習(xí)題word版：第十七章勾股定理

1、第十七章勾股定理17. 1勾股定理第1課時(shí)勾股定理Ol 基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的證明1. 利用圖1或圖2兩個(gè)圖形中的有關(guān)而積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的泄理，這個(gè)泄理稱(chēng)為型 股怎理,該泄理結(jié)論的數(shù)學(xué)表達(dá)式是a2+b2=c2.Q b 圖22. 在一張紙上畫(huà)兩個(gè)全等的直角三角形，并把它們拼成如圖形狀，請(qǐng)用兩種方法表示這個(gè)梯形的面積利用 你的表示方法，能得到勾股定理嗎？/. a2+2ab+b2=ab÷ab+c2./. a2÷b2=c2 知識(shí)點(diǎn)2利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算3.A.C4.A在AABC中，ZA, ZB, ZC的對(duì)應(yīng)邊分別是a, b, a2÷b2=c2B.

2、b2+c2=a2a2÷c2=b2D c2-a2=b2（2019平頂山期末）在AABC中，ZB=90°.若BC=3, 2B. 3C. 4D.34,若ZB=90,則下列等式中成立的是（C）AC=5,則 AB 等于(C)C6.3已知直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊的長(zhǎng)是2 cm,則另一條直角邊的長(zhǎng)是（C） 4 CmB 4y3 Cm6 CmD. &3 Cm（2019畢節(jié)）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上.若EB=I, EC=2,則正方形ABCD的而積為（B）5B. 3C.57. （2019洛陽(yáng)期中）如圖,在厶ABC中，AB丄AG AB= 5 cm, BC= 13 cm,

3、 BD是AC邊上的中線,貝仏BCD 的面積是15_s?2.8. （2019.鄭州高新區(qū)期末）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225, 289,則字母A所代表的正方形的面積為64.【變式】 如圖，以RfAABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓Si, S2, Ss若S2=32t, S3=I8則斜邊上 半圓的而積S=5知識(shí)點(diǎn)3趙爽弦圖9.【關(guān)注數(shù)學(xué)文化（2019.咸寧）勾股立理是“人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”我國(guó)對(duì)勾股左理的證明是由 漢代的趙爽在注解周牌算經(jīng)時(shí)給岀的，他用來(lái)證明勾股左理的圖案被稱(chēng)為“趙爽弦圖” .22年在北京召開(kāi)的 國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)選它作為會(huì)徽下列圖案中是“趙爽弦圖”的是（B）OO亙）D

4、）10. （2019.大慶）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成 的一個(gè)大正方形（如圖所示）如果大正方形的而積是13,小正方形的而積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a, b,那么（a-b）2的值是1易錯(cuò)點(diǎn)直角邊不確定時(shí)漏解11. （2019.洛陽(yáng)期中）已知RtAABC的三邊長(zhǎng)為a, 4, 5,則a的值是（C）A 3B.4TC. 3或回D. 9或4102 中檔題12. （本課時(shí)T8變式）如圖，分別以RtABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形.若AB=4.則三個(gè)等邊三角形 的面積之和是（A）A.C.8318B. 63D12如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的

5、ABC拼在一起，英中點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C落在邊AB 上，連接 BC若ZACB = ZACK=90o, AC=BC=3,則 Bt 的長(zhǎng)為（A）A. 35B. 6C. 3品D.2113.14. （2019.河南）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC, ZD=90% AD=4, BC = 3.分別以點(diǎn)A C為圓心，大 于MAC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為(A) A. 22C. 3B4D.TEi 15. （201&荊州）為了比較5+l與T勺大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖進(jìn)行推算，其中ZC=90o, BC=3, D 在BC 

6、7;且BD=AC=1.通過(guò)計(jì)算可得5+lT.（<fc>或“=”）16. 在ZABC 中，AB = 15, AC= 13,髙 AD= 12,則 AABC 的周長(zhǎng)為 32 或 4217. 如圖，在AABC 中，AB=15, BC= 14, AC=13,求AABC 的面某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給岀了下而的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程.BD C解：在AABC 中，AB = 15, BC=14, AC= 13,設(shè) BD=X,則 CD=14-.由勾股定理，得 AD2=AB2-BD2= 152-2, AD2=AC2-CD2 = 132-(14-X)2.1522=132(14一 x

