初中數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)1

1、初中數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)一 應(yīng)用方程處理問題在進入了二十一世紀(jì)的今天，世界的高科技迅猛發(fā)展，帶動了各學(xué)科的發(fā)展，數(shù)學(xué)也是一樣，特別是計算機的應(yīng)用，給數(shù)的發(fā)展助以強大的動力。在這種情況下，數(shù)學(xué)教育更加重視提高人的素質(zhì)，強調(diào)了加強應(yīng)用意識，發(fā)展創(chuàng)造能力，這是教育中帶有方向性的問題。 在中學(xué)數(shù)學(xué)里加強了問題解決的培養(yǎng)和訓(xùn)練，由一般性問題解決向開放性問題解決發(fā)展，因此列方程解應(yīng)用題被人們更加重視起來。列方程解應(yīng)用題的內(nèi)容很豐富，列方程解應(yīng)用題不僅要求能熟練地解方程，而且要求具有從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式和方程將這種關(guān)系表達出來的能力。這就需要有較強的分析能力和綜合能力?！究键c解析】 例. 張清是運

2、輸公司的經(jīng)理，他接受了這樣的運輸任務(wù)：把第一倉庫的50噸面粉和第二倉庫的70噸面粉運往甲、乙兩個面包加工廠，其中甲廠接收40噸面粉，乙廠接收80噸面粉。顯然，張清是可以安排出很多運輸方案的，考慮到廠家的利益，要使總的運費最省，如果1噸面粉的運輸費用如表一所示，那么，張清應(yīng)該怎樣安排運輸任務(wù)才能使總的運費最低？表一 分析：這是一個生產(chǎn)實際問題，在我們的日常生活中經(jīng)常遇到，首先應(yīng)把這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。表二 解：假設(shè)張清安排的運輸方案如表二，那么應(yīng)滿足下面的數(shù)量關(guān)系： 也就是說我們得到了有四個未知量，三個獨立方程組成的四元一次方程組，因此，可以把分別用表示出來。 如果設(shè)總運費為N，那么有 所

3、以，只要取最大值40，總運費N取最小值670，也就是說，由第一倉庫給甲廠運40噸面粉，給乙廠運10噸面粉，再由第二倉庫給乙廠運70噸面粉，即完成了給定任務(wù)，還使總運費最省，共計670元。 點評：本題是2001年北京市海淀區(qū)數(shù)學(xué)中考說明當(dāng)中的一道題，是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用問題。本題充分運用了方程的思想，用消元的方法把分別用表示出來，然后由的取值范圍確定運費N的最小值?！纠}分析】 例1 一件工作，由甲單獨作需要24個小時，由乙單獨做需要18個小時，現(xiàn)在先由甲單獨作6個小時，剩下的部分由甲、乙合作，完成這件工作需要幾小時？ 分析：若直接設(shè)元，則設(shè)完成這件工作需要x個小時，列方程解出x即可。若間接選元則可以

4、設(shè)甲、乙合作用了x個小時，則x6就是問題要求的未知量。 解法1：(直接設(shè)元)設(shè)完成這件工作共需x個小時，由已知甲先工作了6個小時，則甲、乙合作了(x6)個小時。設(shè)全部工作量為1，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，根據(jù)題意列方程： 答：共需小時完成全部工作。 解法2：(間接設(shè)元)設(shè)甲先工作6小時后，甲、乙又合作x個小時，由題意，得： 整理得： 答：完成這件工作需小時。 小結(jié)：本題解法1和解法2表示了兩種選元方法，一般地說，當(dāng)直接選元比較難解時，可以采用間接選元的方法。 例2 一個三位數(shù)，它的百位上的數(shù)比十位上的數(shù)的2倍大1，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)的3倍小1。如果這個三位數(shù)的百位上的數(shù)字和個位上的

