函數(shù)展開成冪級數(shù)47821實(shí)用教案

1、2.2.展開式是否展開式是否(sh fu)(sh fu)唯一唯一? ?3.3.在什么條件下才能在什么條件下才能(cinng)(cinng)展開成展開成冪級數(shù)冪級數(shù)? ?1.1.如果能展開如果能展開, , 是什么是什么? ?na上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 即得形如即得形如 函數(shù)的展開式函數(shù)的展開式.需要需要(xyo)(xyo)考慮考慮問題 是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以是否存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以 為和函數(shù)為和函數(shù)? ?)(xf一 問題的提出第1頁/共24頁第一頁，共25頁。二二 泰勒泰勒(ti l)(ti l)級數(shù)級數(shù)1.Toylor

2、1.Toylor公式(gngsh)(gngsh)：復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)前面的兩個公式前面的兩個公式,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR 其中其中 在在 與與 之間之間 0 xx第2頁/共24頁第二頁，共25頁。2.Maclaurin2.Maclaurin公式(gngsh)(gngsh),)!1()()(1)1( nnnxnfxR 其中其中 在在 與與 之間之間 0 xx第3頁/共24頁第三頁，共25頁。函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)展開冪級數(shù)的必要條件展開冪級數(shù)的必要條件. .定理1 1 若 在 處能展開成冪級數(shù)則 在 內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), ,且)(xf0 xnnnxxa)(00

3、)(xf),(0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann證明在在 內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于 ,即即nnnxxa)(00 )(0 x)(xf第4頁/共24頁第四頁，共25頁。令令 , ,即得即得0 xx 逐項(xiàng)求導(dǎo)任意逐項(xiàng)求導(dǎo)任意(rny)(rny)次次, ,得得即為泰勒系數(shù)即為泰勒系數(shù)), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且泰勒系數(shù)是唯一的且泰勒系數(shù)是唯一的, ,所以所以)(xf的展開式是唯一的的展開式是唯一的.第5頁/共24頁第五頁，共25頁。問題nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?

4、 不一定不一定.定義 如果f(x)在點(diǎn) 處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)稱為 在點(diǎn) 的泰勒級數(shù). 稱為在 點(diǎn) 的麥克勞林級數(shù).0 xnnnxxnxf)(!)(000)( nnnxnf 0)(!)0()(xf0 x)(xf0 x第6頁/共24頁第六頁，共25頁。), 2 , 1 , 0( 0)0()( nfn在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo), ,且且 0, 00,)(21xxexfx例如例如.00 nnx麥克勞林級數(shù)為麥克勞林級數(shù)為)(xf該級數(shù)在該級數(shù)在 內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù) 可見可見. 0)( xs),(除除 外外, 的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂于的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂于 .0 s)(xf)(xf第7頁/共24頁第七

5、頁，共25頁。函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)展開冪級數(shù)的充要條件展開冪級數(shù)的充要條件. .證明必要性必要性.設(shè)設(shè) 能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù).)(xf),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理2 2 在點(diǎn) 的泰勒級數(shù), ,在 內(nèi)收斂于 在 內(nèi))(xf)(xf)(0 xU 0 x)(0 xU . 0)(lim xRnn第8頁/共24頁第八頁，共25頁。充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).(xf的泰勒級數(shù)

6、收斂于的泰勒級數(shù)收斂于)(xf定理3 3 設(shè) 在 上有定義, , 對 恒有則 在 內(nèi)可展開成點(diǎn) 的泰勒級數(shù). .)(xf),(00RxRxx , 0 M)(0 xU, 1 , 0,| )(|)( nMxfn)(xf),(00RxRx 0 x第9頁/共24頁第九頁，共25頁。證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx 010)!1(nnnxx在在 收斂收斂),(, 0)(lim xRnn),(00RxRxx 故故可展成點(diǎn)可展成點(diǎn) 的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù). .0 x第10頁/共24頁第十頁，共25頁。三三 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)展

7、開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接(zhji)(zhji)法( (泰勒級數(shù)法) )步驟步驟: :;!)()1(0)(nxfann 求求 nxnfxffn!)0()0( )0()(寫出寫出 級數(shù)級數(shù): :Maclaurin)2(討論討論 或或,)()(Mxfn 0lim nnR)3().(xf則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性, 即得即得例1 1xexf )(將將 展開成冪級數(shù)展開成冪

8、級數(shù)., 0 Mxnexf )()(Me ,MM 在在 上上第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )()(xfn)2sin( nx1 ),( x且且例2 2將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).xxfsin)( x第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( nnnnaa1lim 1

9、 nn, 1 , 1 R例3 3 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).x)()1()(Rxxf 第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。在在 內(nèi)內(nèi), ,若若)1 , 1( !) 1() 1(!)() 1()!1() 1() 1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(

10、! 2)1(1)1(2 )1 , 1( x牛頓牛頓(ni dn)二項(xiàng)二項(xiàng)式展開式式展開式注意在注意在 處收斂性與處收斂性與 的取值有關(guān)的取值有關(guān). .1 x 第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。雙階乘雙階乘(ji chn)21, 1 當(dāng)當(dāng) 時時,有有第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。2.2.間接(jin ji)(jin ji)法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, , 利用常見展開式利用常見展開式, , 通過變量代換通過變量代換, ,四則運(yùn)四則運(yùn)算算, , 恒等變形恒等變形, , 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), , 逐項(xiàng)積分等方法逐項(xiàng)積分等方法, ,求展開式求展開式. .從而可以得到以下從而可以得到以下(yxi)

11、(yxi)幾個常見的展開式幾個常見的展開式: : )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x)(sincos xx由由第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。例4 4 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).x211)(xxf 解)11(,1112 xxxxxn把把 換成換成 得得x2x ,)1(1112422 nnxxxx)11( x第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。例5 5 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). .x)1ln()(xxf 解,)1(1112 nnxxxx)11( x將上式從將上式從 到到 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, ,得得0 x nxxxxnn 132)1(3121 xxdxx01)1ln()11( x第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。例6 6 將將 展開成展開成 冪級數(shù)冪級數(shù).3 x231)(2 xxxf2111231)(2 xxxxxf解而而 nnxxx)43()1()43(43124311 x711|43| xx第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。821|53| xx第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。感謝您的觀看(gunkn)！第24頁/共24頁第二十四頁，共25頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)2.展開式是否唯一。1.如果能展開,