三角函數(shù)應(yīng)用舉例

1、三角函數(shù)型應(yīng)用題1 如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度表示為的函數(shù),并寫出定義域；（2）若，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度；（3）問：當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度.解：（1）， 由于， ， .(2) 時(shí)，,;（3）= 設(shè) 則由于，所以 在內(nèi)單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)時(shí) ，的最大值米. 答：當(dāng)或時(shí)所鋪設(shè)的管道最短，為米.2某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪abcd，ab=50米，bc=米，為了便于居民平時(shí)休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公

2、司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路oe、ef和of，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求o是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e在邊bc上，點(diǎn)f在邊ad上，且eof=90°，如圖所示（1）設(shè)boe=，試將的周長(zhǎng)表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低dabcoef總費(fèi)用解：(1)在rtboe中，ob=25, b=90°，boe=，oe=.2分在rtaof中，oa=25, a=90°，afo=，of=.4分又eof=90°，ef=,即6分當(dāng)點(diǎn)f在點(diǎn)d時(shí)，這時(shí)角最小，求得此時(shí)=；當(dāng)點(diǎn)e在c點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角最

3、大，求得此時(shí)=故此函數(shù)的定義域?yàn)?8分(2)由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求的周長(zhǎng)的最小值即可.由（1）得，設(shè)，則，12分由，得，從而，15分當(dāng)，即be=25時(shí)，,所以當(dāng)be=ae=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元.16分qcpsdrab3. 如圖，abcd是塊邊長(zhǎng)為100的正方形地皮，其中ast是一半徑為90的扇形小山，其余部分都是平地，一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)p在弧st上，相鄰兩邊cq、cr落在正方形的邊bc、cd上，求矩形停車場(chǎng)pqcr面積的最大值和最小值。 t解：設(shè)延長(zhǎng)交于令-10故當(dāng)時(shí)，s的最小值為,當(dāng) 時(shí) s 的4如圖，在半徑為、圓心角為的扇

4、形的弧上任取一點(diǎn)，作扇形的內(nèi)接矩形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，設(shè)矩形的面積為,按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：（1）設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值poabqmn解：（1）因?yàn)?， ， 所以， 2分，所以. 4分因?yàn)?，所?6分所以，即， 8分（2）選擇， 12分 13分所以. 14分5 如下圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為的半圓形空地，的內(nèi)接正方形為一水池，外的地方種草,其余地方種花. 若 ，設(shè)的面積為，正方形的面積為，將比值稱為“規(guī)劃合理度”.（1）試用,表示和；（2）若為定值，當(dāng)為何值時(shí),“規(guī)劃合理度”最小？并求出這個(gè)最小值（1）在中，3

5、分設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為則，由，得，故所以6分（2）， 8分令，因?yàn)?，所以，則10分所以，所以函數(shù)在上遞減，12分因此當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)14分所以當(dāng)時(shí)，“規(guī)劃合理度”最小，最小值為15分ab2m2mmnedfpqccl6 如圖所示，一條直角走廊寬為2米?，F(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車，其平板面為矩形abef，它的寬為1米。直線ef分別交直線ac、bc于m、n，過墻角d作dpac于p，dqbc于q；若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試求平板面的長(zhǎng) (用表示)；若平板車要想順利通過直角走廊，其長(zhǎng)度不能超過多少米?解：（1）dm=，dn=，mf=，en=， ef=dm+dn-mf-en=+= （） （2）“平板車要想順

6、利通過直角走廊”即對(duì)任意角（），平板車的長(zhǎng)度不能通過，即平板車的長(zhǎng)度；記 ，有=，= 此后研究函數(shù)的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導(dǎo)，以確定函數(shù)在上的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)取得最小值7（本小題滿分15分） 一鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：（1）求棒長(zhǎng)l關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式：；（2）求能通過直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值解：（1）如圖， （2）令，因?yàn)?，所以，abc則，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，所以所以所以能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的最大長(zhǎng)度為4 15分8 如圖，a，b，c是三個(gè)汽車站，ac，be是直線型公路已知ab120 km，bac75°，abc45°有一輛車（