7、)2解得 x=9.AAD=I2 * Sabc=BC AD=X 14 × 12=84 ,03綜合題）求CD的長(zhǎng)度18. （2019.畢節(jié)改編）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上, 點(diǎn) B 在 ED 上，AB CF, ZF=ZACB=90%解：過(guò)點(diǎn)B作BM丄FD于點(diǎn)M,在AACB 中，ZACB=90o, ZA=60o, AC=IO, AZABC=30°.AAB=2AC=20, BC=AB2-AC2= 103.VABCF, ZBCM=ZABC=30o.BM=5BC=5× 1O3 = 53 CM =BC2-BM2 =15.在ZEF

8、D 中，ZF=90o, ZE=45o, ZEDF=45°.MD = BM=53 ACD=CM-MD= 15-53.第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用Ol 基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1勾股定理在平面圖形中的應(yīng)用1. 如圖，有兩棵樹(shù)，一棵髙12米，另一棵髙6米，兩樹(shù)相距8米.一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù) 梢，則小鳥(niǎo)至少飛行垃米2. 八班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了 “勾股左理”之后，為了測(cè)得如圖風(fēng)箏的髙度CE,他們進(jìn)行了如下操作: 測(cè)得BD的長(zhǎng)度為15米：（注：BD±CE） 根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度汁算岀風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米： 牽線放風(fēng)箏的小明身高為16米.求風(fēng)箏的髙度CE.解：在 RtACDB 中，由勾

9、股左理，得 CD=CB2-BD2=252-152=20（米）CE=CD÷DE=20+1.6=21.6（米）答：風(fēng)箏的髙度CE為21.6 X3. （2019.鄭州管城區(qū)月考）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口 O向東北方向航行，乙漁船以6海里 /時(shí)的速度離開(kāi)港口 O向西北方向航行，它們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距多少海里？解:由題意,得 BO=1.5×6=9（海里），AO=1.5×8=12（海里），Zl = Z2=450, 故ZAOB=90% AB=BO2+AO2=15（海里）答：甲、乙兩漁船相距15海里.知識(shí)點(diǎn)2兩次勾股定理的應(yīng)用4如圖，小巷左

10、右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地 而2.4米.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地而2米，那么小巷的寬度為（C）A. 07米B. 15米C. 22米D. 24米5（教材P25例2變式）如圖，滑竿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，ZACB為直角，已知滑竿AB長(zhǎng)2.5米，頂點(diǎn)A在AC 上滑動(dòng)，量得滑竿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5 X.當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，滑竿頂端A下滑0.5米.知識(shí)點(diǎn)3利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離6. （2019-常州）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-3, 4）到原點(diǎn)的距離是）7. （教材P26練習(xí)T2變式）如圖，在平而直角坐標(biāo)系

11、中，A（4, 4）, B（L 0）, C（0, 1）,則B, C兩點(diǎn)間的距離Q兩點(diǎn)間的距離是A，B兩點(diǎn)間的距離是§8. （2019.大慶）如圖，一艘船由A港沿北偏東60。方向航行10如?至B港，然后再沿北偏西30。方向航行10如? 至C港（1）求A, C兩港之間的距離（結(jié)果保留到0如，參考數(shù)據(jù)：21.414, 31.732）；（2）確定C港在A港的什么方向解：(1)由題意，得ZPBC=30o, ZMAB=60°ZCBQ=60% ZBAN=30°.AZABQ=30°. ZABC= ZABQ+ ZCBQ=90o.TAB=BC=10, 在 ABC 中，AC=A

12、B2+BC2=10214.1. 答：A, C兩港之間的距離約為14.1 km(2)由(1)知，AABC為等腰直角三角形， ZBAC=45°.ZCAM=60°-45°= 15°.C港在A港北偏東15。的方向上02 中檔題9. 如圖為某樓梯，測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米，高3米，計(jì)劃在樓梯表而鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少為（D）A. 4米B. 8米C. 9米D. 7米10. （2019-南京）無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示將一根長(zhǎng)為20紉?的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯 子外而的部分至少有宴九11. 【方程思想】如圖是一副秋千架，左圖是從正面看，當(dāng)秋千繩子自然下垂時(shí)，踏

