(完整版)反比例函數(shù)與一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合經(jīng)典例題解析

1、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合經(jīng)典例題解析在歷年中考試題中一次函數(shù)和反比例函數(shù)常以綜合題形式出現(xiàn)，這類(lèi)試題不僅能考查兩個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)，而且能考查同學(xué)們綜合分析問(wèn)題的能力?，F(xiàn)以以下典型例題為例，淺談這類(lèi)問(wèn)題的解法，供參考。. .探求同一坐標(biāo)系下的圖象例 1.1.已知函數(shù)y mx與yn在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致如圖1 1,則下列結(jié)論正確x的是（）分析：由圖知，一次函數(shù)y mx中，y y 隨 x x 的增大而增大，所以m 0;反比例函數(shù)y -x在第二、四象限，所以n 0。觀察各選項(xiàng)知，應(yīng)選 B B。評(píng)注：本題要由所給圖象結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，方能作出正確選擇。k例 2 2 在同一直角坐標(biāo)系中

2、，函數(shù)y kx k與y （k 0）的圖象大致是（）xA.A.B.B.C.C.D.D.圖 2 2分析：本題可采用排除法。由選項(xiàng) A A、B B 的一次函數(shù)圖象知，k 0即k 0,則一次A.A.m 0, n 0C.C.m 0,n0B.B.m 0, n 0函數(shù)y kx k圖象與 y y 軸交點(diǎn)應(yīng)在 y y 軸負(fù)半軸，而選項(xiàng) A A、B B 都不符合要求，故都排k除；由選項(xiàng) D D 的一次圖象知，k 0即k 0,則反比例函數(shù)yk（k 0）圖象應(yīng)在第x一、三象限，而選項(xiàng) D D 不符合要求，故也排除；所以本題應(yīng)選C C。評(píng)注：本題把一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中給出，有較強(qiáng)的綜合性，解 決這類(lèi)

3、問(wèn)題常用排除法。二.探求函數(shù)解析式k例 3 3 如圖 3 3，直線y kix b與雙曲線y只有一個(gè)交點(diǎn) A A（ 1 1，2 2），且與 x x 軸，y yx軸分別交于 B B，C C 兩點(diǎn)，ADAD 垂直平分 0B0B,垂足為 D D，求直線與雙曲線的解析式。解析：k2因?yàn)殡p曲線y過(guò)點(diǎn) A A（ 1 1，2 2），xk所以2乞,k2212得雙曲線的解析式為y -。xA A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1 1，2 2）。所以 B B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 2，0 0）。因?yàn)?ADAD 垂直平分 0B0B ,所以直線的解析式為y 2x 4因?yàn)閥 k1xb過(guò)點(diǎn) A A（ 1 1，2 2）和 B B（ 2 2，0 0），

4、所以k1b 22k1b 0解得k12評(píng)注：解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn) B B 的坐標(biāo)，由 ADAD 垂直 0B0B 知，點(diǎn) D D 和點(diǎn) A A 的橫坐標(biāo)應(yīng) 相同，所以點(diǎn) D D 的坐標(biāo)為（1 1，0 0），又 ADAD 平分 0B0B 知，OB 20D 2，所以點(diǎn) B B 坐 標(biāo)為（2 2，0 0），進(jìn)而求出一次函數(shù)解析式。三.探求三角形面積4例 4 4 如圖 4 4,反比例函數(shù)y的圖象與直線yxA.A. 8 8B.B. 6 641解析：把y代入y x，得x341xx 3整理得x212解得x12 . 3,x22、3把x12.3,X22 3分別代入4yx得y1joy?=33313X的交點(diǎn)為 A A

5、，B B，過(guò)點(diǎn) A A 作 y y 軸3的平行線與過(guò)點(diǎn) B B 作 x x 軸的平行線相交于點(diǎn)C C,貝U ABC的面積為（C.C. 4 4D.D. 2 2所以點(diǎn) A A 的坐標(biāo)為（2 3,2、3）3點(diǎn) B B 的坐標(biāo)為(2.3,23)3由題意知，點(diǎn) C C 的橫坐標(biāo)與點(diǎn) A A 的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn) C C 的縱坐標(biāo)與點(diǎn) B B 的縱坐標(biāo)相同， 所以點(diǎn) C C的坐標(biāo)為(2 3,23)。3因?yàn)锳C2伍-y/3,333所以ABC的面積為114-ACBC .3438223故應(yīng)選 A A。2例 5 5 如圖 5 5,已知點(diǎn) A A 是一次函數(shù)y x的圖象與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限內(nèi)x22析解：把y

