現(xiàn)代光學(xué)第1章現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)ppt課件

1、第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1 1第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1.1光波場(chǎng)的復(fù)振幅描述1.2二維傅里葉變換與頻譜函數(shù)的概念1.3卷積與相關(guān)1.4現(xiàn)代光學(xué)中常用的函數(shù)1.5連續(xù)函數(shù)信號(hào)的離散與抽樣定理1.6光波場(chǎng)的部分相干理論簡(jiǎn)介第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2 21.1光波場(chǎng)的復(fù)振幅描述1.1.1從幾何光學(xué)到波動(dòng)光學(xué)幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在波長(zhǎng)趨于零的極限情況下的近似。幾何光學(xué)以費(fèi)馬原理(可導(dǎo)出光的直線傳播規(guī)律、反射和折射定律)為基礎(chǔ)，采用數(shù)學(xué)中的幾何方法，研究成像光學(xué)儀器的設(shè)計(jì)、像差計(jì)算與消除和成像質(zhì)量改善的問題。幾何光學(xué)在處理成像問題上比較簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確, 是設(shè)計(jì)各種光學(xué)儀器的基礎(chǔ)，因而得到廣

2、泛應(yīng)用。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3 3現(xiàn)在我們從幾何光學(xué)過渡到波動(dòng)光學(xué)。首先由費(fèi)馬原理知道，光從給定點(diǎn)P到Q將沿著兩點(diǎn)之間的光程為極值的路線傳播，即 (1.1-1)式中： n(x,y,z)為折射率。費(fèi)馬原理與經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓變分原理相似。按照經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓原理，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t1和t2之間的軌跡滿足： (1.1-2)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)4 4式中: L為拉格朗日函數(shù)，它是廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù)，而積分是在時(shí)間上進(jìn)行的。與之相比，費(fèi)馬原理是在空間變量上進(jìn)行積分的。注意到無限小弧長(zhǎng)ds可寫為 (1.1-3)式中: “”表示對(duì)z的微商。將s換成z，式(1.1-1)可改寫為 (1.

3、1-4)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)5 5由式(1.1-4)與式(1.1-2)，可以給出相應(yīng)的光學(xué)拉格朗日函數(shù)定義： (1.1-5)此處，z可假定起著與拉格朗日力學(xué)中的時(shí)間相同的作用。與經(jīng)典力學(xué)中的情況類似，我們同樣能夠引入哈密頓量。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)中廣義動(dòng)量p和q的定義: (1.1-6)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)6 6將式(1.1-5)中的L值代入得 (1.1-7)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)7 7這里,p和q稱為光線的方向余弦。應(yīng)用光學(xué)拉格朗日函數(shù)L和光線的方向余弦p、q，可以定義光學(xué)哈密頓函數(shù)H: (1.1-8)進(jìn)一步可以將光學(xué)哈密頓函數(shù)寫為 (1.1-9)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理

4、基礎(chǔ)8 8例如，經(jīng)典動(dòng)量在量子力學(xué)中用相應(yīng)的動(dòng)量算符代替，對(duì)于x分量，動(dòng)量算符為 (1.1-10)式中: h是普朗克常數(shù)。類似地，在從幾何光學(xué)過渡到波動(dòng)光學(xué)中，利用式(1.1-7)同樣可寫出相應(yīng)的動(dòng)量算符為 (1.1-11)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)9 9此外，在量子力學(xué)中，能量相當(dāng)于算符 而在波動(dòng)光學(xué)中，它對(duì)應(yīng)為 應(yīng)用光學(xué)哈密頓量，可以寫出相應(yīng)的薛定諤方程:即 (1.1-12)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)10 10應(yīng)用式(1.1-11)， 式(1.1-12)變?yōu)?(1.1-13)式中:為波函數(shù)。式(1.1-13)與標(biāo)量波動(dòng)方程式比較，能夠看出 其中0是真空中的波長(zhǎng)。這樣我們就由幾何光學(xué)

5、過渡到波動(dòng)光學(xué)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)11 11定態(tài)光波場(chǎng)可用實(shí)值標(biāo)量函數(shù)表示為 (1.1-14)式中： (x,y,z)為空間一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)；為光波的時(shí)間頻率;u(x,y,z)為光波的振幅;j(x,y,z)為光波在P點(diǎn)的初相。為常量的光波稱為單色光波。雖然理想的單色光波并不存在，但是研究單色光具有實(shí)際意義，它是研究準(zhǔn)單色光和復(fù)色光波的基礎(chǔ)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)12 121.1.2光波場(chǎng)的復(fù)振幅描述為了數(shù)學(xué)運(yùn)算方便，通常把光波場(chǎng)用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示為 (1.1-15)為簡(jiǎn)單起見，通常又把取其實(shí)部的符號(hào)Re略去，簡(jiǎn)寫為 (1.1-16)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)13 13對(duì)于單

