線性代數(shù)性質公式整理

1、線性代數(shù)第一章行列式一、相關概念a11a12···a1na21a22···a2n | 是所有取自不同行不同列的n 個元素的乘積1.行列式 n 階行列式 | ············an1an2···annaa2j 2···a1j 1nj n的代數(shù)和，這里 j是 1， 2，··· n 的一個排列。當 j是偶排列時，該項的前面帶1j

2、2 ···jn1 j2 ···jn正號；當 j是奇排列時，該項的前面帶負號，即1 j2···jna11a12···a1na21a22···aj ···j2n| =j···j(-1)1 2na1ja2j···anj(1.1)j112···········

3、;·2nnan1an2···ann這里 表示對所有 n 階排列求和。式(1.1)稱為 n 階行列式的完全展開式。j1 j2 ···jn2.逆序與逆序數(shù) 一個排列中， 如果一個大的數(shù)排列在小的數(shù)之前，就稱這兩個數(shù)構成一個逆序。一個排列的逆序總是稱為這個排列的逆序數(shù)。用表示排列 j的逆序j12 ···jn1 j2···jn數(shù)。3.偶排列與奇排列 如果一個排列的逆序數(shù)是偶數(shù)，則稱這個排列為偶排列，否則稱為奇排列。ab | = ad -bc，4.2 階與 3 階行列式的展開

4、 | cda11a12a13| a21a22a23| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -a13 a22 a31 - a12 a21 a33 -a11 a23 a32a31a32a33a11a12···a1n5.余子式與代數(shù)余子式a 21a 22···a2n| 中劃去 a 所在的第 i 行，第 j在 n 階行列式 | ············ijan1an2·

5、;··ann列 的 元 素 ， 剩 下 的 元 素 按 原 來 的 位 置 排 法 構 成 的 一 個n-1a11···a1,j-1a1,j+1···a1n······ ······ ······| ai-1,1···ai-1,j-1ai-1,j+1···ai-1,n| ai+1

6、,1···ai+1,j-1ai+1,j+1···ai+1,n稱為 aij 的余子式， 記為 Mij ；稱(-1)|······ ······ ······an1···an,j-1an,j+1···ann數(shù)余子式，記為Aij ，即 A ij = (-1)i+j Mij 。A11階的行列式i+j Mij

7、 為a ij 的代A21···An1A12A22···An2 ，6.伴隨矩陣 由矩陣 A 的行列式 |A| 所有的代數(shù)余子式所構成的形如 ············A1nA2n···Ann稱為 A 的伴隨矩陣，記作 A?。二、行列式的性質1.經過轉置行列式的值不變，即 |A T | = |A|行列式行的性質與列的性質是對等的。2.兩行互換位置，行列式的值變號。特別地，兩行相同(或兩行成比例

8、 )，行列式的值為 0.3.某行如有公因子 k，則可把 k 提出行列式記號外。4. 如果行列式某行(或列)是兩個元素之和，則可把行列式拆成兩個行列式之和：a + b1a2+ b2a3+ b3a1a2a3bb2b113| c1c2c3| = | c1c2c3 | + | c1c2c3 |d 1d2d 3d1d 2d3d1d 2d35.把某行的 k 倍加到另一行，行列式的值不變：a1a2a3a1a2a3| b1b2b3| = |b 1 + ka1b2 + ka 2b 3 + ka3|c1c2c3c1c2c36.代數(shù)余子式的性質行列式 任一行元素 與 另一行元素的代數(shù)余子式乘積之和為 0三、行列式展

9、開公式n 階行列式的值等于它的任何一行(列 )元素，與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即| A| = ai1 Ai1+ ai2 A i2+···+ain Ain = k=1naik A ik|A| 按 i 行展開的展開式| A| = a1j A1j+ a2j A2j+···+anj Anj = k=1nakj Akj|A| 按 j 列展開的展開式四、行列式的公式1.上(下 )三角形行列式的值等于主對角線元素的乘積；n(n-1)2.關于副對角線 的 n 階行列式的值 | A| = (-1)2 a1n a2,n-1··&#