13、板離地而0.5加（踏板厚度忽 略不計(jì)），右圖是從側(cè)面看，當(dāng)秋千踏板蕩起至點(diǎn)B位置時(shí)，點(diǎn)B離地而垂直髙度BC為1加，離秋千支柱AD的水 平距離BE為1.5加（不考慮支柱的直徑）求秋千支柱AD的髙.解：設(shè) AD=xm,則由題意可得 AB=(X-0.5)m, AE=(X-I)加. 在 RfZkABE 中，AE2+BE2=AB2,即(X-1尸+15?=(X0.5)2.解得x=3.答：秋千支柱AD的高為3”12. 超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹(shù)林路段，嘗試用自己所學(xué) 的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路1的距離為IOOm的P處.這時(shí).一輛轎車(chē)由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)

14、從A 處行駛到B處所用的時(shí)間為3 s,并測(cè)得ZAPO=60。，ZBPo=45。,試判斷此車(chē)是否超過(guò)了 80kmh的限制速度？解：/£ RtAPO 中，ZAPo=60。，則Z¾O=30o AP=20P=200m,AO=yAP2-OP2=yj2002-IOO2= I003(m).在 RtBOP 中，ZBPO=45。,則 Bo=OP=IOO mAB=AO 一 Bo=(IoOA- IOo)m.從 A 到 B 小車(chē)行駛的速度為(1003-100)÷324.4(ms)=87.84 kml>80 knh. 此車(chē)超過(guò)80 km/h的限制速度.()3 綜合題13. 【分類(lèi)討論

15、思想】如圖，在RtZVlBC中，ZC=90o, AB=5 cm. AC=3cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1 cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s(1) 求BC邊的長(zhǎng)：(2) 當(dāng)ZMBP為直角三角形時(shí)，求f的值.解：(1)在 RtZXABC 中，由勾股左理，得 BC2=AB2-AC2=52-32= 16. BC=4 cm.(2)由題意，知BP=tcn.當(dāng)ZAPB為直角時(shí)，如圖1,點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4 cm,圖I圖2當(dāng) ZBAP 為直角時(shí)，如圖 2, BP=t cm. CP=(L4)cm, AC =3 cm. 在 RtZXACP 中，P2=AC2÷CP2=32+(-4)2

16、.在 RtZXBAP 中，AB2+AP2=BP29即 52+32+(-4)2=解得/=才.當(dāng)A.ABP為直角三角形時(shí)，f=4或孚第3課時(shí)利用勾股定理作圖Ol 基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1在數(shù)軸上衷示無(wú)理數(shù)1. (教材P27練習(xí)門(mén)變式)(2019.河南期末)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是0,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1, BC丄AB, 垂足為B,且BC=2,以點(diǎn)A為圓心，Ae長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D,則點(diǎn)D表示的數(shù)為(D)A. 2.2B. 2C. 3D. 52. 在數(shù)軸上作出表示T5的點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)解：略知識(shí)點(diǎn)23.如圖,.2網(wǎng)格中的無(wú)理數(shù)在平而直角坐標(biāo)系中,B.3已知點(diǎn)A(2, 1),點(diǎn)B(3, 1),則線

17、段AB的長(zhǎng)度為(C)34.如圖,ABC的頂點(diǎn)A, B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD丄AC于點(diǎn)D,則CD的長(zhǎng)為(A)5.利用如圖4X4的方格,解：如圖所示.知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形中的勾股定理6. 將一副三角尺按如圖所示疊放在一起，若AB = 12 cm,則AF=62ch.7. (2019-天水)如圖，等邊AOAB的邊長(zhǎng)為Q,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(B)A. (1, 1)B. (1, 3)C. (3> 1)D. (3. 3)8. (教材P27練習(xí)T2變式)如圖，在厶ABC中，AB=AC= 3 cm. BC=IoCm,求等腰三角形的底邊上的髙與 而積.解：過(guò)點(diǎn)A作AD丄BC于點(diǎn)DVAB=AC=1

