二次根式的基本定義

1、【知識要點】二次根式的定義：形如V -，：-：的式子叫二次根式，其中.< 叫被開方數(shù)，只有當工是一個非負數(shù)時，才有意義. 注意理解：1、定義是從結(jié)構(gòu)形式上定義的，必須含有二次根號。根指數(shù)省略不寫。不能從化簡結(jié)果上判斷， 如L"，L廠都是二次根式。2、 被開方數(shù)是一個數(shù)，也可以是含有字母的式子。但前提條件是必須是大于或等于0.3、如果是給定的式子，就是有意義的。、4、 形如b '（a 1的式子也是二次根式，b與，是相乘關(guān)系，當b是分數(shù)時，寫成假分數(shù)。5、式子'（a 1表示的是非負數(shù)。& L、+b（a三，:和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根

2、式定義：【例1】下列各式丁25,3).X2 2,4).4,5).'( ；)2,6) .口,7) a2 2a 1，其中是二次根式的是（填序號）.變式練習：1、A、F列各式中，一定是二次根式的是（）a B、10 C a 1 D、.j a2、3、在.a、： a2b、.x 1 ,1 x2、.3中是二次根式的個數(shù)有下列的式子一定是二次根式的是（）C.式子：戶；勺1;jF；腫+ 2 式的代號為（）A.4、B.C中是二次根D.【例2】若'是正整數(shù)，最小的整數(shù) 門是（B. 3A. 6變式練習：'是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)C.48D. 21、已知:n的值是（A. 0B. 1C.D.

3、52、二次根式. 是一個整數(shù)，那么正整數(shù)a最小值是.1、二次根式具有雙重非負性。店02、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意義的條件是：二次根式中的被開方數(shù)是非 負數(shù)，分式中的分母不為0.3、 如果式子中含有零指數(shù)幕或負整數(shù)指數(shù)幕，有意義的條件是，度數(shù)不為0.【例3】式子 :有意義的x的取值范圍是 變式練習：1、 使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是()x 4A、x>3B、x>3 C、x>4D、x> 3 且 xm42、 使代數(shù)式，'x2 2x 1有意義的x的取值范圍是. 13、如果代數(shù)式m =有意義，那么，直角坐標系中點 P (m, n)的位置在()JmnA

4、、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例 4】若 y=、x 5 +、5 x +2009,則 x+y=變式練習：1、 若X1 .廠X (x y)2，則x-y的值為()A. 1B. 1C. 2D. 32、若x、y都是實數(shù)，且y= 2x 33 2x 4，求xy的值3、當a取什么值時，代數(shù)式 2a 1 1取值最小，并求出這個最小值。4、 若實數(shù) a、b、c 滿足_ H+|a+b|=+，則 2a-3b+6 的值為.J, - 9 + J - / + 95、 已知y=，求2x+y的算術(shù)平方根. 二次根式整數(shù)部分小數(shù)部分：已知a是、5整數(shù)部分，b是5的小數(shù)部分，求a 的值。b 21、若-3的整數(shù)部分

5、是a，小數(shù)部分是b，則.3a b 。2 12、若.17的整數(shù)部分為X，小數(shù)部分為y，求X y的值二次根式性質(zhì)：1非負性：a(a 0)是一個非負數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運算中經(jīng)常用到.2.( .a)2 aa 0).注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負數(shù)或非負代數(shù)式寫成完全平方的形式：a （ a）2（a 0）3. 涇 |a| 旳 0)0) a(a 0)注意：（1）字母不一定是正數(shù).（2）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術(shù)平方根代替.（3）可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負因式，如果因式的值是負的，應把負號留在根號外.4. 公式存1創(chuàng)爲：）與（佝2a

6、a 0）的區(qū)別與聯(lián)系(1)(2)（.a）2表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方,a的范圍是非負數(shù).(3).a2和（，a）2的運算結(jié)果都是非負的.a2表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實數(shù).例 5】若 a 2 b 3 c 4變式練習：1、若3 (n 1)20，貝U mn的值為2、已知x,y為實數(shù)，且.x 13則x y的值為（）A. 3B.- 3 C. 13、已知直角三角形兩邊X、D.y的長滿足| x2 4 | + . y25y 6 = 0，則第三邊長為.4、若2005與a 2b 4互為相反數(shù)，則a b【例6】如果(x-2)=2?x，那么x取值范圍是（A. x<2B. xv 2C. x>

7、;2D. x>2【例7】化簡二次根式aa 22的結(jié)果是a(A). a 2(B)、a 2(C)、a 2(D). a 2變式練習：1、把二次根式a *化簡，正確的結(jié)果是（）A. aB. aD. a2、已知Ovav 1,化簡斗3、若化簡11 - xl - J? - 8x + 16的結(jié)果為2x-5,則x的取值范圍是（）a + 匚）？|b?c|=.A、任意實數(shù) B、1- C> xD、x 4、若實數(shù)a、b、c在數(shù)軸的位置，如圖所示，貝U化簡5、已知：實數(shù)a, b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：J(日+ l)'+2j3-l)|a-b| .6已知，I尤-H = 2,求勺/-必十16點斗/ -

8、 4工+ 1的值。最簡二次根式：(1) 最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù) 或因式，(被開方數(shù)中每個因數(shù)(式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2,都是1); 分母中不含根號. 化最簡根式時注意：(1) 被開方數(shù)是帶分數(shù)的要化成假分數(shù)。(2) 被開方數(shù)學是小數(shù)的要化成分數(shù)。(3) 被開方數(shù)中含有能開方的多項式時，要先因式分解再開方。同類二次根式(可合并根式)：幾個二次根式化成最簡二次根式后， 如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式， 即 可以合并的兩個根式。【例7】在根式1）、a2 b2;2）xy;4) , 27abc，最簡二次根式是()A. 1)2)B.

9、 3)4)C. 1)3)D. 1)4)2、下列根式中，不是.最簡二次根式的是()A.7 B.3C.13、下列根式不是最簡二次根式的是()A. . a21B. . 2x 1D.2. 2bC.4【例8】下列根式中能與 3是合并的是()A. . 8 B. 27 C.2 5D.例 9】將a根號外的因式移入根號內(nèi)的結(jié)果是練習：化簡：Q15，%O72，J32,y'(y < 0)?，、25<? + 血九分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因 式。有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用,a .a a來確定，如：a與a， . a b與a b，: a b與. a b等分別互為有理化因式。兩項二次