)關(guān)于節(jié)點(diǎn)處的一階差商。同理給出在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值。則被稱為函數(shù)關(guān)于節(jié)點(diǎn)的階差商。所以可得到差商表如下所示：表1 差商表一階差商二階差商三階差商 由差商的定義可以得出：所以有： 其中：。即是過n+1個插值點(diǎn)的n階Newton插值多項(xiàng)式，為插值多項(xiàng)式誤差。由于次Newton插值多項(xiàng)式與次Lagrange插值多項(xiàng)式是恒等的，只是表達(dá)方式不同，即Newton插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)和Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)相同：.當(dāng)用Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時，只需添加一項(xiàng)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和在這節(jié)點(diǎn)處的計(jì)算即可，而表達(dá)式前面的計(jì)算仍然有效，從而節(jié)省了計(jì)算量。但是用Lagr

12、ange插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時，在添加一項(xiàng)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和其計(jì)算時，表達(dá)式也要經(jīng)過重新計(jì)算，計(jì)算量明顯的增大。所以Newton插值多項(xiàng)式在這一點(diǎn)上克服了承上啟下的問題。但隨著次數(shù)n的增大，其誤差不是很穩(wěn)定，所以Newton插值對高次插值是不可取的。%保存文件名為New_Int.m%Newton基本插值公式%x為向量，全部的插值節(jié)點(diǎn)%y為向量，差值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值%xi為標(biāo)量，是自變量%yi為xi出的函數(shù)估計(jì)值function yi=New_Int(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n=merror('The lengths of X ang Y mus

13、t be equal!');return;end%計(jì)算均差表YY=zeros(n);Y(:,1)=y'for k=1:n-1for i=1:n-kif abs(x(i+k)-x(i)<epserror('the DATA is error!');return;endY(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i);endend%計(jì)算牛頓插值公式y(tǒng)i=0;for i=1:nz=1;for k=1:i-1z=z*(xi-x(k);endyi=yi+Y(1,i)*z;end1.3 Hermite插值法定義：設(shè)在個不同的插值節(jié)點(diǎn)上，給定

14、，。要求一個次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，使得滿足條件：，.則稱滿足這種條件的多項(xiàng)式為Hermite插值多項(xiàng)式。由于Hermite插值是帶有導(dǎo)數(shù)的插值法，所以在運(yùn)用Hermite插值法時就必須知道在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值，且還要求它們相等.如表2所示，知道了節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值：表2 節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)表由表2可構(gòu)造出一個次數(shù)不高于的多項(xiàng)式，則稱為Hermite插值多項(xiàng)式，即。其中，為插值基函數(shù)，則對，使得誤差函數(shù)或余項(xiàng).Hermite插值多項(xiàng)式能夠克服插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處不光滑、不可導(dǎo)的缺點(diǎn).但是在運(yùn)用Hermite插值公式計(jì)算不但要求在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)也要求相等，條件太高. 。在 matla

15、b 中實(shí)現(xiàn) Hermite 插值的代碼如下：functionh，yy=HermiteInt1（x，y，x1，y1，xx）%求 Hermite 插值.x 為插值節(jié)點(diǎn)，y 為相應(yīng)的函數(shù)值；在節(jié)點(diǎn) x1 的一階導(dǎo)數(shù)為 y1；xx 為插值點(diǎn).%輸出 Hermite 插值函數(shù)的表達(dá)式 h，若輸入?yún)?shù)中有插值點(diǎn) xx 時，再輸出 xx 相應(yīng)的插值函數(shù)值 yy.n=length（x）；m=length（x1）；symstyy=0；for i=1:n%下面求 y（i）前的系數(shù)I=0；%下面這個循環(huán)是要找出 x（i）在數(shù)組 x1 中的位置 for j=1:mif x（i）=x（j） I=j； breakende

16、ndl1=1；l2=0； for j=1:nif j=i l1=l1*（t-x（j）/（x（i）-x（j）； l2=l2+1/（x（i）-x（j）；endendfor j=1:m if j=Il1=l1*（t-x1（j）/（x（i）-x1（j）；l2=l2+1/（x（i）-x1（j）；endendif I=0l2=0；endyy=yy+l1*（-l2*（t-x（i）+1）*y（i）；endfor i=1:m%下面求 y1（i）前的系數(shù)l3=1；for j=1:nif x（j）=x1（i）l3=l3*（t-x（j）/（x1（i）-x（j）；endend for j=1:mif x1（j）=x1（

17、i）l3=l3*（t-x1（j）/（x1（i）-x1（j）；endendyy=yy+l3*（t-x1（i）*y1（i）；end h=simplify（yy）； if nargin=5yy=eval（subs（h，xx，t）；end1.4 分段低次插值法在實(shí)際運(yùn)用函數(shù)作插值多項(xiàng)式時，并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，插值余項(xiàng)就越小，值就越精確。這時就出現(xiàn)了計(jì)算出來的值與真實(shí)值相差很大的問題，比如說常見的龍格現(xiàn)象.針對這類問題，通常采用分段低次多項(xiàng)式去分段被插函數(shù)。以下介紹常用的分段線性插值.設(shè)有n+1個節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值為.若記，有滿足： （1）屬于； （2）； （3）在任一個小區(qū)間上，是線性多項(xiàng)式.