18、3 cm,：.BD=CD=BC=× W=5(cn). AD=yjAB2-BD2=yJ32-52= 12(cm),即等腰三角形底邊上的高為12 cm.： S4Bc=5BCAD=殲 X 10× 12=60(Cm')02 中檔題9. (2019-駐馬店汝南縣期末)如圖，在EZXABC中，ZACB=90%以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓弧交邊 AB于點(diǎn)D若 AC=3, BC=4,則BD的長(zhǎng)是(A)A. 2B. 3C. 4D 510如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1, ABC的周長(zhǎng)為(B)A. 16B. 12+42C. 7+72D 5+ll211. (教材P27練習(xí)門(mén)變式)如圖，數(shù)軸

19、上點(diǎn)A所表示的頭數(shù)是J二1. -20 I d 212. 點(diǎn)A, B, C在格點(diǎn)圖中的位置如圖所示，格點(diǎn)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則點(diǎn)C到線段AB所在直線的距離 為 5.13. 如圖，AABC和ADCE都是邊長(zhǎng)為4的等還蘭滿舷二貳B, C, E在同一條直線上，連接BD,求BD的 長(zhǎng).解:VABC和厶DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形, CB=CD.ZCDE=ZDCE=60°. ZBDC= ZDBC=IZDCE=30°. ZBDE=90°.在 RtBDE 中，DE=4, BE=8,：.BD=BEI-DEI=卞242=4l14. 如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)

20、小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)(1) 在圖1中，以格點(diǎn)為端點(diǎn)，畫(huà)線段MN=T3;(2) 在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)正方形ABCD,使它的面積為10.解：(1)如圖.如圖.03 綜合題15.仔細(xì)觀察圖形,OAi=(1)2÷1=2>OAg=(5 F+1=3,OA孑=(5)2+l=4,謝I2 遲232 頁(yè) - - 人 12 3 VSSS請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律:(2) 推算出OAHJ的長(zhǎng)：(3) 求岀 Sf+S+S?Sfo的值.解：(1 )OAfi=(n-1)2+1 =IK Sn=(為正整數(shù)).(2)OAo=(9)2+l = 10, * OA10=710.（3）S + S

21、? + S汁 +So=（護(hù) + 皆 P +（亨P + + （字 F + C）24÷M÷1÷l+2+3 + +9+10=41 + 102XlO55 T小專(zhuān)題（二）利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題教材P39復(fù)習(xí)題TJ2的變式與應(yīng)用【例】 如圖，有一個(gè)圓柱.它的髙等于12 CnK底而半徑等于3 cm,在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃 到上底而上與點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？ （取3）【思路點(diǎn)撥】 要求螞蟻爬行的置短路程，需將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形（即立體圖形的平面展開(kāi)圖），把圓柱 沿著過(guò)A點(diǎn)的直線AA剪開(kāi)，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短所以螞蟻應(yīng)沿著平面展開(kāi)圖

22、中線段AB這條路線走.解：如圖，由題意可得：AAr=I2, B=*X2tX3=9在RtA4fB中，根據(jù)勾股世理，得 AB2 = A ½2 + A zB2 = 122 ÷ 92=225. *AB= 15.需要爬行的最短路程是15cm.幾何體中最短路徑基本模型如下:圖例基本 將立體圖形展開(kāi)成平面圖形一利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最短路線一 思路構(gòu)造直角三角形一利用勾股定理求解.變式訓(xùn)練2.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,3 dm, 3 dm.點(diǎn)A和點(diǎn)B是這個(gè)臺(tái)階上兩解:（I）T長(zhǎng)方體的高為5cm底而長(zhǎng)為4 A2C2 =42÷l2=(on) A1C2 =D+ () 2=屈伽).(

23、2)如圖 1 所示，AiC 1 =52÷52=52(cz). 如圖 2 所示，A2C1 = 92+l2=82(c,n). 如圖 3 所示，A2C1 =62+42=2T3(cw). V52<2T3<82, 一只螞蟻從點(diǎn)A2爬到Cl,爬行的最短路程是55cm.I?I21. （201&禹州期中）如圖，圓柱形玻璃杯髙為14“?，底而周長(zhǎng)為32 m 在杯內(nèi)壁離杯底5紉?的點(diǎn)B處有一 滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3紐?與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短 距離為0（協(xié)（杯壁厚度不計(jì)）個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻,想到B點(diǎn)處去吃可口的食物,則螞蟻沿