6、色光波，式(1.1-16)中的時(shí)間因子不隨空間位置變化，在研究光振動(dòng)的空間分布時(shí)，可將其略去。由此可引入光波復(fù)振幅的概念，定義光波的復(fù)振幅為 (1.1-17)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)14 14顯然，復(fù)振幅是以振幅為模，初相為輻角的復(fù)指數(shù)函數(shù)，用來描述光波的振幅和相位隨空間位置坐標(biāo)的變化關(guān)系。光強(qiáng)隨空間位置坐標(biāo)的變化關(guān)系可用復(fù)振幅表示為 (1.1-18)式中： U*為U的復(fù)共軛。復(fù)振幅的引入，大大方便了光學(xué)問題的研究。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)15 151. 平面波平面波的特點(diǎn)是： 在各向同性介質(zhì)中，光波場(chǎng)相位間隔為2的等相面是垂直于傳播方向的一組等間距平面，場(chǎng)中各點(diǎn)的振幅為一常量。如

7、圖1.1-1所示，設(shè)平面光波沿z軸方向傳播，觀察點(diǎn)P的矢徑為r，坐標(biāo)為(x,y,z)，光波在坐標(biāo)原點(diǎn)的初相為jO,則P點(diǎn)的初相為 (1.1-19)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)16 16式中： 為光波長(zhǎng)； k為波矢的大小。由于坐標(biāo)原點(diǎn)選擇的任意性，總可使jO=0，因而，沿z軸方向傳播的平面波的復(fù)振幅可表示為 (1.1-20)可見，相位函數(shù)只隨z變化，與變量x、y無關(guān)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)17 17圖1.1-1沿z軸傳播的平面波第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)18 18當(dāng)平面波的傳播方向不在z軸方向時(shí)，用波矢k表示波的傳播方向，其方向余弦為cos、cos、cos，仍設(shè)觀察點(diǎn)P的矢徑為r，

8、于是平面波的復(fù)振幅一般可表示為 (1.1-21)P點(diǎn)的相位函數(shù)j(x,y,z)=k(x cosa+y cosb+z cosg)為坐標(biāo)變量的線性函數(shù)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)19 192. 球面波若選擇直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與球面波中心重合，xOz面內(nèi)的波面線如圖1.1-2所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2020圖1.1-2球面波示意圖 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)21 21取jO=0，r=1處的振幅為a0，對(duì)于發(fā)散球面波，k與r同向，kr=kr； 對(duì)于會(huì)聚球面波，k與r反向，kr=kr。所以球面波的復(fù)振幅為 (1.1-22) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)22223. 柱面波均勻無限長(zhǎng)

9、同步輻射的線光源發(fā)出的光波為柱面波。柱面波的特征是： 相位間隔為2的等相面是一組等間距同軸柱面，光波場(chǎng)中各點(diǎn)的振幅與該點(diǎn)到軸線的距離的平方根成反比。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2323圖1.1-3柱面波示意圖第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2424如圖1.1-3所示，取線光源在一直角坐標(biāo)軸上，若r在k方向上的投影的大小為r，則柱面波的復(fù)振幅為 (1.1-23)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)25251.1.3 光波場(chǎng)中任意平面上的復(fù)振幅及其空間頻率的概念 1. 平面光波場(chǎng)中任意平面上的復(fù)振幅設(shè)觀察面為(x,y,z1)平面，由式(1.1-21)得到該平面上的復(fù)振幅為令 (1.1-24)第1章 現(xiàn)代

10、光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2626對(duì)于給定的觀察面，z1為常量，則U0也是與x、y無關(guān)的常量。顯然U0不影響該面上復(fù)振幅的相對(duì)分布。于是該觀察面上的復(fù)振幅可簡(jiǎn)寫為 (1.1-25)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)27272. 球面光波場(chǎng)中任意平面上的復(fù)振幅這里以發(fā)散球面波為例討論。如圖1.1-4所示，點(diǎn)光源Q(x0,y0)在(x0,y0,z0)面內(nèi)，觀察點(diǎn)P(x,y)在(x,y,z1)面內(nèi)，兩平面間距離為d=z1z0。Q到P的矢徑為r，z0到P的矢徑為r0， Q到z1的矢徑為r1，這些矢徑的長(zhǎng)度分別為 (1.1-26)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2828圖 1.1-4離軸發(fā)散球面波分析第1章 現(xiàn)代光學(xué)