10、183;an13.兩個特殊的拉普拉斯展開式：如果 A 和 B 分別是 m 階和 n 階矩陣，則A?AO| = | =A·BOB?B|OAOA| = (-1)mn|A| |B| = |B?·B?11···1x1x2···xn4.范德蒙行列式|x12x22···xn2| =1 j i n(xi -xj )··· ······xn-1xn-1n-112···xn5.抽象 n

11、 階方陣行列式公式(矩陣 )若 A、B 都是 n 階矩陣， A?是 A 的伴隨矩陣， 若 A 可逆， i(i =1,2 ,n) 是 A 的特征值：T| =|A|；|?| =?|AB|=|A|B|；22；?|A|n-1|A? |?|；| A| =| A|A|=-1| =1 ；|A| =n；若 ?，則 |?| = |?|，且特征值相同 。| A| A|i=1i?=?|?|?=?一般情況下： |?±?| |?| ±|?|五、行列式的計算1.數(shù)字型行列式將行列式化為上下三角，再按行或列展開；化簡技巧：將每列(行 )都加到同一列 (行 )，或者將每列 (行 )ki 倍都加到同一列(行

12、 )。逐行 (或逐列 )相加利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展開式數(shù)學歸納法驗證n=1 時命題正確；假設n=k 時命題正確；證明 n=k+1 時，命題正確。驗證 n=1 和 n=2 時命題都正確， 假設 n<k 命題正確，證明 n=k，命題正確。對于 n 階的三對角行列式，通?？捎脭?shù)學歸納法。2.抽象型行列式 通常與矩陣一起考，利用行列式的性質(倍加、提公因數(shù)k、拆項 )等來恒等變形；也可能利用矩陣的運算、公式、法則、特征值、相似。利用單位矩陣-?-?= ?= ? ? 恒等變形來計算 |A+B| 形式的行列式。3.行列式 |A| 是否為 0的判定若 A=1 , 2 , ·

13、3;·,n是 n 階矩陣，那么行列式 |A|=0?矩陣 A 不可逆?秩 r(A)<n?Ax=0 有非零解?0 是矩陣 A 的特征值?A 的列 (行 )向量線性相關。否為因此，判斷行列式是否為0，常用：秩；齊次方程組是否有非零解；看特征值是0；反證法；若|A|=k|A|，且 k 1 時也能得出 |A|=04.代數(shù)余子式求和按定義直接計算求和；用行列式的按行或列展開的公式。由于A ij 的值與 aij 的值沒有關系，故可以構造一個新的行列式 |B| ，通過求新行列式的代數(shù)余子式間接求出原行列式的代數(shù)余子式。P205 例利用行列式任一行元素與 另一行元素的代數(shù)余子式乘積之和為0 的性

14、質根據伴隨矩陣?的定義，通過求?再來求和。20第二章矩陣一、矩陣的概念及運算a11a12···a1n矩陣 m× n 個數(shù)排成如下 m 行 n 列的一個表格 a 21a22···a2n 稱為是一個 m× n············a m1am2···amn矩陣，當 m=n 時，矩陣 A 稱為 n 階矩陣或 n 階方陣。如果一個矩陣所有元素都是0，則稱為零矩陣，記作 O。

15、兩個矩陣 A = a ij m×n， B = b ij ，如果 m=s， n=t，則稱 A 與 B 是同型矩陣s×t兩個同型矩陣如果對應的元素都相等，則稱矩陣A 與 B 相等，記作 A=B。矩陣 A 是一個表格，而行列式 |A| 是一個數(shù)。二、矩陣的運算1.(加法 )設 A、 B 是同型矩陣，則 A + B = a ij m×n + b ij =a ij + bij m×nm×n2.(數(shù)乘 )kA = ka ij m×n = ka ij m×n3.(乘法 )若 A 為 m× s 矩陣， B 為 s× n

16、矩陣，則 A、B 可乘，且乘積 AB 是一個 m× n 矩陣。記成C=AB = c ij m×n，其中 cij = k=1saik b kj = ai1 b1j + ai2 b 2j+···+ais b sj4.轉置將矩陣 A 的行列互換得到矩陣 A 的轉置矩陣 AT三、矩陣的運算規(guī)則ABC 為同型矩陣，則1.加法A+ B= B+ A；(A+ B) + C= A+ (B+ C)；A+ O= A；A+ (-A)= O2.數(shù)乘 k( mA ) = (km )A = m ( kA) ；( k + m) A = kA + mA ；k ( A + B)