24、著臺(tái)階而爬行到點(diǎn)B的最短路程是如血A3如圖，長(zhǎng)方體的髙為5 cm.底而長(zhǎng)為4 Cn寬為1 cn點(diǎn)Al到點(diǎn)C2之間的距離是多少？（2）若一只螞蟻從點(diǎn)A?爬到C1,則爬行的最短路程是多少？小專(zhuān)題（三）方程思想在勾股定理中的應(yīng)用教材P39復(fù)習(xí)題TlO的解法剖析及變式應(yīng)用【教材母題】一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處.折斷處離地而的髙度是多少？（這是 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的一個(gè)問(wèn)題其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）解：設(shè)AB=X尺，根據(jù)題意，得ZBAC=90°, AB+BC=10 尺，C=(10-)尺. ACI+AB1=BC1. 32÷x2=(10-)2,

25、 解得X=4茁.答：折斷處離地面4霜尺.在一個(gè)直角三角形中，若已知兩邊長(zhǎng)，可克接運(yùn)用勾股定理求第三邊長(zhǎng)，若已知一邊長(zhǎng)，且知另兩邊具有一定 的數(shù)量關(guān)系，可利用方程思想，設(shè)出一邊長(zhǎng)，利用數(shù)疑關(guān)系表示另一邊長(zhǎng)，借助勾股定理這一等量關(guān)系列出方程解針對(duì)訓(xùn)練決問(wèn)題，更殳兩電的數(shù)量關(guān)系主要有兩種呈現(xiàn)形式:一是直角三角形中有特殊角，二是出現(xiàn)圖形的折疊類(lèi)型1利用直角三角形中的特殊角揭示兩邊的數(shù)呈關(guān)系1. 求下列直角三角形中未知的邊長(zhǎng)解：如圖1,設(shè)AC=X,圖2 AB =2x. AB2=AC2+BC2, (2x)2=x2+32. x=3 或一 5(負(fù)值舍去)AC=3> AB = 23如圖 2,設(shè) AC=x,

26、 V ZACB=90% ZA=450,BC=AC=x. V AB2=AC2+BC2>x2÷x2=(32)2.x=3 或一3(負(fù)值舍去) AC=BC = 3.類(lèi)型2利用圖形的折疊找兩邊的數(shù)量關(guān)系2. 如圖，在 RaABC 中，AB=6, BC=4, ZB=90%將AABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN,則線段BN的長(zhǎng)為(C)廠ID. 53. 如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折 痕為 AE,且 EF= 3,則 AB=6.4.如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為8.寬AB為4,則折痕EF的長(zhǎng)度為2

27、逅類(lèi)型3利用勾股定理和方程思想求點(diǎn)的坐標(biāo)5. 如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，A(L 3),試在X軸上找一點(diǎn)P,使AOAP為等腰三角形，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).解：過(guò)點(diǎn)A作AB丄X軸，垂足為B.VA(1, 3), 0B = l, AB = 3.OA=l2+32=価當(dāng)AO=AP時(shí)，以A為圓心，Ao長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與X軸交于點(diǎn)0與點(diǎn)P,VAB丄X 軸，ABPi = BO=I,即 P(2 0)：當(dāng)0A=OP時(shí)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與X軸交于點(diǎn)P?, P3，VOA=T, /.P2(ib, 0), p3(-T, 0)：當(dāng)PA=PO時(shí)，作OA的垂直平分線交X軸于點(diǎn)匕設(shè) 0P4 = X,則 BP4=X-U AP4=O

28、P4=X.在 ABP4 中，API=AB2+BP僉x2=32+(-l)2.解得 x=5即 P5, 0).綜上所述，使AOAP 為等腰三角形的點(diǎn) P 有：P(2, 0), P2(T, 0), P3(-l, 0), P4(5, 0).17.2勾股定理的逆定理Ol 基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1互逆命題1. 下列各命題的逆命題不成立的是(C)A. 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)B. 若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)也相等C對(duì)頂角相等D. 如果a2=b2,那么a=b2. (2019.安徽)命題“如果a+b=O,那么a, b互為相反數(shù)”的逆命題為如果a, b互為相反數(shù)，那么a+b=O.逆 命題是貞命題(填“真命題”或“假命題