11、的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2929根據(jù)式(1.1-22)，點(diǎn)光源Q發(fā)出的球面波在(x,y,z1)面上的復(fù)振幅為 (1.1-27)當(dāng)該光波傳播過程滿足旁軸條件時(shí)，點(diǎn)光源Q到z軸的距離和觀察點(diǎn)P到z軸的距離都遠(yuǎn)小于光波傳播距離d，亦即滿足 (1.1-28) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3030可將r0、r1和r的表達(dá)式作泰勒展開，取旁軸近似為 (1.1-29)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)31 31由于振幅隨r的變化比較緩慢，故振幅因子中的r可作近似： rd，于是得到旁軸近似條件下軸外點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在(x,y,z1)面上的復(fù)振幅分布的表達(dá)式為 (1.1-30)如果點(diǎn)光源在z軸上，則有x0+y0=0，式(

12、1.1-30)簡(jiǎn)化為 (1.1-31)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3232如果點(diǎn)光源Q滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件，即 (1.1-32)則式(1.1-30)中的項(xiàng)可以忽略，得 (1.1-33)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3333如果觀察點(diǎn)P的分布范圍也都滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件，即 (1.1-34)則式(1.1-33)中的k(x2+y2)/(2d)項(xiàng)也可以忽略，于是式(1.1-30)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為 (1.1-35)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)34343. 復(fù)振幅的空間頻率描述1) 平面波復(fù)振幅的空間頻率表示為了定量描述光波復(fù)振幅U(x,y)的空間周期分布，引入了新物理量： 空間頻率f和空間周期，它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)

13、的分量分別為(,) 和(x，y，z)，并把平面波在任一平面的復(fù)振幅分布表示式(1.1-25)改寫為 (1.1-36)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3535與光波復(fù)指數(shù)表示式中隨時(shí)間變化的因子ei2t比較可見，其空間頻率的直角分量分別為 (1.1-37)空間頻率為 (1.1-38)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3636空間頻率常用的單位是線每毫米(l/mm)。相應(yīng)的空間周期分量分別為 (1.1-39)空間周期為 (1.1-40)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3737因而，觀察平面(x,y,z1)上平面波的復(fù)振幅可用空間頻率表示為 (1.1-41)由于cos和cos是波矢量k相對(duì)于x軸和y軸的方向

14、余弦，因此沿波矢量k方向的空間周期最小，且等于?？臻g頻率的示意圖如圖1.1-5所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)3838圖 1.1-5平面波的空間頻率示意圖(a) k為任意方向； (b) 空間頻率分量5。這時(shí)f()h(x)=0，所以g(x)=0。綜合以上過程，用解析法計(jì)算卷積的結(jié)果為第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)95951.3.2相關(guān)的定義、性質(zhì)和計(jì)算1. 定義和性質(zhì)若f(x)和h(x)是兩個(gè)實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，則它們之間的互相關(guān)記作f(x) h(x)或rfh(x)，并定義為 (1.3-2)式中: h*(x)為h(x)的復(fù)共軛函數(shù)。若令x=，則有 (1.3-3)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

15、9696當(dāng)f(x)和h(x)是實(shí)函數(shù)時(shí)，它們的互相關(guān)為 (1.3-4) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)9797若f(x)是實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，則它的自相關(guān)定義為 (1.3-5)當(dāng)f(x)是實(shí)函數(shù)時(shí)，它的自相關(guān)為 (1.3-6) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)9898在實(shí)際應(yīng)用中，通常用rf(0)把自相關(guān)函數(shù)歸一化，記作 (1.3-7)顯然，g(0)=1。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)9999相關(guān)有下述性質(zhì)： 1) 自相關(guān)性質(zhì)(1) 復(fù)函數(shù)f(x)的自相關(guān)函數(shù)rf(x)是厄米函數(shù)，即rf(x)=r*f(x)。由于因此有rf(x)=r*f(x)。當(dāng)f(x)為實(shí)函數(shù)時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)rf(x)也是實(shí)函數(shù)

16、，而且是x的偶函數(shù)，即rf(x)=rf(x)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)100100(2) 當(dāng)x=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)的模達(dá)到最大值，即|rf(x)|rf(0)|。(3) 復(fù)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)rf(x)可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)，但不可能是虛函數(shù)。(4) 當(dāng)|x| 時(shí)，第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1011012) 互相關(guān)性質(zhì)(1) 互相關(guān)不滿足交換律，即rfh(x)rhf(x)。若函數(shù)f(x)、h(x)的相關(guān)次序交換，則有rfh(x)=r*hf(x)。(2) 互相關(guān)函數(shù)滿足不等式(3) 當(dāng)|x| 時(shí)，第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1021023) 相關(guān)定理(維納辛欽定理)(1) 自相關(guān)定理。