18、則稱為分段線性插值函數(shù)（其中）.所以在每個小區(qū)間上，可表示為：誤差估計(jì)由定理給出：定理1.4.1 若，記，則對.有誤差函數(shù)或余項(xiàng)估計(jì)：.分段低次插值函數(shù)有很好的一致收斂性和穩(wěn)定性，它計(jì)算量小，在實(shí)際生活中用到是最廣的.但它的光滑性太差. 。1.5 三次樣條插值法 三次樣條插值法也是一種分段插值法。由于在許多實(shí)際問題中，用分段低次插值法去逼近函數(shù)，不僅要求被插函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，而且二階導(dǎo)數(shù)也是一樣。所以引人三次樣條插值法就是為了克服這個缺點(diǎn)。設(shè)區(qū)間上有個節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)為，且這些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值分別為?，F(xiàn)在假如存在一個分段函數(shù)，且 使得在以下條件：（1）； （2）的二階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)； （3）在每個

19、小區(qū)間為三次多項(xiàng)式.恒成立，其中（），則稱為三次樣條插值函數(shù).誤差估計(jì)由定理給出：定理1.5.1 設(shè)，且記,則對，都有的誤差估計(jì)式:三次樣條插值函數(shù)它同樣具有良好的收斂性和逼近性，它在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，即曲線光滑。 2 、例題例1 給出自然對數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的數(shù)表如下： 表3 數(shù)據(jù)表0.400.500.700.80-0.9162912.50-0.6931472.00-0.3566751.43-0.2231441.25（1） 利用Lagrange插值公式求的近似值并估計(jì)誤差；（2） 利用Newton插值公式求的近似值并估計(jì)誤差；（3） 利用Hermite插值公式求的近似值并估計(jì)誤差. 分析

20、 本題有多種解法，除了要求的幾種方法外，還可以用待定系數(shù)法、逐次線性插值法求解. 解：（1）利用Lagrange插值公式，得用和作3次Lagrange插值多項(xiàng)式， 則把代入中得： 由于 即有 （2）利用Newton插值公式，得差商表如下 表4 差商表一階差商二階差商三階差商0.40-0.9162910.50-0.6931472.231440.70-0.3566751.6823575-1.8302750.80-0.2231441.33531-1.1568251.684375所以 把代入中得： （3） 利用Hermite插值公式得： 其中 把代入中得： 則 由于 所以注 本題的真解，由于相同次數(shù)的

21、Lagrange插值多項(xiàng)式和Newton插值多項(xiàng)式是恒等關(guān)系，只是它們的表達(dá)形式不同，所以用它們算出來的結(jié)果也應(yīng)該相同。然而從例題中可以發(fā)現(xiàn)分別用Lagrange插值公式和Newton插值公式計(jì)算出來的結(jié)果了出現(xiàn)差異，那是因?yàn)橛?jì)算的次數(shù)不同，舍入的誤差不同造成的。同時從例題中還可以看出用Hermite插值公式計(jì)算得出的結(jié)果遠(yuǎn)比運(yùn)用Lagrange插值公式和Newton插值公式得到的結(jié)果精確.例 2 給定一個函 ，現(xiàn)在給出等距離的插值節(jié)點(diǎn)，其中.分別試用Lagrange插值法、分段低次插值法、三次樣條插值法作出其圖像，并與原圖像相比較，再分析其差異. 解:首先用Lagrange插值法進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)

22、時，在Matlab的中輸入命令見附錄1，得到以下圖像：圖1由圖1可以知道在運(yùn)用高次Lagrange插值多項(xiàng)式逼近被插函數(shù)時，并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好，隨著節(jié)點(diǎn)的增多，用Lagrange插值法計(jì)算出來的結(jié)果與真實(shí)值相差就越大，其誤差也就越大，也就出現(xiàn)了發(fā)散的現(xiàn)象，這就是我們常說的龍格現(xiàn)象。 然后再在圖1的基礎(chǔ)上用分段插值法計(jì)算，并在Matlab上實(shí)現(xiàn)見附錄2，得出圖像如下：圖2由圖2中可以看出，用分段插值法計(jì)算出來的結(jié)果與真實(shí)值相差很小，所以分段插值法克服了高次Lagrange插值法的缺點(diǎn)，不但不會出現(xiàn)龍格的現(xiàn)象，也不會出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象。但是它還是具有插值精度低、節(jié)點(diǎn)處不光滑的缺點(diǎn)。 同理

23、運(yùn)用三次樣條插值法計(jì)算，由Matlab得到以下圖像見附錄3： 圖3同樣由圖3中可以看出，三次樣條插值法不僅克服了高次Lagrange插值法的不收斂性，同時也克服了分段插值法的插值精度低、在節(jié)點(diǎn)處不光滑的缺點(diǎn)，即提高節(jié)點(diǎn)處的光滑性。3 、結(jié)束語本文討論了數(shù)值分析中幾種常見的插值法，知道了插值法在數(shù)值分析中的重要地位。分別介紹了各種插值法實(shí)用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，并通過例題論證了其結(jié)果，加深其印象.讓讀者能夠很好的估計(jì)誤差，使其最小.文中同時運(yùn)用了Matlab解決問題，使其計(jì)算量大大的減少.也為人們在以后遇到需要用插值法解決的諸多實(shí)際問題的時候，提供一點(diǎn)參考資料。4、參考文獻(xiàn)1 韓旭里.數(shù)值計(jì)算方法M.復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.2 關(guān)治,陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ)M.北京：高等教育出版社，1998.3 黃友謙,李岳生.數(shù)值逼近M. 北京：高等教育出版社，1987.4 李慶揚(yáng),關(guān)治,白峰杉.數(shù)值計(jì)算原理M. 北京：清華大學(xué)出版社，2000.5 馬東升,雷勇軍.數(shù)值計(jì)算方法（第二版）M.機(jī)械工業(yè)出版社，2006.6 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2005.7 王德人,楊忠華.數(shù)值