多元函數(shù)的概念51009PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念510097.2 多元函數(shù)的概念一一) ) 二元函數(shù)定義與幾何意義二元函數(shù)定義與幾何意義定義定義: :，平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集為為設(shè)設(shè)xoyD,),(Dyx 若若,f按按照照某某個(gè)個(gè)對對應(yīng)應(yīng)法法則則應(yīng)應(yīng)，總總有有唯唯一一的的數(shù)數(shù)值值與與之之對對變變量量z的的二二元元函函數(shù)數(shù)，和和為為變變量量則則稱稱yxz記為記為Dyxyxfz),(),(為為定定義義域域。為為應(yīng)應(yīng)變變量量，為為自自變變量量，其其中中Dzyx,類似地可推廣到類似地可推廣到n n元函數(shù)元函數(shù)).(),(Pfxxxfzn21兩點(diǎn)解釋：兩點(diǎn)解釋：fD和和對對應(yīng)應(yīng)法法則則定定義義有有

2、兩兩要要素素：定定義義域域)1(幾幾何何意意義義：)2(表示一張曲面。表示一張曲面。點(diǎn)集點(diǎn)集),)(,(| ),(Dyxyxfzzyx 第七章 第1頁/共12頁2.2.定義域：定義域：使得二元函數(shù)有意義的自變量的集合使得二元函數(shù)有意義的自變量的集合11)4(4)1ln()3()1ln()5(1)2(53)1()(. 12222222 xyxyzyxyxzxzyxzyxz：略略圖圖并在平面上作定義域的并在平面上作定義域的求下列函數(shù)的定義域，求下列函數(shù)的定義域，例例,| ),()1(2RyRxyxRD 1| ),()2(22yxyxD401)3(2222yxyx41| ),(22yxyxD0110

3、1)4(xyxy01| ),(xyxyyxD解:第2頁/共12頁01| ),()5(2xyxD11| ),(xyxD K 次齊次函數(shù)：次齊次函數(shù)：),(),(2121nknxxxfttxtxtxf若若),(21nxxxfy設(shè)設(shè)有有函函數(shù)數(shù)次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)。為為則則稱稱kf32352yyxxz例如：例如：次齊次函數(shù)。次齊次函數(shù)。為為3xyyyxxz252323不為齊次函數(shù)。不為齊次函數(shù)。經(jīng)濟(jì)函數(shù)多為齊次函數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)多為齊次函數(shù) LAKYDouglas生生產(chǎn)產(chǎn)函函數(shù)數(shù)如如),(為為正正常常數(shù)數(shù)勞勞力力投投入入資資本本投投入入，為為產(chǎn)產(chǎn)量量， ALKY次齊次函數(shù)。次齊次函數(shù)。為為 ).,(,10

4、第3頁/共12頁二二) ) 二元函數(shù)極限二元函數(shù)極限的鄰域內(nèi)有定義，在定義：設(shè)函數(shù)DyxPPfz),()(000時(shí)的極限，當(dāng)函數(shù)0PPPf)(記為記為Ayxfyyxx),(lim00Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或注：注：Ayxfyyxx ),(lim)1(00,二元極限一般不可記為二元極限一般不可記為 )(，無限趨于數(shù)時(shí)，且無限趨于當(dāng)APfPDP0。收斂于收斂于時(shí)時(shí)也稱也稱APfPP)(0是是則則稱稱A)()()(lim 0PP0PPAPfAPf 或或在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下有有.,)3(僅可用初等方法僅可用初等方法用用求極限無羅必塔法則可求極限無羅必塔法則可的的方方式

5、式是是任任意意的的。趨趨于于）（02PP第4頁/共12頁yxxayxyxyxxxxyxyyxy 21lim)3( ,11lim)2( ,)sin(lim)1(:. 2)0,0(),()0,1(),(求下列極限求下列極限例例)1(xyxyxyxyyxyx)sin(lim)sin(lim)0,1(),()0,1(),( 型型001)2(型型00)11)(11()11(lim11lim)0,0(),()0,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyxxyxyxyyx)11(lim)0,0(),(2解:第5頁/共12頁型型1yxxayxxx 21lim)3(yxxxayxyxxayxxxx 11lim1

6、lim2e的極限的極限求求例例222)0,0(),(lim. 3yxxyyx型型00 xyxyyx 222)0,0(),(lim原式原式, 1222 yxy,為無窮小量為無窮小量x. 0限限為為之之積積為為無無窮窮小小量量可可知知極極由由無無窮窮小小量量與與有有界界變變量量解:第6頁/共12頁.,)4(0的路徑有無窮多條的路徑有無窮多條在平面上在平面上PP ),(0的方式不同的方式不同若存在兩條相異的路徑若存在兩條相異的路徑PP .在在則此二元極限一定不存則此二元極限一定不存.lim. 4242)0,0(),(的極限的極限討論討論例例yxyxyx)0 , 0()1(軸軸沿沿x,0始始終終為為此

7、此時(shí)時(shí) y.0故極限為故極限為)0 , 0()2(2 xy沿沿拋拋物物線線4422)0,0(),(2limxxxxxx 原式原式21,使得極限不相同使得極限不相同兩不同路徑兩不同路徑 極限不同極限不同.故極限不存在故極限不存在242)0,0()0,(00lim xxx原式原式解:第7頁/共12頁設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 的極限的極限.則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 .例例5. 討論函數(shù)討論函數(shù)),(yxf故故222200li

8、m),(limxkxxkyxfxkxyx例：例：),(lim0,0yxfyx),(lim0,0yxfxy0 ,0但由例但由例5 知它在知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在點(diǎn)二重極限不存在 .,),(22yxyxyxf.lim,lim,lim)5(000000,不同不同與二重極限與二重極限表示累次極限表示累次極限記號記號yyxxxxyyyyxx.,極限存在極限存在不可推出沿任意的路徑不可推出沿任意的路徑這兩個(gè)極限存在這兩個(gè)極限存在解:第8頁/共12頁,),(:0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義的某領(lǐng)域內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)定義定義Pyxfz 三三. .二元函數(shù)連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義定義+ +結(jié)論結(jié)論),()(lim00

9、PfPfPP若若.)(0處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱PPf.否則為間斷否則為間斷此時(shí)此時(shí)，0P稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .0P為為連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn) .如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點(diǎn)處各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), 則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上連續(xù)連續(xù).1)結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理第9頁/共12頁函數(shù)函數(shù)上間斷上間斷.122 yx在圓周在圓周00)2(11)1(:. 6222222222yxxyxyxxyzyxz集集確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例)1(11),(22yxyxf1| ),(22 yxyx間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)集集為為.)0 , 0()2(處處的的連連續(xù)續(xù)性性只只需需考考察察分分點(diǎn)點(diǎn)),0 , 0(軸軸沿沿x, 0始終為始終為此時(shí)此時(shí)y. 0故極限為故極限為)0 , 0( xy沿