17、假設(shè)那么利用卷積定理和傅里葉變換的共軛特性，求|F()|2的傅里葉逆變換，有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)103103(2) 互相關(guān)定理。假設(shè) 那么應(yīng)用互相關(guān)的定義和傅里葉變換的性質(zhì)，有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1041042. 相關(guān)的計(jì)算相關(guān)的計(jì)算方法和卷積的計(jì)算方法一樣，有圖解法和解析法兩種，計(jì)算步驟也大致相同。由自相關(guān)的定義可知，圖解法中位移的函數(shù)不需要折疊，因此只有位移、相乘和積分三個(gè)步驟。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1051051.4現(xiàn)代光學(xué)中常用的函數(shù)1. 函數(shù)1) 函數(shù)的定義及表示方法在20世紀(jì)20年代，狄拉克在研究處理一些包含某種無窮大量時(shí)，為了得到一個(gè)精確的符號(hào)，引入了

18、函數(shù)，并將其定義為第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)106106 (1.4-1)及 (1.4-2)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)107107根據(jù)函數(shù)的定義，可以看出函數(shù)具有下列特征： (1) (x)的定義只是表明，在一個(gè)很小的范圍內(nèi)它的值不為零，而它在這個(gè)范圍內(nèi)的形狀卻沒有規(guī)定。也就是說，允許函數(shù)有各種形狀，甚至可以有輕微振蕩。(2) 根據(jù)積分性質(zhì)，式(1.4-1)和式(1.4-2)中的積分上下限范圍不一定為+， 只要把(x)不為零的那一部分包括在積分區(qū)間即可。(3) (x)是奇異函數(shù)，本身沒有確定值，但它作為被積函數(shù)中的一個(gè)乘積因子，其積分結(jié)果卻有確定值。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)10810

19、8(4) 函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)，它可以看成是函數(shù)序列的極限，常用的函數(shù)序列有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)109109第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)110110在現(xiàn)代光學(xué)中，函數(shù)一般表示成高度為1的箭頭，如圖1.4-1所示。數(shù)值1不是表示 函數(shù)的數(shù)值，而是表示 函數(shù)與整個(gè)x軸圍成的面積。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)111111圖 1.4-1函數(shù)的示意圖第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1121122) 函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的定義和廣義函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，不難證明函數(shù)有如下性質(zhì):(1) 篩選特性。對(duì)任一個(gè)連續(xù)函數(shù)j(x)，有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)113113(2) 尺度變換特性。若a為任意實(shí)數(shù)，那

20、么如果a=1，則上式變?yōu)?x)=(x)，這表明 函數(shù)是偶函數(shù)。同理，若b和x0為任意實(shí)數(shù)，則有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)114114(3) 乘積特性。設(shè)j(x)是在x0點(diǎn)連續(xù)的基本函數(shù)，有當(dāng)x0=0時(shí)，得第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)115115當(dāng)j(x)= x時(shí)，有若x0=0，那么第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)116116(4) 卷積特性。設(shè)j(x)是任一連續(xù)函數(shù)，那么這是因?yàn)榈?章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)117117(5) 積分特性。由函數(shù)的定義可知，(x)在區(qū)間(，+)上的積分為1，即若A是任意實(shí)常數(shù)，那么第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)118118(6) 函數(shù)的傅里葉變換。函數(shù)的傅里

21、葉變換為1，即其逆變換為第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1191193) 二維函數(shù)在直角坐標(biāo)系中，二維函數(shù)定義為即二維函數(shù)可以表示為兩個(gè)一維函數(shù)的乘積。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1201202. 偶脈沖對(duì)與奇脈沖對(duì) 偶脈沖對(duì)與奇脈沖對(duì)分別用符號(hào)dd(x)和d d (x)表示，如圖1.4-2 所示，并定義為 (1.4-3)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)121121圖 1.4-2偶脈沖對(duì)與奇脈沖對(duì)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)122122偶、奇脈沖對(duì)可以沿x軸平移，也可以改變比例，如圖1.4-3所示，這時(shí)它們的表達(dá)式分別為 (1.4-4)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)123123圖 1.4-3偶

22、、奇脈沖對(duì)的位移和比例改變第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)124124偶、奇脈沖對(duì)可以用來表示天空中的雙星，以及兩個(gè)分開一定距離的點(diǎn)光源。偶、奇脈沖對(duì)是由兩個(gè)函數(shù)的和、差構(gòu)成的，由函數(shù)的定義不難得到偶、奇脈沖對(duì)的篩選特性、乘積特性和復(fù)制特性。此外，由圖1.4-2可見，偶脈沖對(duì)是偶函數(shù)，奇脈沖對(duì)是奇函數(shù)，即偶、奇脈沖分別與余弦、正弦函數(shù)構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，即第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1251253. 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)(刀口函數(shù))用step(x)表示，且定義為 (1.4-5)如圖1.4-4所示，在x=0處為不連續(xù)點(diǎn)，其躍度為1，所以稱為單位階躍函數(shù)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)126126圖