7、稱甲車）以每小時(shí)96（km）的速度往返于車站a，c之間，到達(dá)車站后停留10分鐘；另有一輛車（稱乙車）以每小時(shí)120（km）的速度從車站b開往另一個(gè)城市e，途經(jīng)車站c，并在車站c也停留10分鐘已知早上8點(diǎn)時(shí)甲車從車站a、乙車從車站b同時(shí)開出（1）計(jì)算a，c兩站距離，及b，c兩站距離；（2）若甲、乙兩車上各有一名旅客需要交換到對(duì)方汽車上，問能否在車站c處利用停留時(shí)間交換（3）求10點(diǎn)時(shí)甲、乙兩車的距離（參考數(shù)據(jù)：，）（1）在abc中，acb60°，（2）甲車從車站a開到車站c約用時(shí)間為（小時(shí)）60（分鐘），即9點(diǎn)到c站，至9點(diǎn)零10分開出乙車從車站b開到車站c約用時(shí)間為（小時(shí)）66（分鐘

8、），即9點(diǎn)零6分到站，9點(diǎn)零16分開出則兩名旅客可在9點(diǎn)零6分到10分這段時(shí)間內(nèi)交換到對(duì)方汽車上（3）10點(diǎn)時(shí)甲車離開c站的距離為，乙車離開c站的距離為，兩車的距離等于 9 如圖所示，某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動(dòng)室，已知已有兩面墻的夾角為60°（即），現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米（兩面墻的長(zhǎng)均大于6米），為了使得小老虎能健康成長(zhǎng)，要求所建造的三角形露天活動(dòng)室盡可能大，記，問當(dāng)為多少時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大？解：在中，由正弦定理：3分化簡(jiǎn)得： 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8分即12分所以當(dāng)即時(shí)，=14分答：當(dāng)時(shí)，所建造的

9、三角形露天活動(dòng)室的面積最大。15分另解：（下同）10 某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口o北偏西30°且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小船沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由30°aocd解：（1）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，則s 故當(dāng)

10、t時(shí)，smin10，此時(shí)v30即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?）如圖，由（1）得oc10，ac10，故ocac，且對(duì)于線段ac上任意點(diǎn)p，有opocac而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在a、c（包含c）的任意位置相遇設(shè)cod（0），則在rtcod中，cd10tan，od，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為t和t，所以 ，解得v又v30，故sin()，從而由于時(shí)，tan取得最小值，于是當(dāng)時(shí)，t取得最小值.此時(shí)，在aob中，oaodad20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪

11、船相遇三角函數(shù)應(yīng)用舉例例題選講【例1】如圖，塔ab和樓cd的水平距離為80米，從樓頂c處及樓底d處測(cè)得塔頂a的仰角分別為450和600，試求塔高與樓高(精確到0.01米)(參考數(shù)據(jù)：1.41421，1.73205)分析：此題可先通過解rtabd求出塔高ab，再利用cebd80米，解rtaec求出ae，最后求出cdbeabae解：在rtabd中，bd80米，bad600 ab(米) 在rtaec中，ecbd80米，ace450 aece80米 cdbeabae(米) 答：塔ab的高約為138. 56米，樓cd的高約為58. 56米【例2】如圖，直升飛機(jī)在跨河大橋ab的上方p點(diǎn)處，此時(shí)飛機(jī)離地面的

12、高度po450米，且a、b、o三點(diǎn)在一條直線上，測(cè)得大橋兩端的俯角分別為，求大橋ab的長(zhǎng)(精確到1米，選用數(shù)據(jù)：1.41，1.73)分析：要求ab，只須求出oa即可?？赏ㄟ^解rtpoa達(dá)到目的解：在rtpao中，pao oa(米) 在rtpbo中，pbo obop450(米) aboaob(米)答：這座大橋的長(zhǎng)度約為329米評(píng)注：例1和例2都是測(cè)量問題(測(cè)高、測(cè)寬等)，解這類問題要理解仰角、俯角的概念，合理選擇關(guān)系式，按要求正確地取近似值【例3】一艘漁船正以30海里小時(shí)的速度由西向東追趕魚群，在a處看見小島c在船的北偏東600方向，40分鐘后，漁船行至b處，此時(shí)看見小島c在船的北偏東300方向

13、，已知以小島c為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的可能？分析：此題可先求出小島c與航向(直線ab)的距離，再與10海里進(jìn)行比較得出結(jié)論解：過c作ab的垂線cd交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)d ， ， 10 這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域評(píng)注：此題是解直角三角形的應(yīng)用問題中的一個(gè)重要題型航海問題，解這類題要弄清方位角、方向角的概念，正確地畫出示意圖，然后根據(jù)條件解題 【例4】某水庫(kù)大壩橫斷面是梯形abcd，壩頂寬cd3米，斜坡ad16米，壩高8米，斜坡bc的坡度13，求斜坡ab的坡角和壩底寬ab分析：此題可通過作梯形的高，構(gòu)造直