6、x代入y，得x ，xx整理得x22，解得Xi2,x22A.A. 2 2B.B.C.C.2D.D.2 2的交點(diǎn)，點(diǎn)得Xi2,x22分別代入y x又點(diǎn) A A 在第一象限內(nèi)，所以點(diǎn) A A 的坐標(biāo)為（,2, . 2）在AOC中AC、2,0C、2由勾股定理，得0A 2,所以 0B=20B=2。所以AOB的面積為11-OB AC 222，22故應(yīng)選（C C）評(píng)注：例 4 4 和例 5 5 中都利用解方程來(lái)求出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，這是求兩函數(shù)圖象交 點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想。四 探求點(diǎn)的坐標(biāo)1k例 6 6 如圖 6,6,直線y x 1分別交 x x 軸、y y 軸于點(diǎn) A A ,C,C，點(diǎn) P

7、 P 是直線 ACAC 與雙曲線y 2x在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，PB x軸，垂足為點(diǎn) B B，APB的面積為 4 4。（1 1）求點(diǎn) P P 的坐標(biāo)；（2 2）略。1析解：在y x 1中，令x 0，則y 1；令y 0，則x 2。所以點(diǎn) A A 的坐標(biāo)為（-2-2，0 0），點(diǎn) C C 的坐標(biāo)為（0 0，1 1 ）。得yi2,y221因?yàn)辄c(diǎn) P P 的直線y x 1上,21不妨設(shè)點(diǎn) P P 的坐標(biāo)為（m,-m 1）21所以AB m 2, PB m 1。21兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為(,-4).評(píng)注:一次函數(shù) y = mx + 3n 與反比例函數(shù)2my=-x(1(1 , 2)2)，則該點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩解析式

8、；要求兩圖象交點(diǎn),5n5-的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)則應(yīng)由兩圖象的解析1又因?yàn)镾APB*AB PB 411所以(m 2)(m 1)422整理得m24m 12 0即(m 2)(m6)0解得mj2,m26因?yàn)辄c(diǎn) P P 在第一象限，所以m2。故點(diǎn) P P 的坐標(biāo)為(2 2, 2 2)。評(píng)注：本題的解答過(guò)程蘊(yùn)含著設(shè)元思想、方程思想和轉(zhuǎn)換思想。五、綜合運(yùn)用例 6 6 已知關(guān)于 x x 的一次函數(shù) y y = mxmx + 3n3n 和反比例函數(shù)點(diǎn)(1(1, - 2)2).求：(1)(1) 一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； 兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).解析：(1)(1) 兩函數(shù)圖象都過(guò)點(diǎn)(1(1 , - 2)2)

9、,2m 5的圖象都經(jīng)過(guò)xm+ 3n= 2, 2m+ 5n= 2 .解之，得m= 4,n = 2.一次函數(shù)的解析式為 y y = 4x4x 6 6,2反比例函數(shù)的解析式為y=-.x(2)(2)根據(jù)題意，列出方程組y= 4x 6,2y=.解之，得y 一 2,1x =2y= 4.式組成方程組求解.k例 7 已知一次函數(shù) y= x + 6 和反比例函數(shù) y= (k 工 0).x(1)k(1)k 滿(mǎn)足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系 xOyxOy 中的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)?設(shè)中的兩個(gè)公共點(diǎn)為 A A，B B,試判斷/ AOBAOB 是銳角還是鈍角？y= x + 6,(1)根據(jù)題意，得消去 y y,得 x

10、x2 6x6x + k k= 0 0.3636 4k4k0 0,. k kv 9 9.當(dāng) k kv 9 9 且 k kz 0 0 時(shí)，方程 x x2 6x6x + k k= 0 0 有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)解. k k v 9 9 且 k kz 0 0 時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)./ y y= x x+ 6 6 的圖象過(guò)第一，二，四象限， 0 0v k kv9 9 時(shí)，雙曲線兩支分別在第一、三象限由此知兩公共點(diǎn)A A，B B 在第一象限，此時(shí)/ AOBAOB 是銳角.k kv0 0 時(shí)，雙曲線兩支分別在第二，四象限，兩公共點(diǎn)A A，B B 分別在第二、四象限，此時(shí)/ AOBAOB 是鈍角.例 8