17、= kA + kB ；1A= A；0A = O3.乘法ABC滿足可乘條件()()()ABC = ABC； AB+ C = AB+ AC；(B + C)A = BA+ CA注意一般情況下 AB BA ?= ?不能推出 ?=?或 ?= ?= ?且 ? ?，不能推出 ?= ?a100b100a1b200對角矩陣 AB= 0a20=0b 20 = 0a2 b20 0 0 a300 b300a3 b 31a1-1a11a2對角矩陣的逆矩陣=a 2a31a 34.轉置 (A + B) T = AT +BT ；(kA) T = kA T ；(AB) T = BT；(AT)T = A5.伴隨矩陣 A? =|A

18、|A -1；AA? = A?A = |A|E ；? -?-?=1(|A|0) ；( ?)= (?)|A| A?=? ?(kA )?= kn-1?( ?)(?)；A ；(A?)? =|A| n-2A (n 2)6.方陣的冪 (A k )l= Akl ， Ak Al = Ak+l注意(AB) k= ( AB)( AB) ···(AB) Ak Bk(A + B) k = A2 + AB + BA + B2 A2 + 2AB + B2(A+ B)(A-B) = A2- AB+ BA-B2 A2 - B2?7.特殊方陣的冪 (求 ? )若秩 r ( A) =1，則 A 可以

19、分解為兩個矩陣的乘積，有例如P218特殊的二項式展開(E + B) n|A?| = |A| n-1 ；A2 = lA ，從而 An = l n-1 A分塊矩陣 BO n= BnOn OCOC特征值、特征向量、相似簡單試乘后如有規(guī)律可循，再用歸納法。四、特殊矩陣設 A 是 n 階矩陣：單位陣：主對角元素為1，其余元素為 0，記成 En或 I n數(shù)量陣：數(shù) k 與單位矩陣 E 的積 kE 稱為數(shù)量矩陣。對角陣：非對角元素都是0 的矩陣稱為對角陣，記成。 = diaga 1， a2 ， ···，an ()上 (下 )三角陣：當 i > ?i < ?時，有 a

20、ij = 0的矩陣稱為上 (下)三角陣。對稱陣：滿足AT = A，即 aij = aji 的矩陣稱為對稱陣反對稱陣：滿足AT = -A ，即 aij = -a ji ， aii = 0的對稱陣稱為反對稱陣。正交陣： AT A = AAT = E 的矩陣稱為正交陣，即 AT= A-1初等矩陣：單位矩陣經過一次初等變換所得到的矩陣。伴隨矩陣：見 (一 .1.6)A? = |A| ·A-1五、可逆矩陣1.主要定理 ：若 A 可逆則 A 的逆矩陣唯一且|A| 不為 0。行列式不為0 則矩陣可逆。2.概念 設 A 是 n 階方陣如果存在n 階矩陣 B 使得 AB = BA = E成立， 則稱

21、A 是可逆矩陣或非奇異矩陣，B 是 A 的逆矩陣，記成A-1 = B3.可逆的充要條件存在n 階矩陣 B 使得 AB=E |A| 0 ，或秩 r(A)=n，或 A 的列 (行 )向量線性無關齊次方程組 Ax=0 只有零解矩陣 A 的特征值不全為04.逆矩陣的運算性質 若 k 0 ，則 (kA) -1 =1A-1k若 A， B 可逆，則 (AB) -1= A-1 B-1；特別地 ( A2 )-1 =(A-1 )2若 AT可逆，則 ( AT )-1=( A-1 )T；( A-1 )-1 = A；| A-1| =1|A|注意，即使 A,B,A+B 都可逆，一般地 (A + B) -1 A-1+ B-

