CH小波變換導(dǎo)引PPT課件

1、CH12 CH12 小波變換導(dǎo)引小波變換導(dǎo)引第1頁/共52頁內(nèi)容l 小波變換動(dòng)機(jī)l Harr小波變換l Harr基函數(shù)l Harr小波函數(shù)l Harr小波變換第2頁/共52頁引言傅里葉變換應(yīng)用非常廣泛的原因可能是:直觀性數(shù)學(xué)上的完美性計(jì)算上的有效性仍有局限性：在整個(gè)時(shí)間軸上積分,表示了信號(hào)的全局特征(變換后,時(shí)間是亞元)如果需要分析信號(hào)的局部信號(hào)怎么辦?樂譜油田勘探時(shí)頻變換第3頁/共52頁時(shí)頻展開希望定義一種工具能幫助計(jì)算信號(hào)x(t)的瞬時(shí)傅里葉變換，記為X(,F)如何定義一組能夠表現(xiàn)出信號(hào)瞬時(shí)性的基函數(shù)，該基函數(shù)必須包括兩個(gè)基本變量時(shí)間和頻率F第4頁/共52頁時(shí)頻展開主要內(nèi)容短時(shí)傅里葉變換S

2、TFTGabor變換GT連續(xù)小波變換CWT小波變換WT第5頁/共52頁短時(shí)傅里葉變換STFT確定信號(hào)局部頻率特性的比較簡(jiǎn)單的方法是在時(shí)刻附近對(duì)信號(hào)加窗，然后計(jì)算傅里葉變換。X(,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t- )其中，w(t-)是一個(gè)以時(shí)刻為中心的窗函數(shù)，注意信號(hào)x(t)中的時(shí)間t和X(,F)中的。第6頁/共52頁窗函數(shù)w根據(jù)進(jìn)行了時(shí)移，擴(kuò)展傅里葉變換表達(dá)式2( ,)( ) ()jFtXFx t w tedt短時(shí)傅里葉變換操作示意第7頁/共52頁Gabor變換引言STFT將一個(gè)連續(xù)時(shí)間變量t的信號(hào)x(t)變換為有兩個(gè)連續(xù)時(shí)間變量的X(,F)意味著STFT包含了很多的冗余信息將頻率

3、F離散化，F(xiàn)=Kf0將時(shí)間離散化，在=mT0采樣Gabor變換：變換：Xm,k=X(mT0,kF0)第8頁/共52頁Gabor變換通過Gabor變換，信號(hào)x(t)被展開為：0,2,0( ) , ( )( )()m km kjkF tm kx tX m k etetw tmT e其中：Gabor變換公式：0_20 , ( )()jkF tX m kx t w tmT edt第9頁/共52頁問題實(shí)際運(yùn)用中處理的問題與上述描述恰好相反：給定一個(gè)信號(hào)，希望能夠在時(shí)域和頻域上定位信號(hào)發(fā)生的事件，因此時(shí)間和頻率F都是不確定的，即按上述的分析不可行（結(jié)果不確定或有誤差）分析中，分辨率的損失是由于窗函數(shù)w(t

4、)的時(shí)域?qū)挾燃案道锶~變換的頻率帶寬所決定的；信號(hào)不能同時(shí)在時(shí)域和頻域準(zhǔn)確定位測(cè)不準(zhǔn)定理測(cè)不準(zhǔn)定理第10頁/共52頁l 小波變換是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析(處理)工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。已成功應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別等。l 小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)是它在時(shí)域和頻域均具有很好的局部化特征，它能夠提供目標(biāo)信號(hào)各個(gè)頻率子段的頻率信息。這種信息對(duì)于信號(hào)分類是非常有用的。l 小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù)，這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來刻畫。小波變換數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡第11頁/共52頁基本小波基本小波l也稱為小波母函數(shù)l定義如下：22R)( ),)|)|)ttL Rwwd

5、wwt 令 （ 為一平方可積函數(shù)，即 （如其傅里葉變換 （滿足條件：（則稱 （ 是小波。緊支性緊支性:在有限區(qū)域內(nèi)迅速衰減到在有限區(qū)域內(nèi)迅速衰減到0容許性條件容許性條件第12頁/共52頁小波的特點(diǎn)小波的特點(diǎn)l具有有限的持續(xù)時(shí)間、突變的頻率和振幅l波形可以是不規(guī)則的，也可以是不對(duì)稱的l在整個(gè)時(shí)間范圍里的幅度平均值為零l比較正弦波第13頁/共52頁部分小波波形第14頁/共52頁小波基函數(shù)小波基函數(shù)12,)(),0,),aatttaaRata將小波母函數(shù) （ 進(jìn)行伸縮和平移，令伸縮因子（稱尺度因子）為a,平移因子為 ，則：（則稱（ 是依賴參數(shù)的小波基函數(shù)。將信號(hào)在這個(gè)函數(shù)系上分解，就得到連續(xù)小波變換

