最短路徑-教學(xué)設(shè)計(jì)馮麗華

1、最短路徑第二師華山中學(xué)初中數(shù)學(xué)組馮麗華2015/9/30最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1 、內(nèi)容 利用軸對(duì)稱(chēng)探究簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題。2 、內(nèi)容解析最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”及“連接 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱(chēng)、平 移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題“將軍飲馬問(wèn)題”為載體，開(kāi)展最短路徑問(wèn)題的課 題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn) 題轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

2、“兩點(diǎn)之間， 線段最短”問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1、目標(biāo)能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題， 體會(huì)圖形的變換在解決最值問(wèn)題中的作用， 感悟轉(zhuǎn) 化思想，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。2、目標(biāo)解析（1）學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)” “河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)” “線”，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù) 學(xué)問(wèn)題；（2）能利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題；（3）能另選一點(diǎn)，通過(guò)比較、邏輯推理證明所求線段和最短；（4）在探索最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是極值問(wèn)題， 作為八年級(jí)的學(xué)生，

3、在此之前很少接觸， 解決這方面 問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)明顯不足，特別是面對(duì)實(shí)際背景的極值問(wèn)題無(wú)從下手。對(duì)于直線異側(cè)的兩點(diǎn)， 怎樣在直線上找到一點(diǎn)， 使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最短， 學(xué)生很 容易想到連接這兩點(diǎn)，所連線段與直線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)。但對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直 線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最短，一些學(xué)生感到茫然，找不到解決問(wèn)題的方 法。在證明最短時(shí)，需要在直線上任選一點(diǎn)（與所求作的點(diǎn)不重合） ，證明所連線段和大于所求 作的線段和學(xué)生想不到，不會(huì)用。教學(xué)時(shí)，教師可從“直線異側(cè)的兩點(diǎn)”過(guò)渡到“直線同側(cè)的兩點(diǎn)”，為學(xué)生搭建“腳手架”在證明“最短”時(shí)，教師可告訴學(xué)生證明“最大” “最小”問(wèn)

4、題，常常要另選一個(gè)量，通過(guò)與求 證的那個(gè)“最大” “最小”的量進(jìn)行比較證明。由于另取的點(diǎn)具有任意性，所以結(jié)論對(duì)于直線上 的每一點(diǎn)（點(diǎn)C除外）都成立。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：禾I用軸對(duì)稱(chēng)將同側(cè)線段和最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問(wèn)題，并 能進(jìn)行簡(jiǎn)單推理論證。四、教學(xué)支持條件分析在初次解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了多種方法，通過(guò)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)利用軸對(duì)稱(chēng)將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異 側(cè)兩點(diǎn)求得的線段和比較短；進(jìn)而利用幾何畫(huà)板通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的一般性；最 后通過(guò)邏輯推理證明。教具準(zhǔn)備：直尺、幾何畫(huà)板，ppt五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1.【問(wèn)題】：看到課題，回憶學(xué)A B過(guò)哪些最短路徑問(wèn)題？?jī)牲c(diǎn)之間，線

5、段最短2.以上兩個(gè)問(wèn)題，我們稱(chēng)為“最，A短路徑”問(wèn)題。1i從學(xué)生已經(jīng)學(xué)D過(guò)的知識(shí)入復(fù)直線外一點(diǎn)與直線上各手，為進(jìn)一步習(xí)點(diǎn)所連線段中，垂線段最豐富、元善知弓1短。識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪X3、小試身手墊。入已知：如圖，點(diǎn)A, B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線1 -上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？ff二1.提出問(wèn)題認(rèn)真讀題，仔細(xì)思考?！竟适乱搿浚合鄠鳎畔ＥD亞探歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，究一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教X-1一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從1 .新圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊1飲馬，然后到B地到知河邊什么地方飲馬可使他所走 的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)

6、、 物理學(xué)的海倫稍加思索，利用 軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn) 題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將 軍飲馬問(wèn)題”。2.分析問(wèn)題將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”(1).【轉(zhuǎn)化】：你能將實(shí)際問(wèn)“河”抽象為數(shù)學(xué)中的題抽象為數(shù)學(xué)冋題嗎？“點(diǎn)” “線”，把實(shí)際問(wèn)題(2) 【度量】：請(qǐng)嘗試找出符 合條件的點(diǎn)C;分別度量出 AC,BC的長(zhǎng)度，并計(jì)算AC+BC 記錄在題目旁邊。抽象線段和最小問(wèn)題。(3) 【展示】:【展示】：學(xué)生展示并能巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法(盡簡(jiǎn)單說(shuō)明思路。可能多)，投影，拍照。作法1:/JC1作法2：學(xué)生主動(dòng)探二A/B索，充分發(fā)揮探A/l學(xué)生的主動(dòng) 性。究CB展示多種方作法3： a/ / 1法，產(chǎn)生思維 沖突，引發(fā)