23、1.4-4階躍函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)127127階躍函數(shù)可以平移和改變方向，如表示不連續(xù)點(diǎn)移至x0處，而常數(shù)b(=1)的正負(fù)決定階躍函數(shù)的射向，如圖1.4-5所示。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)128128圖1.4-5階躍函數(shù)位移和反轉(zhuǎn)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)129129階躍函數(shù)可以用來表示快門的開啟，在研究直邊衍射和像質(zhì)評(píng)定時(shí)，用來描述衍射屏和成像物體。階躍函數(shù)表示光強(qiáng)時(shí)，很像刀口檢查儀的刀口，所以也稱為刀口函數(shù)。它的作用也像開關(guān)，用來在某點(diǎn)打開另一個(gè)函數(shù)，例如斜坡函數(shù)定義為 (1.4-6)其中,step(x)的作用就是截取第象限內(nèi)過原點(diǎn)的45斜線，如圖1.4-6所示。第1

24、章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)130130圖 1.4-6斜坡函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)131131階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)，即因而，函數(shù)的積分為階躍函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)132132階躍函數(shù)的積分為斜坡函數(shù)階躍函數(shù)與任一函數(shù)f(x)的卷積為或第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)133133由于階躍函數(shù)不滿足狄里赫利充分條件，因此不能直接得到其傅里葉變換式。但階躍函數(shù)可看成是指數(shù)衰減函數(shù)當(dāng) 時(shí)的極限，即而指數(shù)衰減函數(shù)的傅里葉變換為第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)134134所以因此有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1351354. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)用sgn(x)表示，且定義為 (1.4-7)根

25、據(jù)x的正負(fù)，符號(hào)函數(shù)的值分別取+1或1，原點(diǎn)x=0處為不連續(xù)點(diǎn)，其躍度為2，如圖1.4-7所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)136136圖 1.4-7符號(hào)函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)137137符號(hào)函數(shù)也可以移位和反向，例如: (1.4-8)表示不連續(xù)點(diǎn)在x=x0處，而常數(shù)b(=)的正負(fù)決定符號(hào)函數(shù)在x=x0處上躍或下躍，如圖1.4-8所示。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)138138圖 1.4-8符號(hào)函數(shù)的移位和反向第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)139139符號(hào)函數(shù)可以用來改變一個(gè)變量或函數(shù)在某些點(diǎn)的正負(fù)，因而，在一個(gè)函數(shù)中引入符號(hào)函數(shù)，根據(jù)給定條件的不同相當(dāng)于引入正號(hào)或負(fù)號(hào)。但符號(hào)

26、函數(shù)與“+”、“”號(hào)不同，它可以參加運(yùn)算。符號(hào)函數(shù)與1/(i)構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，即第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1401405. 矩形函數(shù)高度和長(zhǎng)度均為1，面積也為1的矩形函數(shù)如圖1.4-9 所示，并定義為(1.4-9) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)141141矩形函數(shù)可以平移和改變比例，例如：表示高為h，寬為b，面積等于hb，中心位于x0處的矩形函數(shù)，如圖1.4-10所示。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)142142圖 1.4-9矩形函數(shù) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)143143圖1.4-10矩形函數(shù)的平移和改變比例第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)144144矩形函數(shù)是一個(gè)十分有用的函數(shù)，它

27、可以用來以任意幅度h和任意寬度b截取某個(gè)函數(shù)的任一段，因此矩形函數(shù)也稱為門函數(shù)或矩形窗函數(shù)。例如rect(x1/2)sinx,如圖1.4-11 所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)145145圖 1.4-11矩形函數(shù)的截?cái)嘧饔玫?章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)146146它也提供了只在一個(gè)區(qū)段定義的函數(shù)的簡(jiǎn)潔記法，例如f(x)=rect(x) cosx就是下面函數(shù)的簡(jiǎn)潔表達(dá)式，即第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)147147矩形函數(shù)的傅里葉變換可按定義直接求出由傅里葉變換的性質(zhì)不難得到第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1481486. 三角形函數(shù)三角形函數(shù)用符號(hào)(x)表示，其定義為 (1.4-10)第1

28、章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)149149式(1.4-10)表示高度為1，底邊長(zhǎng)為2，面積為1的三角形，如圖1.4-12 所示。 平移和展寬后的三角形函數(shù)如圖1.4-13所示，它的表達(dá)式為第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)150150圖 1.4-12三角形函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)151151圖1.4-13三角形函數(shù)的平移和展寬第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)152152該式表示高度為1，底邊長(zhǎng)為2|b|，面積為|b|，中心移到x=x0處的三角形。b的正負(fù)不影響三角形函數(shù)的圖形形狀。三角形函數(shù)可以用矩形函數(shù)的自卷積求得，即根據(jù)傅里葉變換的定義直接積分可得第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)153153