29、”)知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的逆定理3. (2019.鄭州期末)下而四組數(shù)，其中是勾股數(shù)組的是(A)A. 3, 4, 5B. 03, 0.4, 0.5C 32, 42, 52D 6, 7, 84. (2019.洛陽(yáng)洛龍區(qū)期中)由線段a, b, C組成的三角形不是直角三角形的是(D)A. a2b2=c253B. a=j, b=l, C=TC. a=2, b=3> c=ylD ZA ： ZB ： ZC=3 ：4 ： 55. (2019益陽(yáng))已知M, N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM = MN=2, NB=L以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。?再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C,連接AC, BG則

30、厶ABC-定是(B)A.銳角三角形B.直角三角形C. 鈍角三角形D.等腰三角形6. 將勾股數(shù)3, 4, 5擴(kuò)大2倍,3倍，4倍,，可以得到勾股數(shù)6, 8, 10： 9, 12, 15； 12, 16, 20：則我們把3, 4, 5這樣的勾股數(shù)稱(chēng)為基本勾股數(shù)，請(qǐng)你寫(xiě)岀兩組不同于以上所給出的基本勾股數(shù)：答案不唯一，如: 5, 12, 13： 7, 24, 257. 已知：在AABC中，ZA, ZB, ZC的對(duì)邊分別是a, b, c,三邊分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是不是 直角三角形，并指出哪一個(gè)角是直角.(1) a=3 b=22t c=5:(2) a=5, b=7, c=9；(3) a=5, b=

31、2>6t c=l. 解：(1)是，ZB是直角(2) 不是.(3) 是，ZA是直角.8. 如圖是一個(gè)零件的示意圖，測(cè)fiAB =4 cm, BC=3 cm9 CD=I2 cm AD= 13 g ZABC=90%根據(jù)這些條件，你能求出ZACD的度數(shù)嗎？試說(shuō)明理由.解:在ZiABC中,根拯勾股左理，得 AC2=AB2+BC2=42+32=52.AC=5.VAC2+CD2=52÷ 122=25+144=169,AD?= 132= 169,AC2+CD2=AD2.ACD是直角三角形，且AD為斜邊, 即 ZACD=90°.02 中檔題9. 如圖，AD 為AABC 的中線，且 AB

32、 = 13, BC=10, AD=12,則 AC 等于(D)A. 10B. 11C. 12D 1310. 下列泄理中，沒(méi)有逆左理的是(B)A. 等腰三角形的兩個(gè)底角相等B. 對(duì)頂角相等C. 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D. 直角三角形兩個(gè)銳角的和等于90°11. 【關(guān)注數(shù)學(xué)文化】(201&長(zhǎng)沙)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作數(shù)書(shū)九章里記載有這樣一道題目：“問(wèn) 有沙出一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？ ”這道題講的是：有一塊三角形 沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問(wèn)這塊沙田而積有多大？題中的“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500 米，則

33、該沙田的而積為(A)A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米12. 如圖，方格中的點(diǎn)A, B稱(chēng)為格點(diǎn)(橫線的交點(diǎn))，以AB為一邊畫(huà)厶ABG其中是直角三角形的格點(diǎn)C的 個(gè)數(shù)為(B)B. 413.把一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段,比較長(zhǎng)邊短1米,則這個(gè)三角形是直角三角形214. (教材P34習(xí)題丁6變式)如圖，在正方形ABCD中，E, F分別BC, CD邊上的一點(diǎn)，且BE=2EC, FC=SDC,連接AE, AF, EF,求證：AEF是直角三角形 證明：設(shè) FC=2a,則 DC=9a> DF=7a.AB=BC=AD=CD=9a TBE=2CE,'BE=

34、6a, EC=3a在 心ZkECF 中，EF2=EC2÷FC2=(3a)2+(2a)2 = 13a2.在 RfAADF 中，AF2=AD2+DF2=(9a)2+(7a)2 = 130a2. 在 RtAABE 中，AE2=AB2+BE2=(9a)2+(6a)2 = 117a2. V13a2+117a2=130a2,EF2 + AE2=AF2 AEF是以ZAEF為直角的直角三角形.15. (教材P34習(xí)題75變式)如圖，在四邊形ABCD中，AB = BC=I, CD=好 DA=L且ZB = 90o.求:(1) ZBAD的度數(shù)：(2) 四邊形ABCD的而積(結(jié)果保留根號(hào))；將AABC沿AC

