概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 1.5 事件的獨(dú)立性與重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)

1、定義定義 設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)事件，如果成立等式是兩個(gè)事件，如果成立等式()( ) ( )P ABP A P B 則稱事件則稱事件A與事件與事件B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。1.5 事件的獨(dú)立性與重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)事件的獨(dú)立性與重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)一、一、 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性()( ) ( )(|)( )( )0)( )( )P ABP A P BP B AP B P AP AP A ()( ) (|)( ) ( ).P ABP A P B AP A P B 即事件即事件A與事件與事件B相互獨(dú)立相互獨(dú)立可得如下結(jié)論：可得如下結(jié)論：( )0當(dāng)時(shí)，事件 與 相互獨(dú)立的充要條件是: P A AB (|)( )P B A

2、P B 事實(shí)上事實(shí)上,當(dāng)當(dāng)A與與B獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí),有有(/)( ),P B AP B 反之，若則定理定理 若事件若事件A與與B相互獨(dú)立，則事件相互獨(dú)立，則事件,與與 及 與A B ABA B都是相互獨(dú)立的。都是相互獨(dú)立的。證證 因因A，B相互獨(dú)立，故相互獨(dú)立，故()( ) ( ).P ABP A P B 從而從而()( )()1（）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）P ABP BAP BP ABP BP A P BP A P BP A P B AB即事件與相互獨(dú)立。其他兩組同理可證得。其他兩組同理可證得。例例1 小王和小李彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，他們的命中小王和小李彼此獨(dú)立地向同一目

3、標(biāo)射擊，他們的命中率分別為率分別為0.9和和0.8。求目標(biāo)被擊中的概率。求目標(biāo)被擊中的概率。方法方法1P AP BP AB( )( )() 方法方法2解解 設(shè)設(shè)A=小王擊中目標(biāo)小王擊中目標(biāo)，B=小李擊中目標(biāo)小李擊中目標(biāo)， C=目標(biāo)被擊中目標(biāo)被擊中( )1()1( ) ( ) 1(10.9) (10.8)0.98P CP ABP A P B P CP AB( )() P AP BP A P B( )( )( ) ( )0.90.80.9 0.80.98注注 1 如果成立等式如果成立等式()()()()()()()()()P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C 則稱三事

4、件則稱三事件A、B、C兩兩獨(dú)立。兩兩獨(dú)立。定義定義 設(shè)設(shè)A、B、C是三事件，如果成立等式是三事件，如果成立等式()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( ) ( )P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P C 則稱三事件則稱三事件A、B、C相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 注注2 若三事件相互獨(dú)立則三者一定是兩兩獨(dú)立的，但三事件若三事件相互獨(dú)立則三者一定是兩兩獨(dú)立的，但三事件兩兩獨(dú)立并不能保證三者相互獨(dú)立，即由兩兩獨(dú)立并不能保證三者相互獨(dú)立，即由 ()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( )P ABP A P BP

5、ACP A P CP BCP B P C 并不能導(dǎo)出并不能導(dǎo)出()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C 注注3 若三事件若三事件A,B,C相互獨(dú)立則可得相互獨(dú)立則可得AB與與C, BC與與A等也是等也是 相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的. 即有即有 P(AB)C=P(AB)P(C)等等. 例例2 設(shè)袋中有張形狀相同的卡片，在這張卡片上依次設(shè)袋中有張形狀相同的卡片，在這張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字：，。標(biāo)有下列各組數(shù)字：，。從袋中隨機(jī)抽取一張卡片，用表示事件從袋中隨機(jī)抽取一張卡片，用表示事件“取到的卡片的取到的卡片的第第i位數(shù)字為位數(shù)字為“（i=1,2,3).iAP AP AP A1231

6、11(), (), ()222 123,A A A求證求證 三事件兩兩獨(dú)立，但并不相互獨(dú)立。三事件兩兩獨(dú)立，但并不相互獨(dú)立。P A AP A AP A AP A A A121323123111(), (), (), ()0444 證明證明121213132323()() (), ()() ()()() ()P A AP A P AP A AP A P A P A AP A P A 則但是但是P A P A P AP A A A123123() () ()() 可見可見, A,B,C三事件兩兩獨(dú)立，但并不相互獨(dú)立三事件兩兩獨(dú)立，但并不相互獨(dú)立.(1)kn 個(gè)事件, 定義定義 12,.nA AA設(shè)

7、是是n個(gè)事件，如果對(duì)其中任意個(gè)事件，如果對(duì)其中任意 k12,.,kiiiA AA成立等式成立等式kkiiiiiiP A AAP A P AP A1212(.)() (). () 則稱這則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立。個(gè)事件相互獨(dú)立。上式代表了下面式子：上式代表了下面式子：121212312312122323()() ().()() () ().(.)() (). ().21共有個(gè)共有個(gè).共有個(gè)總共有個(gè)式子nniiiiniiiiiinniiiiiinnnnnnP A AP A P ACP A A AP A P A P ACP A AAP A P AP ACCCCn 事件獨(dú)立性的應(yīng)用事件獨(dú)立性的應(yīng)用1 1

