北大版本固體物理 1

1、二、固體物理學(xué)的發(fā)展 現(xiàn)代固體物理學(xué)大致建立于本世紀(jì)三十年代，在此之前，已經(jīng)在下述四個方面為固體物理學(xué)的創(chuàng)建作了準(zhǔn)備： 1、有悠久歷史的晶體學(xué)的研究 2、固體比熱理論的建立 3、關(guān)于金屬導(dǎo)電的自由電子理論 4、關(guān)于鐵磁性的研究 三、主要內(nèi)容 固體物理是研究晶體結(jié)構(gòu)和晶體中原子、電子運動規(guī)律的學(xué)科。 不能根據(jù)固體的外形特點來判斷一種固體是否是晶體，應(yīng)當(dāng)根據(jù)固體內(nèi)部原子排列的規(guī)律性來判斷一種固體是否是晶體。若一種固體在微觀大范圍內(nèi)（微米數(shù)量級）原子的排列是有規(guī)律的、周期性的則稱為晶體，反之則不是晶體。 晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分裂成尺寸為微米數(shù)量級的顆粒，這些

2、顆裂成尺寸為微米數(shù)量級的顆粒，這些顆粒稱為晶粒。粒稱為晶粒。 在晶粒內(nèi)部原子的排列是有一定規(guī)律在晶粒內(nèi)部原子的排列是有一定規(guī)律的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的晶體稱之為多晶體。晶體稱之為多晶體。 若整個晶體中原子的排列是遵守同一若整個晶體中原子的排列是遵守同一規(guī)律，這種晶體稱為單晶體。規(guī)律，這種晶體稱為單晶體。 晶體是由相同的結(jié)構(gòu)單元組成晶體是由相同的結(jié)構(gòu)單元組成的，固體物理研究的對象是理想晶的，固體物理研究的對象是理想晶體，即在晶體中原子的排列遵從完體，即在晶體中原子的排列遵從完全的嚴(yán)格的周期性。全的嚴(yán)格的周期性。 晶體內(nèi)部原子的排列在任何地晶體內(nèi)部原子的

3、排列在任何地方都不會破壞它的周期性。若某方都不會破壞它的周期性。若某個原子的位置與周期性發(fā)生了偏個原子的位置與周期性發(fā)生了偏離就稱為缺陷，這也就是說，理離就稱為缺陷，這也就是說，理想晶體是無缺陷、雜質(zhì)的完整晶想晶體是無缺陷、雜質(zhì)的完整晶體。體。 理想晶體在各處應(yīng)遵從同一的理想晶體在各處應(yīng)遵從同一的周期性，即在邊界上的原子也應(yīng)周期性，即在邊界上的原子也應(yīng)有這樣的周期性。但實際晶體邊有這樣的周期性。但實際晶體邊界上的原子與內(nèi)部原子的周期性界上的原子與內(nèi)部原子的周期性是不一樣的。因此理想晶體應(yīng)該是不一樣的。因此理想晶體應(yīng)該是無邊界的其周期性是無限延伸是無邊界的其周期性是無限延伸的，不會在任何地方終止

4、。的，不會在任何地方終止。 只有充分研究了理想晶體只有充分研究了理想晶體以后，才能研究晶體的缺陷、以后，才能研究晶體的缺陷、雜質(zhì)以及非晶體等。我們這門雜質(zhì)以及非晶體等。我們這門課所研究的對象是理想晶體。課所研究的對象是理想晶體。1.基特爾著 科學(xué)出版社固體物理學(xué)導(dǎo)論（第五版）中譯本 2. 黃 昆原著，韓汝琦改編固體物理學(xué) 高教出版社3.顧秉林 王喜坤編固體物理學(xué) 清華大學(xué)出版社4.陳 洗編固體物理基礎(chǔ)華中理工大學(xué)出版社5.劉友之等編固體物理習(xí)題指導(dǎo)書6.Ashcroft et. al “ solid state Physics”.原子的周期性列陣原子的周期性列陣 1.1.點陣和基元點陣和基元

5、晶體就是原子或原子團在三維空間無限地排晶體就是原子或原子團在三維空間無限地排列起來的列陣。它的基本特點就是原子或原子列起來的列陣。它的基本特點就是原子或原子團排列的周期性。從這個意義上來講，晶體結(jié)團排列的周期性。從這個意義上來講，晶體結(jié)構(gòu)實際上就是周期結(jié)構(gòu)。固體物理的研究對象構(gòu)實際上就是周期結(jié)構(gòu)。固體物理的研究對象是周期結(jié)構(gòu)，怎樣分析和處理一個周期結(jié)構(gòu)就是周期結(jié)構(gòu)，怎樣分析和處理一個周期結(jié)構(gòu)就是本章要解決的問題。是本章要解決的問題。 若有一個由五角星排列成的二維周期結(jié)構(gòu)：若有一個由五角星排列成的二維周期結(jié)構(gòu)： 點陣是周期結(jié)構(gòu)中等同點的幾何抽象，點陣所描寫的或所代表的僅僅是晶體結(jié)構(gòu)的周期性質(zhì),點