5、數(shù)字對調(diào)，那么得到的三位數(shù)比原來的三位數(shù)大99。求原來的三位數(shù)。 分析：這個問題如果直接選元，很難列出方程，所以適合間接選元。因為百位上的數(shù)和個位上的數(shù)都和十位上的數(shù)直接發(fā)生聯(lián)系，故可選十位上的數(shù)為元。 解：設(shè)原來的三位數(shù)的十位上的數(shù)為x，則它的百位上的數(shù)為2x1，個位上的數(shù)為3x1，這個三位數(shù)表示為： 100(2x1)10x(3x1) 把這個三位數(shù)百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字對調(diào)后得到： 100(3x1)10x(2x1) 根據(jù)題意，得方程： 100(3x1)10x(2x1)100(2x1)10x(3x1)99 解這個方程，得： 99x19899 答：原來這個三位數(shù)是738。 例3 一輪船從一號

6、橋逆水開往二號橋，開過2號橋20分鐘以后到達A處，發(fā)現(xiàn)在二號橋處失落一根圓木，船即返回追圓木，結(jié)果在一號橋追上。已知兩橋相距2公里，求水流速度。 分析：這個題需要設(shè)輔助未知數(shù)來解決。因為題目只給了開過二號橋20分鐘和兩橋間相距2公里。如果只設(shè)水流速度為每分鐘x公里是列不出方程的。這就需要設(shè)船速為輔助未知數(shù)，以建立等量關(guān)系列出方程。 解：設(shè)船速為每分鐘a公里，水流速度為每分鐘x公里，依題意列方程： 經(jīng)檢驗知是原方程的解，并且符合題意。 答：水流速度為每分鐘0.05公里。 例4 已知鹽水若干升，第一次加入一定量的水后，鹽水的濃度變?yōu)?；第二次又加入同樣多的水后，鹽水的濃度變?yōu)?，求第三次加入同樣多

7、的水后鹽水的濃度。 解：本題需設(shè)輔助未知數(shù)。設(shè)原有鹽水a(chǎn)升，每次加入水量是b升，且設(shè)第三次加入水后，鹽水濃度為x，依題意列方程組： 由(1)得： 得ab 代入(2)得： 答：第三次再加入同樣多的水后，鹽水濃度為1.5。 小結(jié)：例3和例4都要把輔助未知數(shù)消去，簡稱消去參數(shù)?！灸M試題】 1. 一件工作甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，現(xiàn)在甲先做3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？ 2. 甲乙兩地相距12千米，小張從甲地到乙地，在乙地停留半小時后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地，已知兩人同時分別從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過4小時后，他

8、們在返回的途中相遇，如果小張速度比小王速度每小時多走1.5千米，求兩人的速度。 3. 有某種農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升，再用水補滿，于是測得桶中農(nóng)藥與水的比為18：7，求桶的容積。 4. 小船航行于內(nèi)河的A、B兩個碼頭之間逆流而上需要航行6小時，已知小船在靜水中航行AB這段路程比順流而下要多用1小時，求小船順流而下航行所需時間。 5. 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲走10米后兩人第一次相遇，然后甲繼續(xù)向前走到B處立即返回，乙繼續(xù)向前走到A處立即返回，在距離B點6米處二人第二次相遇，問A、B兩地相距多少米？ 6. 某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100公里。團

9、體中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速8公里，汽車時速40公里。問要使大家在下午4點鐘同時到達乙地，必須在什么時候出發(fā)？ 7. 某縣農(nóng)機廠金工車間共86個工人，已知每個工人平均可加工甲種部件15個，或乙種部件12個，或丙種部件9個，問應(yīng)安排加工甲種部件、乙種部件和丙種部件各多少人，才能使加工后的3個甲種部件、2個乙種部件和1個丙種部件恰好配套。 8. 一支隊伍以a公里/小時的速度前進，一名通訊員要傳送命令，從排頭走到排尾，再回到排頭，此時隊伍進行的路程正好等于隊伍的長度，求通訊員的速度?！疽呻y解答】 A. 教師自己設(shè)計問題：