8、、加法公式的簡(jiǎn)化、加法公式的簡(jiǎn)化 若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , 則則 2 2、在可靠性理論上的應(yīng)用、在可靠性理論上的應(yīng)用 )().(1).121nnAPAPAAAP 例例3 3 元件組合的兩種最基本的方法是串聯(lián)和并聯(lián)。設(shè)有元件組合的兩種最基本的方法是串聯(lián)和并聯(lián)。設(shè)有n個(gè)個(gè)元件，每個(gè)元件的可靠性均為元件，每個(gè)元件的可靠性均為r(0r1),r(0r1),且各元件能否正常工且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性作是相互獨(dú)立的，試求串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性。并記串聯(lián)系統(tǒng)正常工作，并聯(lián)系統(tǒng)正常工作。并記串聯(lián)系統(tǒng)正常工作，并聯(lián)系統(tǒng)正

9、常工作。（）串聯(lián)系統(tǒng)）串聯(lián)系統(tǒng)1212.由 及 ， ， 相互獨(dú)立得nnAA AAAAA iA()(1,2,. )iP Ar in 解解記記 第第i個(gè)元件正常工作，則個(gè)元件正常工作，則nnnP AP AAAP AP AP Ar rrr1212. （ ） （） （ ）（ ） （ ）（）并聯(lián)系統(tǒng)（）并聯(lián)系統(tǒng)nBAAA12. nnBAAAAAA1212. 又因又因12,.,nA AA相互獨(dú)立相互獨(dú)立，因此因此nnnnP BP AAAP A P AP AP AP AP Ar121212( )(.)() (). ()1()1().1()(1) 從而從而A1A2An12,.,nA AA也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立可

10、知可知nP BP Br( )1( )1(1)由上討論可知：由上討論可知： 串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為，它隨著串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為，它隨著n的增大而減小，即的增大而減小，即構(gòu)成系統(tǒng)的元件個(gè)數(shù)越多，則該系統(tǒng)就越不可靠；構(gòu)成系統(tǒng)的元件個(gè)數(shù)越多，則該系統(tǒng)就越不可靠；nr并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為1 (1)nr,它隨著它隨著n的增大而變大的增大而變大,即構(gòu)成系統(tǒng)元件個(gè)數(shù)越多即構(gòu)成系統(tǒng)元件個(gè)數(shù)越多,該系統(tǒng)就越可靠該系統(tǒng)就越可靠.二、二、 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（伯努利試驗(yàn)概型）重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)（伯努利試驗(yàn)概型） 將試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行將試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出

11、現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這則稱這n次試驗(yàn)為次試驗(yàn)為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。及AA并設(shè)并設(shè)P Ap p Aqpqp, ( )(01,1) （ ）則稱這種試驗(yàn)為則稱這種試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn). .它是它是“在相在相同條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)同條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)”的一種數(shù)學(xué)模型，稱為貝努利概型。的一種數(shù)學(xué)模型，稱為貝努利概型。如果在如果在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：kkn knnnnkP kC p qkn P k1( ),0,1,2

12、,.(*)( )1 定理定理 設(shè)事件設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P(A)=p,則在則在n重貝努重貝努力試驗(yàn)中力試驗(yàn)中,事件事件A恰發(fā)生恰發(fā)生k次的概率為次的概率為注意注意:其中其中q=1-p. 證證事件事件在在指定的指定的k次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余的次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余的n-k次試次試驗(yàn)中不發(fā)生（例如在前驗(yàn)中不發(fā)生（例如在前k次試驗(yàn)中發(fā)生而后次試驗(yàn)中發(fā)生而后n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生）次試驗(yàn)中不發(fā)生）的概率為的概率為.（ 個(gè)）（個(gè)）kn kp pp kq qq n kp q 在在n次試驗(yàn)中，事件次試驗(yàn)中，事件發(fā)生發(fā)生k次共有種情況，且它們對(duì)應(yīng)的次共有種情況，且它們對(duì)應(yīng)的事

13、件是兩兩互不相容的，故在事件是兩兩互不相容的，故在n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中發(fā)生發(fā)生k次的概率為次的概率為knC( ),0,1,2.kkn knn P kC p qk 例例4 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可直接可直接出廠；以概率出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以可以出廠?，F(xiàn)該廠新生產(chǎn)了出廠。現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 (2)n n 臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）。求生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）。求（1）全部能出廠的概率；）全部能出廠的概率；（2）其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率；）其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率。）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率