29、7. sinc函數(shù)和sinc2函數(shù)sinc函數(shù)定義為 (1.4-11)sinc函數(shù)如圖1.4-14所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)154154圖 1.4-14sinc函數(shù) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)155155sinc函數(shù)同樣可以平移和擴(kuò)展，如表示中心移至x=x0處，最大值仍為1，但第一級(jí)兩個(gè)零點(diǎn)之間的寬度等于2|b|，曲線包圍的總面積為|b|的sinc函數(shù)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)156156在一定條件下，sinc函數(shù)有類似于函數(shù)的性質(zhì)，如又如，一個(gè)頻譜僅在有限區(qū)域內(nèi)不為零的帶限函數(shù)f(x)，若它的全帶寬為w(即當(dāng)|w/2 時(shí)，F(xiàn)()0)，且w1/|b|，則有第1章 現(xiàn)代光學(xué)

30、的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)157157sinc2函數(shù)定義為 (1.4-12)該函數(shù)的圖形如圖1.4-15所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)158158圖 1.4-15sinc2函數(shù) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)159159與sinc函數(shù)一樣，sinc2函數(shù)也可以平移和擴(kuò)展。sinc函數(shù)可用來表示單縫夫瑯和費(fèi)衍射的振幅分布，sinc2函數(shù)可用來表示單縫夫瑯和費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布。 sinc函數(shù)和sinc2函數(shù)的傅里葉變換為第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1601608. 高斯函數(shù) 高斯函數(shù)定義為 (1.4-13)其圖形如圖1.4-16所示。這種函數(shù)的最大值為1，面積也為1。平移和擴(kuò)展后的高斯函數(shù)形式為第1章

31、 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)161161圖 1.4-16高斯函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)162162高斯函數(shù)也稱為正態(tài)分布函數(shù)。高斯函數(shù)非?！肮饣?，可以無窮次求導(dǎo)，屬于“性質(zhì)特別好的一類函數(shù)。高斯函數(shù)的傅里葉變換仍為高斯函數(shù)，即第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1631639. 圓域函數(shù)圓域函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)，在光學(xué)中用來表示圓形光瞳的透過率。圓域函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的定義為 (1.4-14)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)164164在極坐標(biāo)系中圓域函數(shù)有簡(jiǎn)單的形式 (1.4-15)以上兩式表示的圓域函數(shù)在半徑為1、面積為的區(qū)域內(nèi)的值等于1。顯然，圓域函數(shù)只是半徑r的函數(shù)，與極角無關(guān)，是圓對(duì)稱的

32、，即f(r,)=fR(r)，如圖1.4-17所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)165165圖 1.4-17圓域函數(shù)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)166166因此圓域函數(shù)的傅里葉-貝塞爾變換為令r=2r，并利用恒等式則有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)16716710. 抽樣函數(shù) 抽樣函數(shù)(comb函數(shù))用符號(hào)comb(x)表示，定義為 (1.4-16)式中： n為整數(shù)。該函數(shù)是一距離間隔為1的函數(shù)序列，如圖1.4-18所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)168168圖 1.4-18梳狀函數(shù) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)169169comb函數(shù)可以平移和改變比例，如表示間隔為|b|，面積也

33、為|b|，位置移到x0nb (n=0,1,2,)處的函數(shù)序列，如圖 1.4-19 所示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)170170圖 1.4-19梳狀函數(shù)的平移和改變比例第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)171171由于抽樣函數(shù)是一列函數(shù)的和式，因此由函數(shù)的性質(zhì)可以得到comb函數(shù)有下列性質(zhì)。(1) 比例變換特性: (2) 奇偶性: comb(x)是偶函數(shù)，即comb(x)=comb(x)。(3) 周期性: comb(x+n)=comb(x)，n為整數(shù)，即comb(x)是周期為1的周期函數(shù)。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)172172(4) 抽樣特性(乘積特性): comb函數(shù)與任一函數(shù)f(x)相

34、乘可以對(duì)該函數(shù)進(jìn)行周期抽樣，而抽樣值只存在函數(shù)所在的整數(shù)點(diǎn)處，如圖1.4-20所示，即若抽樣點(diǎn)為非整數(shù)點(diǎn)，且抽樣周期不等于1，則有第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)173173圖 1.4-20comb函數(shù)的抽樣特性第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)174174(5) 復(fù)制特性(卷積特性)： comb函數(shù)與任一函數(shù)f(x)的卷積的結(jié)果使f(x)在x的整數(shù)點(diǎn)上重復(fù)出現(xiàn)，見圖1.4-21，即第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)175175圖 1.4-21comb函數(shù)的復(fù)制特性第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)176176comb函數(shù)的傅里葉變換是不同間隔的另一個(gè)comb函數(shù)，即第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)17717