14、角三角形使問題得以解決解：作deab，cfab，垂足分別為e、f在rtade和rtbcf中 a300 又， bf3cf3×824 abaeefbf(米)答：斜坡ab的坡角a300，壩底寬ab為米。評(píng)注：此類問題首先要弄清楚坡角與坡度的關(guān)系（坡度是坡角的正切值），其次是作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形練習(xí)精選1如圖，蘇州某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為20cm，深為30cm，為了方便殘疾人士，擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起始點(diǎn)為a，斜坡的起始點(diǎn)為c，現(xiàn)將斜坡的坡角bca設(shè)計(jì)為12°，求ac的長(zhǎng)度(精確到1cm)2已知：在abc中，c90°，點(diǎn)d在bc上，若b，adc

15、，bdm，求cd的長(zhǎng)3已知水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形abcd，壩頂寬bc4米，壩高be18米，斜坡ab的坡角的余弦值為0.8，斜坡cd的坡度11，求斜坡ab和壩底寬ad的長(zhǎng)4年某省將地處a、b兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便a、b兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2km的a、b兩地之間修筑一條筆直公路(即圖中的線段ab)，經(jīng)測(cè)量，在a地的北偏東60°方向、b地的西偏北45°方向的c處有一個(gè)半徑為0.7km的公園，問計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿過公園?為什么?5如圖，自卸車廂的一個(gè)側(cè)面是矩形abcd，ab3米，bc0.5米，車廂底部離地面1.2米，卸貨時(shí)，車廂傾斜的角度，

16、問此時(shí)車廂的最高點(diǎn)a離地面多少米？（精確到1米）解：過點(diǎn)a、d分別作ce的垂線ag、df，垂足分別為g、f，過d作dhag于h，則有：于是a點(diǎn)離地面的高度為（米）答：車廂的最高點(diǎn)a離地面約為4米6如圖所示，cd是平面鏡，光線從a點(diǎn)出發(fā)經(jīng)cd上點(diǎn)e反射后照射到b點(diǎn)，若入射角為(入射角等于反射角），accd，bdcd，垂足分別為c、d，且ac3，bd6，cd11，求的值7水池邊一個(gè)高1.8米的人看到對(duì)面池邊一棵樹上有一只鳥，向上望仰角為45°，而看鳥在水中的像在池中的俯角為60°，如圖求這只鳥相對(duì)于水池的高度8臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍10km范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)

17、暴，有極強(qiáng)的破壞力據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市a的正南方向220kmb處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15kmh的速度沿北偏東30°方向往c移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響(如圖所示)(1).該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說明理由。(2).若會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)?(3).該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)?9城市規(guī)劃期間，欲拆除一電線桿ab(如圖)已知距電線桿ab水平距離14米的d處有一個(gè)大壩，背水坡cd的坡度i10.5，壩高cf為2米在壩頂c處測(cè)得桿頂

18、a的仰角為30°，d、e之間是寬為2米的人行道試問：在拆除電線桿ab時(shí)，為確保行人安全，是否需要將此人行道封上？請(qǐng)說明理由(地面上，以b為圓心，以ab長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)域)(精確到0.1米)10如圖，沿水庫(kù)攔水壩的背水坡將壩頂加寬2米，坡度由原來的1：2改成現(xiàn)在的1：2.5，已知壩高6米，攔水壩長(zhǎng)50米，(1)求加寬部分橫斷面afeb的面積；(2)完成這一工程需要多少方土?11已知：如圖，bcac，ad，bd，求ac和bc的長(zhǎng)12如圖，有一靜止的廣告氣球。浮在空中，小飛由山腳下一點(diǎn)a處測(cè)得氣球o的仰角為45°他又從點(diǎn)a處沿傾斜角為20°42的山坡前進(jìn)1200m到b處，再次測(cè)得氣球o的仰角為65°，你能幫小飛利用測(cè)得的數(shù)據(jù)計(jì)算出氣球o離地面的高度嗎？(結(jié)果精確到1m)13已知在銳角abc中，abac，bc4，d是ac邊上一點(diǎn)，adcd31，求(1)