高三數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)------- 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(有詳細(xì)答案)

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用考情分析考點(diǎn)新知理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用能用向量方法判斷一些簡(jiǎn)單的空間線面的平行和垂直關(guān)系；能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題.1. (選修21P97習(xí)題14改編)若向量a(1，2)，b(2，1，2)且a與b的夾角的余弦值為，則_答案：2或解析：由已知得， 83(6)，解得2或.2. (選修21P89練習(xí)3)已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且 a, b, c，用a，b，c表示向量 _答案：(bca)解析：如

2、圖， ( )·( )( )( 2 )( )(bca)3. (選修21P101練習(xí)2改編)已知l，且l的方向向量為(2，m，1)，平面的法向量為，則m_.答案：8解析：(2，m，1)·0，得m8.4. (選修21P86練習(xí)3改編)已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于_答案：解析：由于a、b、c三個(gè)向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m、n使得cmanb，即有(7，5，) m(2，1，3)n(1，4，2)，即(7，5，)(2mn，m4n，3m2n)， 解得m，n，.5. (選修21P110例4改編)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)

3、E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_(kāi)答案：解析：以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， (0，1，1)，設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則 n1(1，2，2) 平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0，0，1)，cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.1. 直線的方向向量與平面的法向量(1) 直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量n垂直于平面，記作n.此時(shí)把向量n叫做平面的法向量2. 線面關(guān)系的判定直線l1的方向向量為

4、e1(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為e2(a2，b2，c2)，平面的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面的法向量為n2(x2，y2，z2)(1) 如果l1l2，那么e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，那么e1e2e1·e20a1a2b1b2c1c20(3) 若l1，則e1n1e1·n10a1x1b1y1c1z10(4) 若l1，則e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1(5) 若，則n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2(6) 若，則n1n2n1·n20x1x2y1y2z1z203. 利用空間向量

5、求空間角(1) 兩條異面直線所成的角范圍：兩條異面直線所成的角的取值范圍是.向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有cos|cos|.(2) 直線與平面所成的角范圍：直線和平面所成的角的取值范圍是.向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin|cos|或cossin.(3) 二面角二面角的取值范圍是0，二面角的向量求法：() 若AB、CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖)() 設(shè)n1、n2分別是二面角l的兩個(gè)面、的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是

6、二面角的平面角的大小(如圖)備課札記題型1空間向量的基本運(yùn)算例1如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，c，則_.答案：abc解析：abc.已知空間三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)設(shè)a，b.(1) 求a和b的夾角；(2)若向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos，a和b的夾角為arccos.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)&

7、#183;(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得k或2.題型2空間中的平行與垂直例2如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.證明：(1) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，0)，M. ，. 且NE與AM不共線 NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知， D(，0，0)，F(xiàn)(，1)， (0，1)， ·0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.如右圖，

8、在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為BC1D的重心，(1) 試證：A1、G、C三點(diǎn)共線；(2) 試證：A1C平面BC1D；證明：(1) ，可以證明：()， ，即A1、G、C三點(diǎn)共線(2) 設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0， abc，ca， ·(abc)·(ca)c2a20， ，即CA1BC1，同理可證：CA1BD，因此A1C平面BC1D.題型3空間的角的計(jì)算例3(2013·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖，圓錐的高PO4，底面半徑OB2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EFDE.(1

9、) 求異面直線EF與BD所成角的余弦值；(2) 求二面角OOFE的正弦值解：(1) 以O(shè)為原點(diǎn)，底面上過(guò)O點(diǎn)且垂直于OB的直線為x軸，OB所在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)設(shè)F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且xy4，則(x0，y01，2)，(0，1，0)， EFDE，即，則·y010，故y01. F(，1，0)，(，0，2)，(0，2，2)設(shè)異面直線EF與BD所成角為，則cos.(2) 設(shè)平面ODF的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令x11，得y1，平面ODF的

10、一個(gè)法向量為n1(1，0)設(shè)平面DEF的法向量為n2(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一個(gè)法向量為n2.設(shè)二面角ODFE的平面角為，則|cos|. sin.(2013·江蘇卷)如圖所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1) 求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)

11、因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2) 設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1，1，0)，(0，2，4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2(0，1，0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.1. 設(shè)A1、A2、A3、A4、A5是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)，則使0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案：1 個(gè)解析：設(shè)A1、A2、A3、A4、A5坐標(biāo)分別