6、將信號(hào)在這個(gè)函數(shù)系上分解，就得到連續(xù)小波變換第15頁/共52頁縮放縮放(scaled)(scaled)的概念的概念l示例：正弦波的Scaled算法第16頁/共52頁l示例：小波的縮放第17頁/共52頁平移平移(translation)(translation)的概念的概念第18頁/共52頁Haar小波變換l 小波有很多種，其中Harr小波是小波系列中最簡(jiǎn)單的一種 Harr基函數(shù) Harr小波函數(shù) Harr小波變換第19頁/共52頁Harr基函數(shù)l 基函數(shù) 是一組線性無關(guān)的函數(shù)，可以用來構(gòu)造任意給定的信號(hào)；l Harr基函數(shù) 1990年提出，由一組分段常值函數(shù)組成的函數(shù)集 函數(shù)集定義在0,1），

7、分段常值在一定的范圍內(nèi)是1，其他為0第20頁/共52頁021000000如果一圖象僅含有個(gè)像素，該圖象在整個(gè)0,1）上就是一個(gè)常值函數(shù)（(x)）,用V 表示這個(gè)常值函數(shù)生成的矢量空間，即：1 0 x1V ：(x)=0 其他第21頁/共52頁1220111110111如果一圖象僅含有個(gè)像素，該圖象在整個(gè)0,1）上就是2個(gè)等間距的子區(qū)間0,1/2)和1/2,1),每個(gè)區(qū)間都有一個(gè)常值函數(shù)，記作：(x)和(x),用V 表示這2個(gè)區(qū)間的常值函數(shù)生成的矢量空間，即：1 0 x1/21 1/2x1V：(x)= (x)=0 其他0 其他第22頁/共52頁2224j01222230222212如果一圖象僅含有

8、個(gè)像素，該圖象在0,1）上就是4個(gè)等間距的子區(qū)間0,1/4),1/4,1/2),1/2,3/4)和3/4,1),每個(gè)區(qū)間都有一個(gè)常值函數(shù)，記作：(x)，(x)，(x)，(x),用V 表示這4個(gè)區(qū)間的常值函數(shù)生成的矢量空間，即：1 0 x1/41 1/4x1/2V ：(x)= (x)=0 其他23220 其他1 1/2x3/41 3/4x1 (x)= (x)=0 其他0 其他第23頁/共52頁jjjijjjijixHarrxxHarrxxiijspxj我們可以按照上述的方法繼續(xù)定義基函數(shù)和由他們生成的矢量空間。即：為了表示矢量空間中的矢量，每個(gè)矢量空間V 都需要一個(gè)基，為生成矢量空間V 而定義的

9、基函數(shù)叫做尺度函數(shù)，這種函數(shù)用( )來表示?；瘮?shù)定義為：1 01( )=0 其他則尺度函數(shù)( )= (2)其中： 為平移參數(shù)， 是尺度因子,空間V 定義為：V( )第24頁/共52頁10121.jjjjjjj基于上面關(guān)于基和矢量空間的定義，我們就可以把2個(gè)像素組成的一維圖象看成是矢量空間V 中的一個(gè)矢量，由于這些矢量都是在0,1)上定義的函數(shù)，所以在V 矢量空間中的每個(gè)矢量都被包含在V矢量空間中，即V 是嵌套的，即：VVVVV第25頁/共52頁Harr小波函數(shù))1 01/ 2)1 1/210 )jijijjixHaarxxxHaarxxxi 小波函數(shù)通常用(表示，與框函數(shù)對(duì)應(yīng)的小波稱為小波函

10、數(shù)，定義如下：(其他小波尺度函數(shù)( 定義為：(21 0 x1(x)=0 其 他第26頁/共52頁001 01/ 2)1 1/210 WHaarxxx 0生成矢量空間的小波：(其他第27頁/共52頁10111 01/ 4)1 1/41/ 20 1 1/23/ 4)1 3/410 WHaarxxxxxx 1生成矢量空間的小波：(其他(其他第28頁/共52頁2201221 01/81 2/83/8)1 1/81/ 4 )1 3/84/80 0 1 4/85/8)1 5/86WHaarxxxxxxxxx 2生成矢量空間的小波：(其他其他(231 6/87/8/8 )1 7/810 0 xxx (其他其

11、他第29頁/共52頁Harr小波變換l 小波變換有很多種，其中Harr小波是小波系列中最簡(jiǎn)單的一種第30頁/共52頁哈爾變換原理哈爾變換原理l假設(shè)兩個(gè)信號(hào)的數(shù)值分別為a和b，計(jì)算它們的和與差s=a+bd=a-bl從s和d重新求得a和ba=(s+d)/2b=(s-d)/2第31頁/共52頁哈爾變換舉例哈爾變換舉例【例】假設(shè)有一幅分辨率只有4個(gè)像素 的一維圖像，對(duì)應(yīng)的像素值或者叫做圖像位置的系數(shù)分別為： 9 7 3 5計(jì)算它的哈爾小波變換系數(shù)步驟1：求均值(averaging)。計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素?cái)?shù)目變成了2個(gè)，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應(yīng)的像

