線性規(guī)劃的應(yīng)用

1、課題： 線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用授課教師：濟(jì)南市長(zhǎng)清中學(xué)姜登凱一、教材分析1 教材：高中數(shù)學(xué)（人教B 版）必修5 第三章 3.5.22 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：了解線性規(guī)劃的相關(guān)概念，會(huì)解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題；過(guò)程與方法目標(biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷“知識(shí)形成與發(fā)展”的過(guò)程，體會(huì)其中數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力；情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：讓學(xué)生體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”的樂(lè)趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).3. 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題；難點(diǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題解法的探求與理解.4 教具：多媒體、實(shí)物投影儀、學(xué)案和直尺二、教學(xué)方法與手段采用了教師啟發(fā)與學(xué)生自主探究相結(jié)合的互動(dòng)式教學(xué)法，讓學(xué)生通過(guò)合作探究自主突破

2、難點(diǎn)，式訓(xùn)練拓展學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的空間，把課堂變成教師導(dǎo)演學(xué)生主演的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)場(chǎng).為了提高課堂效率，規(guī)范學(xué)生的解題步驟，采取多媒體輔助教學(xué)和導(dǎo)學(xué)案結(jié)合的教學(xué)手段三、教學(xué)過(guò)程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題1引入：華羅庚解釋什么是“運(yùn)籌學(xué)”，從字面上就是“運(yùn)行和規(guī)劃的科學(xué)”是在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中選擇最優(yōu)用變化方法的一種科學(xué)，消除商品生產(chǎn)和流通過(guò)程中的浪費(fèi)和不合理等現(xiàn)象，引出課題簡(jiǎn)單線性規(guī)劃2.引例：某工廠用A、B 兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4 個(gè) A 配件，耗時(shí)1小時(shí)；每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4 個(gè) B 配件，耗時(shí)2 小時(shí)已知該廠每天最多可從配件廠獲得16 個(gè) A 配件和 12 個(gè) B 配

3、件，按每天工作不超過(guò)8 小時(shí)計(jì)算，請(qǐng)你列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域 .解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日的產(chǎn)量分別為x ， y 個(gè)x 2 y 84x 164 y 12x, yN注：列約束條件時(shí)，要注意講清xN.y N，這是學(xué)生容易忽略的問(wèn)題3提出中心問(wèn)題：生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2 萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3 萬(wàn)元，如何安排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？（二）合作探究，解決問(wèn)題列出了約束條件和目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y 后，應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。用問(wèn)題組引領(lǐng)學(xué)生用幾何意義解決問(wèn)題1想求目標(biāo)函數(shù)的最大值能不能每次解題都一一代入驗(yàn)證呢?2可行解的幾何意義是點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y 的幾何意義是什么呢？3

4、 將可行解代入目標(biāo)函數(shù)，也就是將可行域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)代入式子中，讓我們聯(lián)想到什么呢？4我們要求 z=2x+3y 的最大值，又和點(diǎn)到直線2x+3y=0 的距離有什么關(guān)系呢？5怎樣操作在可行域內(nèi)找到與直線2x+3y=0的距離最大的點(diǎn)？6.怎樣得到最優(yōu)解的坐標(biāo)呢？把求 z=2x+3y 的最大值，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線( 三 ) 反思過(guò)程，規(guī)范步驟2x+3y=0的距離的最大值先請(qǐng)學(xué)生回憶圖解法求線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟，然后教師用多媒體課件展示畫(huà)圖、平移過(guò)程：圖解法步驟可概括為建：建線性規(guī)劃模型畫(huà)：畫(huà)可行域和基準(zhǔn)線移：平移基準(zhǔn)線找點(diǎn)求：解方程組求出最優(yōu)解答：回歸問(wèn)題，寫(xiě)出答案例題小結(jié)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的求解步

5、驟：（教師示意學(xué)生觀看板書(shū)，并給予適當(dāng)?shù)奶崾荆? 梳理已知數(shù)據(jù)，設(shè)出變量x， y 和z;2 找出約束條件和目標(biāo)函數(shù);3 作出可行域，并結(jié)合圖象求出最優(yōu)解;4 按題意作答( 四 ) 實(shí)踐操作，互評(píng)糾錯(cuò)學(xué)生展示自己的解題過(guò)程，互相點(diǎn)評(píng)步驟中出現(xiàn)的問(wèn)題，比如：（ 1）建模時(shí)對(duì)題意理解不透，解答過(guò)程不規(guī)范（ 2）畫(huà)錯(cuò)可行域，畫(huà)錯(cuò)基準(zhǔn)線（ 3）因作圖不規(guī)范，最終找錯(cuò)最優(yōu)解鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，交流心得，自己提出改進(jìn)和解決問(wèn)題的辦法.（五）變式引思，深化認(rèn)識(shí)變式問(wèn)題1：如果市場(chǎng)發(fā)生變化，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2 萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利4 萬(wàn)元，如何安排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？目標(biāo)函數(shù)z=2x+4y注 : 基準(zhǔn)線與可行域的