12、為(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，(x3，y3，z3)，(x4，y4，z4)(x5，y5，z5)，設(shè)M坐標(biāo)為(x，y，z)由0得方程(x1x)(x2x)(x3x)(x4x)(x5x)0，(y1y)(y2y)(y3y)(y4y)(y5y)0，(z1z)(z 2z)(z3z)(z4z)(z5z)0，解得x，y，z.故有唯一的M滿足等式2. (2013·連云港模擬)若平面的一個(gè)法向量為n(4，1，1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(2，3，3)，則l與所成角的正弦值為_(kāi)答案：解析：cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.3. (2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)

13、如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1ACCBAB.(1) 證明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBAB得ACBC. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可

14、取n(1，1，1)同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則可取m(2，1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角D-A1C-E的正弦值為.4. (2013·重慶)如圖所示，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AFPB.(1) 求PA的長(zhǎng)；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如圖，連結(jié)BD交AC于O，因?yàn)锽CCD，即BCD為等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(

15、0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)因?yàn)镻A底面ABCD，可設(shè)P(0，3，z)，由F為PC邊中點(diǎn)，得F，又，(，3，z)，因AFPB，故·0，即60，z2(舍去2)，所以|2.(2) 由(1)知(，3，0)，(，3，0)，(0，2，)設(shè)平面FAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2(x2，y2，z2)由n1·0，n1·0，得因此可取n1(3，2)由n2·0，n2·0，得故可取n2(3，2)從而向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2.故二面角B-AF-D的正弦值為.5. (2013

16、3;連云港調(diào)研)在三棱錐SABC中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn)，側(cè)棱SB和底面成45°角(1) 若D為側(cè)棱SB上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知SBO45°，SO3.O(0，0，0)，C(0，0)，A(0，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 設(shè)(01)，則(1)(3(1)，0，3)，所以(3(1)，3)因?yàn)?3，0)，CDAB，所以·9(1)30，解得.故時(shí)， CDAB.(2) 平面ACB

17、的法向量為n1(0，0，1)，設(shè)平面SBC的法向量n2(x，y，z)，則n2·0，n2·0，則解得取n2(1，1)，所以cosn1，n2.又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為.1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點(diǎn)(1) 求二面角D1-AE-C的大??；(2) 求證：直線BF平面AD1E.(1) 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，(0，0，2)

18、(1，1，1)(1，1，1)，(1，1，1)(1，0，0)(0，1，1)，(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)設(shè)平面AED1、平面AEC的法向量分別為m(a，b，1)，n(c，d，1)由由m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，n0，二面角D1AEC的大小為90°. (2) 證明：取DD1的中點(diǎn)G，連結(jié)GB、GF.E、F分別是棱BB1、AD的中點(diǎn)，GFAD1，BED1G且BED1G，四邊形BED1G為平行四邊形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1

19、E，直線BF平面AD1E.(或者：建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來(lái)證明直線BF平面AD1E，亦可)2. (2013·蘇州調(diào)研)三棱柱ABCA1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中點(diǎn)(1) 求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).(1，2，3)，(0，4，0). 設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為n(x，y，z) n·x2y3z0，n

20、3;4y0. x3z，y0.令z1，得x3.n(3，0，1)設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成角為， (1，2，3)， sin|cos·n|.(2) 設(shè)平面A1B1D的一個(gè)法向量為m(a，b，c)(2，0，0)， m·a2b3c0，m·2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)設(shè)二面角B1A1DC1的大小為， |cos|cos|m，n|，則sin. 二面角B1A1DC1的正弦值為. 3. (2013·南通二模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1與BC所成的角的大小；(2)

21、在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角PABA1的平面角的余弦值為.解：(1) 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，(0，2，2)，(2，2，0)cos，故AA1與棱BC所成的角是.(2) P為棱B1C1中點(diǎn)，設(shè)(2，2，0)，則P(2，42，2)設(shè)平面PAB的法向量為n1(x，y，z)，(2，42，2)，則故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，則cosn1，n2，解得，即P為棱B1C1中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P(1，3，2)4. (2013廣東韶關(guān)第二次調(diào)研)如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知A45°，C90°，ADC105