7、學(xué)新生進(jìn)一步探究c 知J的學(xué)習(xí)欲望。Bf(4).【追冋】：上述幾種方通過(guò)“度量”的數(shù)據(jù)得出法中，哪一種作法中的點(diǎn) C能結(jié)論。使得AC+B(較短？【小結(jié)】：發(fā)現(xiàn)第3種作 法是較短的，第1種作法 只能說(shuō)明在河1上取一 點(diǎn)，至U A、B兩地的距離 相等。第2種作法是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”， 得到BC最短，利用“垂 線段最短”，得到AC最短， 但不能確定AC+B是最短的。3.解決問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)一步（1）【轉(zhuǎn)化】用第3種作法的利用軸對(duì)稱(chēng)將同側(cè)線段體會(huì)做法的正同學(xué)，你們是怎樣找到的點(diǎn)C?和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段確性，提高邏和最短冋題。借助軸對(duì)稱(chēng)輯思維能力。（2）【比較】在以上幾種方法的“橋梁”作用，若直線1上

8、任意一定（與中，利用軸對(duì)稱(chēng)找出的點(diǎn) C能點(diǎn)C不重合）與A，B兩使得AC+BC較短，但在直線l點(diǎn)的距離和都大于上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，也就有無(wú)數(shù)條AC+BC 就說(shuō)明 AC+BC最路線，此時(shí)點(diǎn)C還能使AC+BC:小。探究最短嗎？通常我們要在直線上任另 取一點(diǎn)P （與點(diǎn)C不重合），說(shuō) 明 AC+BCvAP+BP（3）【幾何畫(huà)板】下面我們可 以借助數(shù)學(xué)工具一幾何畫(huà)板來(lái) 進(jìn)一步驗(yàn)證一般性。讓學(xué)生在反思新老師動(dòng)手操作，并回憶作圖認(rèn)真觀察老師的做法，思的過(guò)程中，體步驟，驗(yàn)證對(duì)于第3種情況來(lái)考，要想確認(rèn)AC+B（最短，會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的知說(shuō)是最短的路徑。可以在直線1上任取一點(diǎn)“橋梁”作用，【注：通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，從特殊P （不與點(diǎn)

9、C重合）通過(guò)感悟轉(zhuǎn)化思到一般地驗(yàn)證了前面的結(jié)論。】度量可以得出 AC+BC最想，豐富數(shù)學(xué)短。并觀察變化趨勢(shì)?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)。（4）.【推理論證】：（1）獨(dú)立糾正圖形1.獨(dú)立糾錯(cuò)（2）請(qǐng)兩位同學(xué)全班交流推理2.兵教兵進(jìn)一步推理論過(guò)程證，加強(qiáng)邏輯（3）師生共同完成板書(shū)性，培養(yǎng)學(xué)生（4）學(xué)友向?qū)W師口述證明過(guò)良好的思維習(xí)慣。三（1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò):用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。總 結(jié)程是什么？（2）軸對(duì)稱(chēng)在所研究問(wèn)題中起 什么作用？提 高歸納：抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)八解決實(shí)際問(wèn)題II BJ/j用舊知解決第cTh T 1；R四拓 展 應(yīng) 用【問(wèn)題】：如圖，A為馬廄，牧 馬人某一天要從馬廄牽出馬， 先到草地邊某一處牧馬，

10、再到 河邊飲馬，然后回到馬廄。請(qǐng) 你幫他確定這一天的最短路 線。小河【小結(jié)】：在解決最短路徑問(wèn)題 時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)將同 側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題，化折線為 直線，從而作出最短路徑的選 擇。【教師寄語(yǔ)】：現(xiàn)實(shí)生活中需要 我們尋找簡(jiǎn)單、實(shí)用的方法， 但學(xué)習(xí)無(wú)捷徑，希望大家勤于 思考，多多動(dòng)腦，用數(shù)學(xué)知識(shí) 武裝自己，做一位有智慧的小 將軍。通過(guò)梳理“將營(yíng) /軍飲馬問(wèn)題 “的解題思 路，幫助學(xué)生*Ci歸納解決實(shí)際、欄轉(zhuǎn)化"f問(wèn)題的探究過(guò) 程，讓學(xué)生充TJ分體會(huì)軸對(duì)稱(chēng) 變換可以將不c共線的兩條路B徑轉(zhuǎn)化到一條 直線上。B學(xué)以致用1及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)的知識(shí)。 C作兩次軸對(duì)稱(chēng)，找到點(diǎn)B點(diǎn)C,連接BC與兩直線的交點(diǎn)E、F，AE+EF+F即為所求路徑。六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)題目1、（課堂檢測(cè)）如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧 馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。設(shè)計(jì)意圖:學(xué)以致用，并且有提高和挑戰(zhàn)，作兩次軸對(duì)稱(chēng)，找到點(diǎn)B點(diǎn)C,連接BC與兩直線的交點(diǎn)E、 F，AE+EF+F即為所求路徑。在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，通常利用軸對(duì)稱(chēng)將同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題， 化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇。題目2、（課后檢測(cè)）如圖，一個(gè)旅游船從大橋 AB的P處前往山 腳下