6、一條邊界平行學(xué)生討論總結(jié)（1）直線的傾斜程度相近時(shí)，可通過(guò)斜率來(lái)比較（2）最優(yōu)解可能不唯一變式問(wèn)題2：如果市場(chǎng)又發(fā)生變化，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2 萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品虧損4 萬(wàn)元，如何安排生產(chǎn)利潤(rùn)最大？目標(biāo)函數(shù)z=2x-4y思考：為何“距離”最大而“目標(biāo)函數(shù)”不是最大呢？（六）獨(dú)立解題，由懂到會(huì)引入： “中國(guó)結(jié)”是中國(guó)特有的民間手工編結(jié)裝飾品， “中國(guó)結(jié)”經(jīng)過(guò)幾千年的結(jié)藝演變，現(xiàn)已成為廣大群眾喜愛(ài)的具有中國(guó)特色的藝術(shù)品：（展示中國(guó)結(jié)的圖片，及其它相關(guān)圖片，配有背景音樂(lè)）例 2：某校高二 (1) 班舉行元旦文藝晚會(huì)，布置會(huì)場(chǎng)要制作“中國(guó)結(jié)” ，班長(zhǎng)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種顏色不同的彩繩，把它們截成 A、B

7、、C 三種規(guī)格甲種彩繩每根 8 元，乙種彩繩每根 6 元，已知每根彩繩可同時(shí)截得三種規(guī)格彩繩的根數(shù)如下表所示：A 規(guī)格B 規(guī)格C 規(guī)格甲種彩繩211乙種彩繩123今需要 A、 B、 C 三種規(guī)格的彩繩各15、 18、 27根，問(wèn)各截這兩種彩繩多少根，可得所需三種規(guī)格彩繩且花費(fèi)最少？分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表甲種彩繩乙種彩繩所需條數(shù)A 規(guī)格B 規(guī)格C規(guī)格彩繩單價(jià)21181236151827解：設(shè)需購(gòu)買(mǎi)甲種彩繩x 根、乙種彩繩y 根，共花費(fèi)z 元；2xy15x2 y18x3y27x, yNz=8x+6y在用圖解法求解的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：直線 l 最先經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A(3.6,7.8)并不是最優(yōu)解

8、, 學(xué)生馬上想到最優(yōu)解可能是（4， 8），引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算花費(fèi)，花費(fèi)為80 元，有沒(méi)有更優(yōu)的選擇?進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生興趣：可能是（3，9）嗎 ? 此時(shí)花費(fèi)為78 元，可能是（ 2，10）嗎？此時(shí)花費(fèi)為76 元，可能是 ，如何尋找最優(yōu)解？滿足題意的點(diǎn)是可行域內(nèi)的整點(diǎn)，首先要找整點(diǎn)， 引導(dǎo)學(xué)生采用打網(wǎng)格或利用坐標(biāo)紙的方法；根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，平移直線l, 最先經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)坐標(biāo)是整數(shù)最優(yōu)解由網(wǎng)格法可得：當(dāng)x=3， y=9 時(shí)， zmin=78 答：班長(zhǎng)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)3 根甲種彩繩、9 根乙種彩繩，可使花費(fèi)最少！例題小結(jié)：確定最優(yōu)整數(shù)解的方法：1若可行域的“頂點(diǎn)”處恰好為整點(diǎn)，那么它就是最優(yōu)解；（在包括邊界的情況下）2若

9、可行域的“頂點(diǎn)”不是整點(diǎn)或不包括邊界時(shí)， 一般采用網(wǎng)格法，即先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格、描整點(diǎn)、平移直線 l 、最先經(jīng)過(guò)或最后經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)坐標(biāo)是整數(shù)最優(yōu)解；這種方法依賴作圖，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范（七）小結(jié)作業(yè)，承前啟后請(qǐng)同學(xué)們相互討論交流：1（ 1）本節(jié)課你學(xué)習(xí)到了哪些知識(shí)？（2）本節(jié)課滲透了些什么數(shù)學(xué)思想方法？（引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和思想方法兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)）知識(shí)：（1）把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題即建立數(shù)學(xué)模型的方法建模主要分清已知條件中，哪些屬于約束條件，哪些與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)（ 2）求解整點(diǎn)最優(yōu)解的解法：網(wǎng)格法網(wǎng)格法主要依賴作圖，要規(guī)范地作出精確圖形思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題2 布置作業(yè)課本 P101/1,P103/5，讓學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容四、教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)課堂上利用多媒體手段，化靜為動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，輕松觀察求解，增加教學(xué)容量，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的條理性、形象性將學(xué)生的練習(xí)結(jié)果用投影儀展示給大家，通過(guò)老師的講解與點(diǎn)評(píng)，糾正學(xué)生在解題過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，規(guī)范解題過(guò)程，使得課堂上學(xué)生的練習(xí)和老師的講