35、71.5連續(xù)函數(shù)信號(hào)的離散與抽樣定理1. 離散信號(hào)的表示給定一個(gè)連續(xù)函數(shù)y=f(x)，對(duì)其進(jìn)行等間隔抽樣使之離散化，若抽樣間隔為，則在各抽樣點(diǎn)x=n(n=0,1,2,)所得到的離散函數(shù)記為yn=f(n)。可見，離散信號(hào)的表示方法，就是用自變量的離散值n替代連續(xù)變量x。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)178178例如，一個(gè)連續(xù)函數(shù)為若抽樣間隔為，則其離散函數(shù)為顯然，離散函數(shù)和連續(xù)函數(shù)是部分與整體的關(guān)系，而抽樣得到的這個(gè)部分必須能全面反映整體。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1791792. 正弦函數(shù)的抽樣定理一正弦信號(hào) (1.5-1)式中: A、和j分別為振幅、頻率和初相，它們是確定該正弦信號(hào)的三

36、個(gè)特征量。若以抽樣間隔對(duì)其進(jìn)行抽樣，得到離散的正弦信號(hào)為 (1.5-2)它是如圖1.5-1所示的離散點(diǎn)列。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)180180圖 1.5-1離散的正弦信號(hào) 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)181181例如，取n=0，1三點(diǎn)上的離散值s(0)(0)、 s()和 s()， 且02。 由式(1.5-2)可得 (1.5-3)當(dāng)n=0時(shí)，有 (1.5-4)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)182182將式(1.5-4)代入式(1.5-3)得 (1.5-5)將n=1代入式(1.5-5)，有并可求得 (1.5-6) (1.5-7)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1831833. 任意連續(xù)函數(shù)

37、的抽樣定理 對(duì)連續(xù)函數(shù)f(x)以抽樣間隔抽樣得到離散函數(shù)f(n)，能否惟一地恢復(fù)f(x)呢？由傅里葉分析可知，任一連續(xù)函數(shù)可以表示為頻率連續(xù)的無窮多個(gè)諧波分量的疊加，其中每一個(gè)諧波分量的振幅A和初相j由f(x)的頻譜函數(shù)F()確定。如果f(x)的每一個(gè)諧波分量都能惟一地恢復(fù)出來，那么這些諧波分量的線性組合必然是原函數(shù)f(x)。對(duì)于頻率為的諧波，只要F()0，根據(jù)正弦信號(hào)的抽樣定理，抽樣間隔必須滿足1/2。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1841844. 奈奎斯特(Nyguist)頻率由以上分析可見，無論是對(duì)正弦信號(hào)抽樣，還是對(duì)連續(xù)函數(shù)抽樣，離散信號(hào)能夠正確恢復(fù)原函數(shù)的關(guān)鍵是抽樣間隔，且1/(2c

38、)，其中c是被抽樣正弦函數(shù)的頻率或頻譜函數(shù)F()的截止頻率。由此抽樣間隔所決定的抽樣頻率1/稱為奈奎斯特頻率，用N表示。 第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)185185圖 1.5-2譜瓣重疊現(xiàn)象第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1861865. 函數(shù)的抽樣與恢復(fù)具體步驟如下： (1) 抽樣。設(shè)有一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)，以滿足抽樣定理的抽樣間隔對(duì)其進(jìn)行抽樣。由comb函數(shù)的性質(zhì)可知，comb(x/)與函數(shù)f(x)相乘就把x=n各點(diǎn)處的函數(shù)值抽取出來，得到一個(gè)離散函數(shù) (1.5-8)顯然，離散函數(shù)f(x)比f(n)擴(kuò)大了倍，如圖1.5-3所示。但這對(duì)原函數(shù)的恢復(fù)并不產(chǎn)生影響。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1

39、87187圖 1.5-3離散函數(shù)f(x)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)188188(2) 求離散頻譜。對(duì)離散函數(shù)f(x)進(jìn)行傅里葉變換得到離散頻譜F()，即 (1.5-9)可見，離散頻譜F()是頻譜函數(shù)F()的周期性延拓，包含了頻譜函數(shù)F()，如圖1.5-4 所示。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)189189圖 1.5-4離散函數(shù)的頻譜F()第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)190190(3) 原函數(shù)的恢復(fù)。為了恢復(fù)原函數(shù)f(x)，必須使離散頻譜F()無失真地通過一理想低通濾波器，通過該濾波器后得到原函數(shù)f(x)的頻譜F()，顯然該濾波器的傳遞函數(shù)是一個(gè)矩形函數(shù) (1.5-10)通過濾波器后的輸出頻