10、 1. 解答題的第6小題的問題實質(zhì)是什么？ 2. 解答題的第7小題能不能用兩種方法來解？ 3. 解答題的第8小題怎樣設(shè)輔助未知數(shù)？ B. 對問題的解答： 1. 答：這個問題實質(zhì)上要求的是如果按題設(shè)的行走方式，至少需要多少個小時。注意到先坐車的人和先步行后坐車的人所用的時間總量是相等的，利用這個等量關(guān)系可以列方程。 解：設(shè)先坐車的一部分人下車地點距甲地x公里，這一部分人下車地點距另一部分人的上車地點相距y公里。如圖所示：(從甲地到乙地100公里) 汽車走(xy)公里的時間與先步行后乘車的那一部分人從甲地走到上車點所用的時間相等，列出方程為： 先乘車后步行的一部分人從下車點到終點步行所用的時間等于

11、汽車從下車點返回接另一部分人到終點所用的時間，得出方程為： 解方程組 答：要使大家下午4點鐘同時到達目的地，必須在中午11點出發(fā)。 2. 答：本題若用方程組解，設(shè)安排加工甲種部件需x人，乙種部件需y人，丙種部件需z人能使加工的三種部件按要求配套。根據(jù)等量關(guān)系列方程組： 設(shè)加工后的丙種部件有x個，那么甲種部件有3x個，乙種部件有2x個。根據(jù)題意列方程： 以上兩種解法，第一種方法直接設(shè)元，第二種方法是間接設(shè)元。 3. 答：分析：本題的已知量僅有a公里/小時，未知量僅有通訊員的速度，必須設(shè)輔助未知量，設(shè)隊伍的長度為公里，通訊員的速度為x公里/小時。 根據(jù)題意得方程： 解得：試題答案 1. 設(shè)整個工作

12、量是1，乙還需x天完成。 列方程 2. 設(shè)小張速度是x千米/小時，小王速度是y千米/小時。 列方程組： 3. 設(shè)桶的容積為x升。 列方程 答：x40升。 4. 小船順流而下需航行x小時，小船在靜水中速度為a千米/小時，水流速度為b千米/小時。 列方程組 5. 設(shè)兩地相距為x米 則。 6、7、8題見疑難解答。二 用辯證思維解題數(shù)學(xué)世界豐富多彩，又充滿矛盾，滲透著辯證法。解題時不妨進行辯證思維，這樣可以激活求知的欲望，培養(yǎng)思維的品質(zhì)，給解題帶來耳目一新的感覺。一、順向與逆向 例1. 求的值。 解析：順向與逆向是對立的，囿于順向思維有時會給解題平添難度。 原式 二、常量與變量 例2. 如圖，已知正比

13、例函數(shù)和的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)分別交于A、B兩點，過A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D。設(shè)和的面積分別為和，則與的大小關(guān)系是（ ） 不確定的 解析：由可得。很顯然，若點是函數(shù)圖像上的任意一點，過P作軸于Q，則的面積是一個常量，都等于，與點P在圖像上的位置無關(guān)。所以，選B答案。三、直接與間接 例3. 有一片牧場，假設(shè)草每天都在勻速生長（草每天增長量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；若放牧21頭牛，則8天吃完牧草，如果每頭牛每天吃草的量是相等的。問： （1）要使牧草永遠吃不完，最多放牧幾頭牛？ （2）如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？ 解析：草生長與牛吃草是一組反向的量，

14、我們可把草生長的速度和牛吃草的速度分別看作是水流速度和船速。由，可得草減少的速度。 （1）設(shè)草的總量為S，每天生長的速度為，每頭牛每天吃草量為，則 由(1)(2)得，即草的生長量等于12頭牛每天的吃草量，所以最多放牧12頭牛，使牧草永遠吃不完。 （2）由（1）知，則 故放牧16頭牛18天可以吃完草。四、整體與局部 例4. 若，且有及，則的值是_。 解析：若按常規(guī)方法，先求出a、b的值，再求出的值，則十分繁瑣，而將化為，利用所給的兩個方程，此題就迎刃而解了。 （顯然不是方程的解） 故a與都是方程的根，但，由，得a與是此方程的兩相異實根，從而，即此題應(yīng)填。五、一般與特殊 例5. 在中，于D，于F，