35、翻折至AABG 如圖所示，連接BD,求四邊形ACBD的而積.解：(I)VAB = BC=L ZB=90o,ZBAC= ZACB =45% AC=AB2÷BC2=2. 又VCD=3, DA=I,AC2+DA2=CD2.ADC為直角三角形，ZDAC = 90°. ZBAD= ZBAC+ ZDAC=I35° VSabc=ABBC=SZXADC=*AD AC' S N 邊形 ABCD=S.2 ABc+Sadc=-(3)過(guò)點(diǎn)D作DE丄AB身垂足為E,由(1)知 ZDAC=90°.根據(jù)折疊可知ZB'AC=ZBAC=45S AB=ABr=I, Sabc

36、=Sabc=|. ZDAE= ZDAC-ZBXAC=45°. AE=DE.設(shè) DE=AE=X,在 MADE 中，AE2+DE2=AD2.x2+x2=l.03 綜合題16. (2019呼和浩待改編)如圖，在AABC中，內(nèi)角ZA, ZB, ZC所對(duì)應(yīng)的邊分別為a, b, c.Z (a+b÷c)(1)若a, b, C滿足a=3求證：ABC是直角三角形：若a=m-n, b=2ymn. c=m+m (其中m, n都是正整數(shù)，且m>n),求證：ABC是直角三角形.證明：(1)原式可變形為匸缶=Z二二(a+c)2b2=2ac,即 a2÷2ac+c2-b2=2ac.e. a

37、2÷c2=b2 ABC是以ZB為直角的直角三角形(2)Va2=(n-n)2t b2=(2mn)2=4mn. c2=(m÷n)2, (mn)2÷4mn=(m÷n)2, 即 a2÷b2=c2.ABC是以ZC為直角的直角三角形.章末復(fù)習(xí)（二）勾股定理Ol 分點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)1勾股定理(河南中招2019T9選，2018T9選.2017T18(2)解，2016T6選，2015T7選，2014T7選)1.如圖，在ZABC 中，ZC=90% ZA = 30。，AB=I2,則 AC=(C)A 6B. 6563D. 12C.2.B 如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，則此正

38、方形的而積為64c,n2.15 cm3.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90o,證明：連接AC.在厶ABC 中，ZB=9O%：.AB2BC2=AC2 AB=BC.TCD 丄 AD.：.ZADC=90°.在 AACD 中，AD2+CD2 =AC2.9AD2+CD 2=2AB2,：.AB2+BC1=IAB1 ：.BCI=ABI TAB>O, C>O.:AB=BC 知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用4.如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地而然后將繩子末端拉到距離旗桿8J處, 發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地而2皿則旗桿的髙度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（D）B. 13?C. 16

39、 mD. 17 加5. 你聽(tīng)說(shuō)過(guò)亡羊補(bǔ)牢的故事吧為了防止羊的再次丟失，牧羊人要在寬09加，長(zhǎng)1.2加的長(zhǎng)方形柵欄門(mén)的相 對(duì)角頂點(diǎn)間加固一條木板，則這條木板至少需丄二JL長(zhǎng).6. 如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A, B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)一3, 3,作腰長(zhǎng)為4的等腰AABG連接OC,以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)M知識(shí)點(diǎn)3逆命題及逆定理在AABC中，AB=6, AC = 8, BC = IO,則該三角形為(B) 銳角三角形 鈍角三角形在AABC 中，ZA,ZC是直角ZA是直角易錯(cuò)題集訓(xùn)7. “同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是互補(bǔ)的兩個(gè)角是同旁內(nèi)角,它是遐命題. 知識(shí)點(diǎn)4勾股定理的逆定理及其應(yīng)用&B.直角三

