傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)

1、一、傳遞函數(shù)的概念一、傳遞函數(shù)的概念 二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)二、傳遞函數(shù)的性質(zhì) 三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)第二節(jié)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型引言 控制系統(tǒng)的微分方程：是在時(shí)域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。但如果系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變時(shí)，便需要重新列寫(xiě)并求解微分方程。 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：對(duì)線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本、最重

2、要的概念 消去中間變量i(t)，得到輸入 與輸出 之間的線性定常微分方程:一、傳遞函數(shù)的概念一、傳遞函數(shù)的概念 圖2-4所示的RC電路中電容的端電壓 。根據(jù)克?；舴蚨?，可列寫(xiě)如下微分方程：()()()cri t R u tu t (2.14) 1( )( )dcuti ttC (2.15)d( )( )( )dccru tRCu tu tt(2.16) 圖2-4 RC 電路( )cU t()cU t()rU t 現(xiàn)在對(duì)上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，并考慮電容上的初始電壓 ，得: (2.17)( )( )( )( )cccrRCsUsRCuUsUs0式中 Uc(s) 輸出電Uc(t)的拉氏變換

3、； Ur(s) 輸入電壓Ur(t)的拉氏變換。1( )( )( )11crcRCUsUsuRCsRCs0 當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)= u01(t)時(shí)，對(duì)Uc(s)求拉氏反變換，即得 uc(t)的變化規(guī)律:由上式求出Uc(s)的表達(dá)式: (2.18)(0)cU0( )(1)( )ttRCRCccu tueue0 (2.19)式中第一項(xiàng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)， 由U(t)決定的分量； 第二項(xiàng)稱為零輸入響應(yīng)， 由初始電壓Uc (0)決定的 分量。圖2-5表示各分量的變化曲線，電容電壓Uc (t)即為兩者的合成。圖2-5 RC網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)曲線 在式(2.19 )中，如果把初始電壓Uc(0)也視為一個(gè)輸入作

4、用，則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以分別研究在輸入電壓Ur(t)和初始電壓Uc(0)作用時(shí)，電路的輸出響應(yīng)。若Uc(0) =0，則有 : 1( )( )1crUsUsRCs(2.20)當(dāng)輸入電壓ur(t)一定時(shí)，電路輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc(s)完全由1/(RCs+1)所確定，式(2.20)亦可寫(xiě)為:( )1( )1crUsUsRCs (2.21) 當(dāng)初始電壓為零時(shí)，電路輸出函數(shù)的拉氏變換Uc(s)與輸入函數(shù)拉氏變換Ur(s)之比，是一個(gè)只與電路結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)的函數(shù) 。式(2.21)來(lái)表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：1( )1G sTs式中T=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立了電路輸入電壓與

5、輸出電壓之間的關(guān)系。圖2-6 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)可用圖2-6表示。該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過(guò)G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc(s)=G(s)Ur(s) 。 線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏 變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)。 若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：1110111101ddd( )( )( )( )dddddd( )( )( )( )dddnnnnnnmmmmmmac tac tac ta c ttttbr tbr tbr tb r tttt (2.22)式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai (i=1,2,

6、n), bj(j=1,2,m)是與系統(tǒng)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。 令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，在初始條件為零時(shí)，對(duì)式(2.22)進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程：11101110 ( ) ( )nnnnmmmma sasa sa C sb sbsbsb R s由傳遞函數(shù)的定義，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：11101110( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sasa saD s式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式； D(s)= ansn+an-1sn-1+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式。

7、(2.23) 傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時(shí)定義的。控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義，一系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0時(shí)的值均為零；二系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0時(shí)的值也為零。 二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)二、傳遞函數(shù)的性質(zhì) 從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(2.23)可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m小于或等于分母的階數(shù)n （mn） ，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 2.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無(wú)關(guān)。 1212()()()( )( )( )()()()mnszszszC sG skR sspspsp (2.24

8、) 3.傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。將式(2.23)中分子多項(xiàng)式及分母多 項(xiàng)式因式分解后，寫(xiě)為如下形式： 式中k為常數(shù)，-z1,-zm為傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式方程的m個(gè)根，稱之為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；-p1,-pn為分母多項(xiàng)式方程的n個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 一般zi，pi可以為實(shí)數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，且若為復(fù)數(shù)，必共軛成對(duì)出現(xiàn)。 將零、極點(diǎn)標(biāo)在復(fù)平面上，則得到傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，如圖2-7所示。 圖中零點(diǎn)用“o”表示，極點(diǎn)用“X ”表示。 圖2-7 ( )()()G sssss22322零極點(diǎn)分布圖 4. 若令式(2.23)中s = 0，則：常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分

9、方程式(2.22)看，s=0相當(dāng)于所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零，方程變?yōu)殪o態(tài)方程 00(0)bGa00( )( )a c tb r t00( )( )bc tr ta或b0 /a0為輸出輸入的靜態(tài)比。5. 傳遞函數(shù)無(wú)法全面反映信號(hào)傳遞通路中的中間變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。 三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)從動(dòng)態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來(lái)看，可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。 （一）比例環(huán)節(jié)（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)= K (2.25)輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無(wú)慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。 (a) (b)圖2-8 比例環(huán)節(jié) 圖2-8(

10、a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖2-8(b)所示。 （二）慣性環(huán)節(jié)（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：( )1KG sTs (2.26) 當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖2-9(a)所示。式中 K環(huán)節(jié)的比例系數(shù)； T環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。 圖2-9 慣性環(huán)節(jié) （三）積分環(huán)節(jié)（三）積分環(huán)節(jié) 它的傳遞函數(shù)為:1( )G sTs (2.27) 當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，則輸出為t/T，它隨著時(shí)間直線增長(zhǎng)。T稱為積分時(shí)間常數(shù)。T很大時(shí)慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個(gè)積分環(huán)節(jié)。 圖2-10(b)為積分調(diào)節(jié)器。積分時(shí)間常數(shù)為RC。 圖2-10

11、積分環(huán)節(jié)（四）微分環(huán)節(jié)（四）微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s) = T s (2.27) 輸入是單位階躍函數(shù)1(t)時(shí)，理想微分環(huán)節(jié)的輸出為c(t)=Td(t)， 是個(gè)脈沖函數(shù)。 在實(shí)際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為： 理想微分環(huán)節(jié)的實(shí)例示于圖2-11(a)、(b)。(a)為測(cè)速發(fā)電機(jī)。圖2-11(b)為微分運(yùn)算放大器。12( )1T sG sT s(2.28) 它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖2-11(c)、(d)所示。在低頻時(shí)近似為理想微分環(huán)節(jié)，否則就有式(2.28)的傳遞函數(shù)。圖2-11 微分環(huán)節(jié)（五）振蕩環(huán)節(jié)（五）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：222221( )212nnnG sT sT sss (2.29)式中n 無(wú)阻尼自然振蕩頻率，n=1/T； 阻尼比，01。圖2-12所示為單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線。圖2-12 振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線 （六）延滯環(huán)節(jié)（六）延滯環(huán)節(jié) 延滯環(huán)節(jié)是非線性環(huán)節(jié)， t 稱為延滯時(shí)間（又稱死時(shí)）。具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng)。 如圖2-13所示，當(dāng)輸入為階躍信號(hào)