15、AD與CF相交于G，且，則_度。 解析：本題看起來似乎無所下手，若將“特殊”為，則D、F與B重合，這樣問題就簡單化了，可得六、正面與反面 例6. 老師在黑板上寫下這樣一道題：“已知的面積，周長，求它的內(nèi)切圓半徑”。很多同學(xué)很快求出內(nèi)切圓的半徑為3，惟獨小明認(rèn)為該題的已知條件不合時，壓根就不存在符合條件的，你認(rèn)為小明的想法正確嗎？ 解析：當(dāng)正面證明命題結(jié)論比較困難時，可從反面提出與題目結(jié)論相反的假設(shè)，得出矛盾，從而肯定原來結(jié)論成立。 假設(shè)存在符合條件的，其內(nèi)切圓半徑為r，則 ，這是不可能的。因此小明的想法是正確的。 綜上六例，靈活進行辯證思維，可以收到化繁為簡，化難為易，縝密思維的奇效。讓人萌生

16、“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的感悟。三一元二次方程的整數(shù)根一元二次方程的整數(shù)根問題難度較大，是中考特別是競賽中的爬坡題型。本文舉例說明與一元二次方程整數(shù)根有關(guān)問題的解法。 例1. 已知方程的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù)a的值。 思路分析：當(dāng)a取值不同時，方程的系數(shù)就隨之不同，方程的根的情況也就發(fā)生變化。究意什么情況下，方程的兩根都是整數(shù)呢？還是從根與系數(shù)的關(guān)系入手比較好。 解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為、，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得： （1）（2）得： 所以 或 或或 所以或或或 因為，所以 只有或符合題意，代入（2）得： 例2. 已知方程有兩個不等的負(fù)整數(shù)根，則a的值是_。 思路分析：本題的條件在“整數(shù)根”

17、的基礎(chǔ)上更進一步，變?yōu)椤柏?fù)整數(shù)根”，這對系數(shù)a有了更多的限制。另外，本題的a沒有說它是整數(shù)，難度更大了。應(yīng)當(dāng)抓住“負(fù)整數(shù)根”做文章。 解： 所以 依題意有：、均為負(fù)整數(shù)，符合此條件的僅有。 例3. 設(shè)m為自然數(shù)，且，若方程的兩根均為整數(shù)，則m_。 思路分析：題目已給出m的范圍，再加上判別式應(yīng)滿足的條件，可進一步對m加以限制，就不難求出符合條件的m值了。 解： 因為原方程的兩根均為整數(shù)，所以必為完全平方數(shù)，且必為奇數(shù)的平方。于是由得，在此范圍內(nèi)的奇完全平方數(shù)只有25和49。 所以或 所以或 經(jīng)檢驗，、24均符合題意。 誤區(qū)點撥：本題解法的最后一步檢驗雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟。因為整系

18、數(shù)一元二次方程的判別式是完全平方數(shù)只是該方程有整數(shù)根的必要條件，但不是充分條件。也就是說，為完全平方數(shù)，并不能保證方程一定有整數(shù)根，所以說，必須進行檢驗。 四例談求一次函數(shù)解析式的常見題型一次函數(shù)及其圖像是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內(nèi)容。其中求一次函數(shù)解析式就是一類常見題型?，F(xiàn)以部分中考題為例介紹幾種求一次函數(shù)解析式的常見題型。希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。一. 定義型 例1. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，求其解析式。 解：由一次函數(shù)定義知 ，故一次函數(shù)的解析式為 注意：利用定義求一次函數(shù)解析式時，要保證。如本例中應(yīng)保證二. 點斜型 例2. 已知一次函數(shù)的圖像過點（2

19、，1），求這個函數(shù)的解析式。 解：一次函數(shù)的圖像過點（2，1） ，即 故這個一次函數(shù)的解析式為 變式問法：已知一次函數(shù)，當(dāng)時，y1，求這個函數(shù)的解析式。三. 兩點型 已知某個一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別是（2，0）、（0，4），則這個函數(shù)的解析式為_。 解：設(shè)一次函數(shù)解析式為 由題意得 故這個一次函數(shù)的解析式為四. 圖像型 例4. 已知某個一次函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_。 解：設(shè)一次函數(shù)解析式為 由圖可知一次函數(shù)的圖像過點（1，0）、（0，2） 有 故這個一次函數(shù)的解析式為五. 斜截型 例5. 已知直線與直線平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為_。 解析：兩條