22、15.求逆矩陣的方法 若| |-1 =1A?A 0，則 A|A|行初等變換(E|A -1 )初等變換(A|E) 用定義求 B，使得 AB=E或 BA=E，則 A 可逆且 A-1 = B分塊矩陣，設B,C 都可逆，則B O-1= B-1O； O B -1= OC-1 O CO C-1C OB-1O六、初等變換、初等矩陣1.主要結論： 用初等矩陣 P 左乘 A，所得 PA 矩陣就是矩陣A 做了一次和矩陣P 同樣的行變換；若是右乘就是相應的列變換。2.初等變換 設 A 是 m ×n 矩陣， (倍乘 )用某個非零常數(shù) k( k 0) 乘 A的某行 (列 )的每個元素， (互換 )互換 A 的

23、某兩行 (列)， (倍加 )將 A 的某行 (列 )元素的 k 倍加到另一行 (列 )。稱為初等變換。3.初等矩陣 由 E 經過一次初等變換所得的矩陣100倍乘初等矩陣 E2 ( k) = 0k0001010互換初等矩陣 E12 = 100001100倍加初等矩陣 E31 (k ) = 010 k014.等價矩陣 矩陣 A 經過有限次初等變換變成矩陣B，則稱 A 與 B 等價，記成 A ? B。若A ? EOr OO ，則后者稱為 A 的等價標準形。 (A 的等價標準型是與 A 等價的所有矩陣中的最簡矩陣。 )5.初等矩陣與初等變換的性質 初等矩陣的轉置仍然是初等矩陣；初等矩陣均是可逆矩陣且其

24、逆矩陣仍是同一類型的初等矩陣E-11E-1= Eij ，E-1( k) = Eij (-k )( k) = Ei ( ) ，ikijij P1 AP2 左行右列當 A 時可逆矩陣時，則A 可作一系列初等行變換成單位矩陣，即存在初等矩陣P1 ，P2 ，···， PN ，使得 PN ···P2P1A = E七、矩陣的秩1.求秩的主要方法：經過初等變換矩陣的秩不變；如果 A 可逆，則 r(AB)= r(B) ， r(BA) = r(B)2.矩陣的秩 設 A 是 m× n 矩陣，若 A 中存在 r 階子式不等于 0，且所有 r+1

25、階子式均為 0，則稱矩陣 A 的秩為 r，記成 r(A) ，零矩陣的秩規(guī)定為 0。3.矩陣的秩的性質r(A) = r ? 矩陣 A 中非零子式的最高階數(shù)是rr(A) < ?A 中每一個 r 階子式全為 0r(A) r ?A 中有 r 階子式不為 0特別地， r ( A) = 0 ? A = O ； A O ?r(A) 1若 A 是 n 階矩陣， r(A)= n ?|A| 0 ?A 可逆( )< n ?|= 0 ?A 不可逆r AA若 A 是 m× n 矩陣，則 r(A min m, n )4.矩陣的秩的公式(A)=r(AT ) ；r( AT A) = r(A)r當 k 0

26、時， r( kA) = r(A) ；r ( A + B) r ( A) + r (B)r() min () (B)；若 A 可逆，則 r(AB)= r(B) ， r(BA) = r(B)ABrA ,r若 A 是 m× n 矩陣， B 是 n× s 矩陣， AB=O，則 r ( A) + r ( B) n分塊矩陣 r ( AO()()。O) = rA+ rBB八、分塊矩陣1.概念 將矩陣用若干縱線和橫線分成許多小塊，每一小塊稱為原矩陣的子矩陣(或子塊 )，把子塊看成原矩陣的一個元素，則原矩陣叫分塊矩陣。由于不同的需要，同一個矩陣有不同的方法分塊，可以行分塊，以列分塊等。2.分

27、塊矩陣的運算對矩陣適當?shù)胤謮K處理(要保證相對應子塊的運算能夠合理進行)，就有如下運算法則：A1A2B1B2A1+ B1A2+ B2ABXYAX+ BZ AY+ BW A3A4+ B3B4 = A3 + B3A4+ B4C DZ W = CX+ DZ CY + DWA BT = ATCT C DBTDT若 B,C分別是 m 階與 s 階矩陣，則 BO n= BnOn ，OCOC若 B,C分別是 m 階與 s 階可逆矩陣， 則 B O-1B -1O，O B-1O C-1O=O-1CO= -1OCCB若 A 是 m× n 矩陣， B 是 n× S 矩陣且 AB=O，對 B 和 O