12、素值為：8 4第32頁/共52頁步驟2：求差值(differencing)用2個(gè)像素表示這幅圖像時(shí)，圖像的信息已經(jīng)部分丟失。為了能夠從由2個(gè)像素組成的圖像重構(gòu)出由4個(gè)像素組成的原始圖像，就需要存儲(chǔ)一些圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)(detail coefficient)，以便在重構(gòu)時(shí)找回丟失的信息。原始圖像可用下面的兩個(gè)平均值和兩個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示，8 4 1 -1步驟3：重復(fù)步驟1和2把由第一步分解得到的圖像進(jìn)一步分解成分辨率更低的圖像和細(xì)節(jié)系數(shù)。在這個(gè)例子中，分解到最后，就用一個(gè)像素的平均值6和三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)2,1和1表示整幅圖像：6 2 1 -1第33頁/共52頁哈爾變換過程l 把由4像素組成的一幅圖像用一個(gè)

13、平均像素值和三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示l 這個(gè)過程就叫做哈爾小波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解(Haar wavelet decomposition)l 這個(gè)概念可以推廣到使用其他小波基的變換第34頁/共52頁哈爾變換過程圖形示意9，7，3，58，41，-126第35頁/共52頁哈爾變換的特性哈爾變換的特性l變換過程中沒有丟失信息，因?yàn)槟軌驈乃涗浀臄?shù)據(jù)中重構(gòu)出原始圖像。l對(duì)這個(gè)給定的變換，我們可以從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出各種分辨率的圖像。例如，在分辨率為1的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為2的圖像，在分辨率為2的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為4的圖像l通過變換之后產(chǎn)生的細(xì)節(jié)系數(shù)

14、的幅度值比較小，這就為圖像壓縮提供了一種途徑。例如，去掉一些微不足道的細(xì)節(jié)系數(shù)并不影響對(duì)重構(gòu)圖像的理解第36頁/共52頁一維哈爾小波變換一維哈爾小波變換l求均值和差值的過程實(shí)際上就是一維小波變換的過程，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法重新描述小波變換的過程 用V2 中的哈爾基表示 用V 1, W 1中的函數(shù)表示 用V 0, W 0和W1中的函數(shù)表示第37頁/共52頁9，7，3，58，41，-126V2W 1V 1V 0W 0第38頁/共52頁（1 1）用）用V2 V2 中的哈爾基表示中的哈爾基表示l圖像9 7 3 5有2j =22=4個(gè)像素，因此可以用生成矢量空間中的框基函數(shù)的線性組合表示， 222222220

15、0112233( )( )( )( )( )I xcxcxcxcx其中的系數(shù) 是4個(gè)正交的像素值9 7 3 5，因此，22220123,c c cc和22220123( )9( )7( )3( )5( ) I xxxxx第39頁/共52頁圖I(x)用V2中的哈爾基表示 第40頁/共52頁l生成矢量空間V 1的基函數(shù)為l生成矢量空間W1的小波函數(shù)為l根據(jù)lI(x)可表示成0111( )( )xx和1101( )( )xx和2001VVWW0000111100000011( )( )( )( )( )I xcxdxdxdx（2 2）用）用V 1, W 1V 1, W 1中的函數(shù)表示中的函數(shù)表示第4

16、1頁/共52頁l生成矢量空間V 0的基函數(shù)為 ，生成矢量空間W 0的小波函數(shù)為 ，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為 和 ，根據(jù)lI(x)可表示成00( ) x00( )x10( )x11( ) x2001VVWW0000111100000011( )( )( )( )( )I xcxdxdxdx（3 3）用）用V0, W0V0, W0和和W1W1中的函數(shù)表中的函數(shù)表示示第42頁/共52頁l其中，4個(gè)系數(shù) ， ， 和 就是原始圖像通過哈爾小波變換所得到的系數(shù)，用來表示整幅圖像的平均值和不同分辨率下的細(xì)節(jié)系數(shù)。4個(gè)函數(shù) , , 和 就是構(gòu)成空間V2的基。 l 用圖表示為00c00d10d11d00(

17、)x00( )x10( ) x11( ) x第43頁/共52頁擴(kuò)展：小波變換方法擴(kuò)展：小波變換方法l執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器該方法是Mallat在1988年開發(fā)的，叫做Mallat算法這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)的分解方法，在數(shù)字信號(hào)處理中稱為雙通道子帶編碼l用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示S表示原始的輸入信號(hào)，通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào)A表示信號(hào)的近似值(approximations)D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值(detail)3月10日第44頁/共52頁l在許多應(yīng)用中，信號(hào)的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個(gè)“添加劑”的作用。l比如聲音，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確

18、實(shí)是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內(nèi)容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。l在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量。而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量。雙通道濾波過程第45頁/共52頁l離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹原始信號(hào)通過這樣的一對(duì)濾波器進(jìn)行的分解叫做一級(jí)分解信號(hào)的分解過程可以疊代，也就是說可進(jìn)行多級(jí)分解。如果對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解，而對(duì)低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(wavelet decomposition tree)分解級(jí)數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要小波分解樹小波分解樹第46頁/共52頁小波包分解樹小波包分解樹 l小波分解樹表示只對(duì)信號(hào)的低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解。如果不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree)，這種樹是一個(gè)完整的二進(jìn)制樹。第47頁/共52頁cAj