20、直線：；：。當(dāng)，時， 直線與直線平行，。 又直線在y軸上的截距為2， 故直線的解析式為六. 平移型 例6. 把直線向下平移2個單位得到的圖像解析式為_。 解析：設(shè)函數(shù)解析式為，直線向下平移2個單位得到的直線與直線平行 直線在y軸上的截距為，故圖像解析式為七. 實際應(yīng)用型 例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為_。 解：由題意得，即 故所求函數(shù)的解析式為（） 注意：求實際應(yīng)用型問題的函數(shù)關(guān)系式要寫出自變量的取值范圍。八. 面積型 例8. 已知直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為_。 解：易求

21、得直線與x軸交點為（，0），所以，所以，即 故直線解析式為或九. 對稱型 若直線與直線關(guān)于 （1）x軸對稱，則直線l的解析式為 （2）y軸對稱，則直線l的解析式為 （3）直線yx對稱，則直線l的解析式為 （4）直線對稱，則直線l的解析式為 （5）原點對稱，則直線l的解析式為 例9. 若直線l與直線關(guān)于y軸對稱，則直線l的解析式為_。 解：由（2）得直線l的解析式為十. 開放型 例10. 已知函數(shù)的圖像過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數(shù)解析式，并簡要說明解答過程。 解：（1）若經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖像是直線，由兩點式易得 （2）由于A、B兩點的橫、縱坐標(biāo)的積都

22、等于4，所以經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖像還可以是雙曲線，解析式為 （3）其它（略）十一. 幾何型 例11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B是x軸上的兩點，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標(biāo)為（0，3）。（1）求圖像過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式，并求其對稱軸；（2）求圖像過點E、F的一次函數(shù)的解析式。 解：（1）由直角三角形的知識易得點A（，0）、B（，0），由待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為，對稱軸是 （2）連結(jié)OE、OF，則、。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E（，）、F（，）由待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式為十二. 方程型 例1

23、2. 若方程的兩根分別為，求經(jīng)過點P（，）和Q（，）的一次函數(shù)圖像的解析式 解：由根與系數(shù)的關(guān)系得， ， 點P（11，3）、Q（11，11） 設(shè)過點P、Q的一次函數(shù)的解析式為 則有 解得 故這個一次函數(shù)的解析式為十三. 綜合型 例13. 已知拋物線的頂點D在雙曲線上，直線經(jīng)過點D和點C（a、b）且使y隨x的增大而減小，a、b滿足方程組，求這條直線的解析式。 解：由拋物線的頂點D（）在雙曲線上，可求得拋物線的解析式為： ，頂點D1（1，5）及 頂點D2（，15） 解方程組得， 即C1（1，4），C2（2，1） 由題意知C點就是C1（1，4），所以過C1、D1的直線是；過C1、D2的直線是 五應(yīng)用

24、非負(fù)性質(zhì)解題在初中代數(shù)中出現(xiàn)的非負(fù)數(shù)主要有三類： 1. 絕對值：任何一個實數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即。 2. 平方：任何一個實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，即。 3. 算術(shù)平方根：任何一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是一個非負(fù)數(shù)，即。 解題過程中巧用以上三個非負(fù)性質(zhì)可以簡捷地處理許多問題?，F(xiàn)舉例說明如下。 例1. 已知a、b為實數(shù)，且滿足，求ab的值。 分析：解決本題只需從已知等式中求出a、b值即可。應(yīng)用中的非負(fù)性質(zhì)可以立即求出b的值，從而進一步得到a的值。 解：由題意可知且 ，此時 例2. 若a、b、c滿足，求的值。 解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，且，且 例3. 已知，求的值。 解：已知等式可化為 六一些數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用在直線，射線，線段這一部分內(nèi)容中