28、 矩陣按列分塊有1 , 2, ···,s=A1···,0AB= A,A2, ···,As= 0,0,Ai = 0 (i= 1,2,···,s)即B的列向量是齊次方程組Ax = 0 的解。線性表出 P214第三章、向量一、 n 維向量的概念與運算所構成的一個有序數(shù)組成為n 維向量，記成1.n維向量 n個有序數(shù)組a1, a , ···,a2n(a1,a2)(a1, a2)T ，分別稱為 n 維行向量或n 維列向量，數(shù) a 稱為向量的第i 個i, &#

29、183;··,an或, ···,an分量。2.零向量 所有分量都是0 的向量稱為零向量，記為0T與 n 維向量 ?=(bT相等，即3.相等 n 維向量 ?= (a 1 ,a2, ···,an)1 ,b 2 , ···,bn)?= ?a= b, a=b, ···,a=bn1122n4.運算n 維向量 ?=T與?=(b1T(a 1 ,a2 , ···,an),b 2 , ···,bn)(加法 )?+

30、?= (a 1 + b1, a2 + b2 , ···,an+bn ) T?+ ?=?+ ?，()?+()?+ ?= ?+ ?= ?+ ? + ?=?+ ?，(數(shù)乘 )Tk?= ( ka 1,ka 2, ···,kan1 ·?= ?，k()()?=k?+ l?，()l? = (kl)?，k + lk?+ ? = k?+ k?(內積 )()?,? = a1b 1 + a2b2 +···+anb n = ? ?= ? ?()222?222 為向量 ?的長度。a1+ a+··

31、83;+a= ? ?，稱 a + a2+···+a?,? =2n1n()()()()()?,? =?,?k?,? =k?,? =?,k?(?+?,?) =( ?,?) + ( ?,?) ， ( ?,?) 0，等號成立當且僅當?= ?。特別地，如()，則稱 ?與?正交?,? = 0二、線性表出、線性相關及 m 個數(shù) k1所構成的向量1.線性組合 m 個 n 維向量 ?,? ?,? ···,?,k 2 , ···,kmk ? + k ? +···+km?1?2?稱為向量組 ?的一

32、個線性組合，數(shù)k1, k2稱為組合系數(shù)。?,?,? ···,?, ···,km2.線性表出 對 n 維向量 ?和 ?，如果存在實數(shù) k，使得?,?,?···,?1 ,k 2 , ···,ksk1? + k? +···+k?= ?2?s?則稱向量 ?是向量 ?的線性組合，或者說向量?可由 ?線性表出。?,?, ···,?, ?,? ···,?設有兩個 n維向量組 () ?；如果 ( )中每

33、個向量 ?都可?,?,?···,?；( ) ?,?, ···,?由( )中的向量 ?,? , ···,?線性表出，則稱向量組 ( )可由向量組 ( )線性表出。? ?如果 ( ) 、( )這兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價 。等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性。向量組和它的極大線性無關組是等價向量組。向量組的任意兩個極大無關組是等價向量組。等價的向量組有相同的秩，但秩相等的向量組不一定等價。，如果存在不全為零的數(shù) k,k，使得3.線性相關、無關 對于,?, ··

34、83;,?1, ···,kn 維向量 ? ?2sk ? + k ? +···+k ? = ?1 ?2?s?則稱向量組 ?線性相關，否則稱它線性無關。?,?,? ···,?關于線性無關，只要 k1不全為零，必有 k1 ?+ k 2?+···+ks ? ?，或者，當,k 2 , ···,ks且僅當 k1= k2=···=k= 0 時，才有 k? + k? +···+k?= ?s1?2?s ?顯然，含有：零向量，相等向量，坐標成比例的向量組都是線性相關的，而階梯形向量組一定是線性無關的。證明 ：證明線性無關通常的思路是： 用定義法 (同乘或拆項重組 )，用秩 (秩等于向量個數(shù)則線性無關 )，齊次方程組只有零解或反證法。4.重要定理 x1x 2 n 維向量組 ?, ?, ·