2-4數(shù)學期望的定義與性質(zhì)(精)

1、2.4數(shù)學期望的定義與性質(zhì)一、隨機變量的數(shù)學期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望三、數(shù)學期望的性質(zhì)四、小結(jié)一、隨機變量的數(shù)學期望離散隨機變量的分布列全面地描述了隨機變量的 統(tǒng)計性規(guī)律，但這樣“全面的描述”有時不方便， 或不必要。如比較兩個班級的成績的優(yōu)劣，通常比 較考試的平均成績即可；要比較兩地的糧食收成， 一般比較平均畝產(chǎn)。引例某手表廠在出產(chǎn)產(chǎn)品中抽査了N=100只手 表的日走誤差，數(shù)據(jù)如下：日走誤差 （秒）-2-101234只數(shù)GVJ3 1O 172821165日走誤差（秒）只數(shù)GVJ這時抽査到的100只手表的品均日走時誤差為:4工（一2）x3+ +4x52_（Gxd +4XB_.22（秒/日）

2、4工4N匕NX.離散型隨機變量的數(shù)學期望定義:設(shè)離散型隨機變量的可能的取值為和匸1,2.）,CO其分布列為PH，心1，2,.若2皿/=|斂，則稱隨機變量存在數(shù)學期望嚇思考：1、為什么要絕對收斂？2、若不絕對收斂會有什么結(jié)果?21 O 1 23 4N100記作平均值二4=財k絕對收關(guān)于定義的兩點說明(1) Eg是一個實數(shù)，而非變量，它是一種加 權(quán)平均，與一般的平均值不同，它從本質(zhì)上體現(xiàn) 了隨機變量歹取可能值的真正平均值，也稱 均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不 隨級數(shù)各項次序的改變而改變，之所以這樣要 求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量取可能值 的平均值，它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.試

3、問哪個射手技術(shù)較好?乙射手擊中環(huán)數(shù)89 1O解 設(shè)甲，乙射手擊中的環(huán)數(shù)分別為歹, = 8x0.3 + 9x0.1 + 10 x0.6 = 9.3(環(huán)),E” = 8x0.2+9x0.5 + 10 x0.3 = 9.1（環(huán)）,故甲射手的技術(shù)比較好.例 2 二項分布設(shè)隨機變量歹服從參數(shù)為n.p二項分布， 其分布列為/、P = k=；/(l p)U(0,l,2,),Ovpvl則有I丿”E(G = k Pl/k,需要分組，若q已知，還可以從Eg二l +l/k選出最適合的整數(shù)匕每一個人的血液，如果當?shù)赜蠳個人,若逐個檢例 5 幾何分布設(shè)“纟的分布律為P苗=U=qfg = 1 “；R = 1,2,；0 V

4、 p 1800則有臥q_p =k=k= p( (r = p( (Z?Ar*=/t=l=p( (-y=P=丄 q(ISp二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望1.一維離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設(shè)離散型隨機變量的分布列為p（n，（心1,2,）,若g（x）為x的單值函數(shù)，如果|g（d）p| 1oO=Dj工P（ = ajJ=1= 22 g（e）p（e = q）7=1g（aj=bjs=O（q）P（=Qi）=12.二維離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理2.3若（,）是二維隨機變量，其聯(lián)合分布列為P（g=乞, =b）=卩丐,i.j= 1,2,.工工|g（q“）|為 V8,有E gGCl =為為g（abj）pi Ji j

5、三、數(shù)學期望的性質(zhì)1若55伉貝I磚存在，RaEh.特另Ijc是一個 常數(shù)，則E又兀 ）如果（C）= C Op證明 由于 c cii蘭6 E（歹）=12a4OOQO貝Ua=ap 左（歹），bp =hi=li=l2設(shè)二維離散隨機變量（,）,若Eg,E”存在 則對任意實數(shù)k,la= 4(元)，故每人1年應(yīng)向保險公司交保險費4元.求：E(2Q+5) 解E(2Q+5) = 2E(X3) + E(5)= 2E(X3) + 5,又E(X3) = (-2)3x- + 03x- + l3x + 33x = -|, 3212123,.13例3按規(guī)定，某車站每天8 : 009 : 00, 9:00-X2O13P1/

6、3121/12 1/12例2設(shè)故E(2X3+ 5) =2E(X3)+ 5 = 2x(ii)一旅客8 : 20到車站，求他候車時間的數(shù)學鯉.10: 00都恰有一輛客車到站但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相場蟲立其規(guī)律為8:109:1030368:508:30到站時刻概率(i)一旅客8:00到車站，求他候車時間的數(shù)學鯉.解設(shè)旅客的候車時間為x( (以分計).(i) X的分布律為X103050132Pk666候車時間的數(shù)學期望為132E(X) = 10 x- + 30 x- + 50 x-6 6 6=33.33(分).(ii)X的分布律為X1030507090Pk321 1x -1 3x 1 2