40、譜為 (1.5-11)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)191191(4) 在空(時(shí))域恢復(fù)原函數(shù)。在空間域可以由離散函數(shù)f(x)直接恢復(fù)原函數(shù)f(x)。 對(duì)式(1.5-11)進(jìn)行傅里葉逆變換得 (1.5-12)式中: h(x)為低通濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)，它是H()的傅里葉逆變換，且第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)192192由式(1.5-8)、式(1.5-12)和上式得到 (1.5-13)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)1931931.6光波場(chǎng)的部分相干理論簡(jiǎn)介1.6.1互相干函數(shù)和互相干度利用光波場(chǎng)如下兩個(gè)性質(zhì)來研究光波場(chǎng)的相干性： (1) 由數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，光波場(chǎng)是平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)，即U(r,t)的時(shí)

41、間平均值。(2) 探測(cè)器的分辨時(shí)間遠(yuǎn)大于光擾動(dòng)的周期，記錄的只是一段時(shí)間間隔內(nèi)的平均效果。所以，光強(qiáng)和描述光場(chǎng)其他特性的量采用時(shí)間平均值的概念。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)194194一般用互相干函數(shù)來度量?jī)墒獾年P(guān)聯(lián)程度，如圖1.6-1所示。Q點(diǎn)處的光場(chǎng)可以由兩小孔P1和P2處的次級(jí)波源產(chǎn)生的光擾動(dòng)疊加而成，Q點(diǎn)t時(shí)刻的光擾動(dòng)可表示為 (1.6-1)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)195195圖 1.6-1擴(kuò)展光源的多色光干涉第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)196196由于光輻射的隨機(jī)性，光波場(chǎng)中Q點(diǎn)的光強(qiáng)為時(shí)間的平均值，表示為 (1.6-2)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)197197把式(1

42、.6-1)代入，整理后得 (1.6-3)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)198198令=t2t1，考慮到平穩(wěn)場(chǎng)的時(shí)間平均值與時(shí)間原點(diǎn)的選取無關(guān)，移動(dòng)時(shí)間原點(diǎn)得 (1.6-4)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)199199當(dāng)P1、P2點(diǎn)重合時(shí)，得到或 (1.6-5)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)20020011()、22()稱為自相干函數(shù)，它表示光場(chǎng)中同一點(diǎn)、不同時(shí)刻的光擾動(dòng)之間的相干性。顯然，當(dāng)=0時(shí)，有為了比較不同條件下的互相干函數(shù)，對(duì)12()進(jìn)行歸一化，定義復(fù)相干度 (1.6-6)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)201201這樣，式(1.6-4)可改寫為 (1.6-7)這就是平穩(wěn)光場(chǎng)部分相干理論的

43、一般公式。式(1.6-7)表明要確定兩束部分相干光干涉的光強(qiáng)，必須知道每束光的強(qiáng)度和復(fù)相干度。第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)2022021.6.2準(zhǔn)單色光的干涉和互強(qiáng)度雖然理想的單色輻射光源不存在，但是像激光等光源的輻射場(chǎng)可以看做準(zhǔn)單色光，下面研究這一類光場(chǎng)的相干性質(zhì)。1. 準(zhǔn)單色光的互強(qiáng)度前面定義的復(fù)相干度為一復(fù)函數(shù)，可以寫成 (1.6-8)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)203203在準(zhǔn)單色光情況下，式(1.6-8)中的相位因子可表示為其中12()為P1和P2點(diǎn)處的光擾動(dòng)相位的表觀相對(duì)延遲，反映這兩個(gè)擾動(dòng)相干時(shí)干涉條紋的位置； 為中心頻率。若令根據(jù)式(1.6-7)，Q點(diǎn)的光強(qiáng)可寫成 (1.6

44、-9)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)204204由于 因此當(dāng)Q點(diǎn)相對(duì)于P1和P2點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，的變化比的變化大得多。那么式(1.6-9)中的相位因子12()和振幅|12()|由于Q點(diǎn)位置改變所引起的變化比cos和sin緩慢得多，可視為常量。因此Q點(diǎn)光強(qiáng)的極大值、極小值分別為 (1.6-10)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)205205干涉條紋的對(duì)比度為 (1.6-11)第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)206206圖 1.6-2兩束等光強(qiáng)相干的三種強(qiáng)度分布(a) |12()|=1; (b) 0|12()|1; (c) |12()|=0第1章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)207207如果兩準(zhǔn)單色光束的光強(qiáng)相等，則對(duì)比度簡(jiǎn)化