11、 已知 A(m，2)是直線 I 與雙曲線 y=3的交點(diǎn).x(1)求 m m 的值；(2)若直線 I I 分別與 x x 軸、y y 軸相交于 E E，F(xiàn) F 兩點(diǎn)，并且 RtRt OEF(OOEF(O 是坐標(biāo)原點(diǎn)) ) 的外心為點(diǎn) A A，試確定直線 I I 的解析式；3(3) 在雙曲線 y=上另取一點(diǎn) B 作 BK 丄 x 軸于 K ;將 中的直線xI I 繞點(diǎn) A A 旋轉(zhuǎn)后所得的直線記為 I I，若 I I與 y y 軸的正半軸相交于點(diǎn) C C，一1且 OC = - OF .試問(wèn)在 y 軸上是否存在點(diǎn)P，使得 SPCA= S BOK，4若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P P 的坐標(biāo)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

12、由.圖】3OL解析：3:直線 l 與雙曲線 y =-的一個(gè)交點(diǎn)為 A(m, 2),33一 =2，即 m=二.m23 A 點(diǎn)坐標(biāo)為(一，2).2 丿作 AMAM 丄 x x 軸于 M M ./ A A 點(diǎn)是 RtRt OEFOEF 的外心， EAEA = FAFA .由 AMAM / y y 軸有 0M0M = MEME . OFOF = 20M20M./ MAMA = 2 2, OFOF = 4 4. F F 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0(0, 4)4).設(shè) I I: y y = kxkx + b b，則有34k + b= 2,k = 一，23b = 4.b= 4.4直線 I 的解析式為 y = x+ 4.

13、31(3)TOC=4OF,AOC=1. C C 點(diǎn)坐標(biāo)為(0(0, 1)1).設(shè) B B 點(diǎn)坐標(biāo)為(X(X,，) )，貝 U U13-sBOK=-|x1|y1|=2設(shè) P P 點(diǎn)坐標(biāo)為(0(0, y y)，滿(mǎn)足SPCA=S BOKBOK .當(dāng)點(diǎn) P P 在 C C 點(diǎn)上方時(shí)，y y 1 1, 有1333S PCA=2(y1)x=；(y1)=2 y y = 3 3.當(dāng)點(diǎn) P P 在 C C 點(diǎn)卜方時(shí)，y y v 1 1,有13S PCA2 (1y)=2 y y = 一 2 2.綜上知，在 y y 軸存在點(diǎn) P(0P(0, 3)3)與(0(0, 2)2)，使得 S SPAC= S SBOK評(píng)注：直

14、線與雙曲線的綜合題的重要組成部分是兩種圖象的交點(diǎn)，這是惟一能溝通它們的要素，應(yīng)用交點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意:(1)(1)交點(diǎn)既在直線上也在雙曲線上，交點(diǎn)坐標(biāo)既滿(mǎn)足直線的解析式也滿(mǎn)足雙曲 線的解析式.(2)(2)要求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)將兩種圖象對(duì)應(yīng)的解析式組成方程組，通過(guò)解方程組 求出交點(diǎn)坐標(biāo).(3)(3) 判斷兩種圖象有無(wú)交點(diǎn)時(shí)， 可用判別式確定， 也可以畫(huà)出草圖直觀地確定.例 9 如圖 13- 32,已知 C, D 是雙曲線 y=m在第一象限內(nèi)的分支x上的兩點(diǎn)，直線 CDCD 分別交 x x 軸，y y 軸于 A A , B B 兩點(diǎn)，設(shè) C C, D D 的坐標(biāo)分別是(x(x1,y y1) ), (x(x2

15、, y y2) )，連結(jié) OCOC, ODOD .(1)求證：y! OCvy1+yi1 _若/ BOC =ZAOD =a,tana=3 , OC = 10，求直線 CD 的解3析式.證明：(1)(1)如圖 1313 3333 過(guò)點(diǎn) C C 作 CGCG 丄 x x 軸，垂足為 G G,則 CGCG = y y1, OGOG = x x1.點(diǎn) C(x1, y1)在雙曲線 y =上,xmy1在 RtRt OCGOCG 中，CGCG OCOC CGCG + OGOG , y1 OC y1+.y1解：在 RtRt GCOGCO 中，/ GCOGCO =Z BOCBOC =a, OC2= OG2+ CG2, OC =、. 10,10 = x2+ y2，即 10 = x2+ (3x1)2.解之，得 x x = 1 1.負(fù)值不合題意， x x = 1 1, y y = 3 3.點(diǎn) C C 的坐標(biāo)為(1(1 , 3)3),.點(diǎn)C在雙曲線 y = m 上，x 3=，即 m = 3.13所以，雙曲線的解析式為y=3.x過(guò)點(diǎn) D D 作 DHDH 丄 x x 軸，垂足為 H H .貝 U U DHDH =