40、角形D.等腰直角三角形ZB, ZC的對(duì)邊分別為a, b, C且a2-b2=c2,則下列說(shuō)法正確的是(C)B. ZB是直角DZA是銳角A.C9.A.C0210已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8,則第三邊長(zhǎng)的平方是100或28.11. (2018襄陽(yáng))已知CD是ZABC的邊AB上的高，若CD=3, AD=U AB=2AC,則BC的長(zhǎng)為2或27.()3河南?？碱}型演練,AD=5則BC的長(zhǎng)為(D)12. 如圖，在ZkABC 中，ZC=90%A. t3 1B. 3+lC. 5-lD. 5÷l13. 如果將長(zhǎng)為6紉“寬為5 c”的長(zhǎng)方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長(zhǎng)不可能是(A)A. 8 C

41、mB 6 CmC. 5.5 CmD. 1 CmC. 10D45若 AB = AC=10, BC=12,則B. AB, EF, GH D. GH, AB, CD14. 如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB, CD EF, GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊 的線段是(B)A CD, EF, GHC. AB, CD, EF15.BM的最小值為(B)A. 8B. 9616. 若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為123 cm, 一邊長(zhǎng)為3適，英他兩邊之差為5 Cm則這個(gè)三角形是直角三角 世.17. (2019-棗莊)把兩個(gè)同樣大小的含45。角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另 一個(gè)

42、的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B, C, D在同一直線上.若AB=2,則CD=6l2.18. (2019.河北)勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平而直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了 A, B, C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖(單位: Rm)筆直鐵路經(jīng)過(guò)A, B兩地.X(12J)(-8J)C(O.-I7)(1) A, B間的距離為22«加；(2) 計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路1,并在1上建一個(gè)維修站D,使D到A, C的距離相等，則C, D 間的距離為3km.19. 如圖，有一塊空白地，ZADC=90o, CD=6n AD=Sm9 AB=26m, BC=24 m.試求這塊空白地的而 積解：連接AC.V

43、ZADC=90%ADC是直角三角形.AD2+CD-AC2,即 82+62=AC2 解得AC=IO.又 VC2+CB 匚 10?+2平=26AB2. ：.ACB是直角三角形，ZACB=90Q.： S 曲邊形ABCD=SRtAAeg Sri. ace= ×10×24-y×6×8=96(m2).故這塊空白地的面積為96 m=04 核心素養(yǎng)專(zhuān)練20. (2019.邵陽(yáng))公元3世紀(jì)初，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽注周髀算經(jīng)時(shí)，創(chuàng)造了 “趙爽弦圖”如圖，設(shè)勾a =6,弦c=10,則小正方形ABCD的面積是空.周測(cè)(第十七章)(時(shí)間：40分鐘滿分：100分)一、選擇題(每小題3

44、分，共30分)1. 下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是(C)A. 8, 15, 17B.2, 5, 5C.3, 2, 5D h 2, 2. 已知命題：等邊三角形是等腰三角形，則下列說(shuō)法正確的是(B)A該命題為假命題B. 該命題為真命題C 該命題的逆命題為真命題D該命題沒(méi)有逆命題3點(diǎn)A(-3, 一4)到原點(diǎn)的距離為(C)A3B. 4C5D74. 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是0,點(diǎn)B表示的數(shù)是1, BC丄AB,垂足為B,且BC=I,以A為圓心，AC 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D表示的數(shù)為(B)A. 1.4B. 2C. 3D25. 將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同

45、時(shí)擴(kuò)大一倍，得到的三角形是(C).鈍角三角形B.銳角三角形C. 直角三角形D等腰三角形則AB的長(zhǎng)為(D)6. 在ZABC 中，ZA ： ZB ： ZC=I : 2 : 3若 AC=4,A. 8B. 6D.D7. 下而各三角形中，而積為無(wú)理數(shù)的是(C)C8如圖，將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)E處，折痕J MN.若CE的長(zhǎng)為7, 則MN的長(zhǎng)為(B)A.B.C.D.9.A.C.IO1315無(wú)法求出已知直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)之和為斜邊長(zhǎng)為2,則這個(gè)三角形的而積是(B)0.25B. 0.51D. 2310. 已知一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為3,若以三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，則所作的三個(gè)等腰直角 三角形的而積和為(A)4 9門(mén)9C3D9二、填空題(每小題4分，共20分)11. 直角三角形斜邊長(zhǎng)是6, 直角邊的長(zhǎng)是5,則此直角三角形的另一直角邊長(zhǎng)為匹12. 如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，