6、陣并不同于周期結(jié)構(gòu)本身，只有把物理實體以相同的方式放置在點陣的陣點上（方位要相同）才能形成周期結(jié)構(gòu)。 現(xiàn)在我們回到晶體結(jié)構(gòu)的研究上來，現(xiàn)在我們回到晶體結(jié)構(gòu)的研究上來，若有一個二維的晶體結(jié)構(gòu)是由下列原子若有一個二維的晶體結(jié)構(gòu)是由下列原子團重復(fù)堆積而成：團重復(fù)堆積而成： 基元就是構(gòu)成晶體結(jié)構(gòu)的原子或原子團，基元以相同的形式排列在空間就構(gòu)成了晶體結(jié)構(gòu)，基元可以是一個原子，也可以是成千上萬個原子或原子團以及分子組成的。 點陣是在空間規(guī)則地排列著的點的列陣。它是晶體結(jié)構(gòu)中等同點的幾何抽象，從點陣中的任一個陣點去觀察，周圍的陣點的分布情況和方位是一樣的。 點陣是為了描寫晶體結(jié)構(gòu)的周期性從具體晶體中抽象出來

7、的一系列規(guī)則排列的點的列陣，基元是組成晶體的具體的原子或原子團，是實實在在的物理實體，基元以相同的方式，即在點陣的陣點上進(jìn)行重復(fù)才能得到晶體結(jié)構(gòu)，這可以歸納為一個公式： 點陣 基元 晶體結(jié)構(gòu)2.點陣平移矢量點陣平移矢量 若有一個二維晶體如下圖：若有一個二維晶體如下圖： 為了描寫一個點陣，在二維情況為了描寫一個點陣，在二維情況下可以選取任意兩個不共線的基本下可以選取任意兩個不共線的基本矢量，由這兩個基本矢量的整倍數(shù)矢量，由這兩個基本矢量的整倍數(shù)的和可以確定點陣中任意一個陣點的和可以確定點陣中任意一個陣點的坐標(biāo)的坐標(biāo) （或點陣矢量）：（或點陣矢量）： R = ua + vb (u、 v 為整數(shù)）為

8、整數(shù)） 這兩個基本矢量這兩個基本矢量a、b就叫作這就叫作這個點陣的初基平移矢量，簡稱基矢。個點陣的初基平移矢量，簡稱基矢。b3a6b5b2b1a3a4b4b6a5a2a1 對于一個三維點陣，我們可對于一個三維點陣，我們可以選取不共面的三個矢量，由以選取不共面的三個矢量，由這三個矢量整數(shù)倍的線性組合這三個矢量整數(shù)倍的線性組合會確定點陣中任一點的位置即：會確定點陣中任一點的位置即： R = ua + vb +wc其中其中u、v、w為整數(shù)。為整數(shù)。 晶體中等同點的排列稱之為布拉菲點陣（Bravais lattice），是晶體中基元排列周期性的一種數(shù)學(xué)抽象。 一個三維的布拉菲點陣可以這樣來定義：即由點

9、陣平移矢量 R = ua +vb +wc聯(lián)系起來的諸點的列陣其中u、v、w為整數(shù)，a、b、c為不共面的三條基矢。3.3.基元和點陣的初基晶胞基元和點陣的初基晶胞 各原子的位置用基元中各原子各原子的位置用基元中各原子相對于陣點的相對坐標(biāo)來表示。相對于陣點的相對坐標(biāo)來表示?；械诨械?j j個個原子的坐標(biāo)為：原子的坐標(biāo)為： r = x a + y b + z cr = x a + y b + z c其中其中 0 x 0 x 、y y 、z 1z 1 組成晶體的最小體積單元稱為組成晶體的最小體積單元稱為初基晶胞初基晶胞，將初基晶胞平移所有，將初基晶胞平移所有點陣平移矢量，初基晶胞必然會點陣平移

10、矢量，初基晶胞必然會填滿整個空間既不會留下空隙，填滿整個空間既不會留下空隙，也不會自身重疊。也不會自身重疊。例如有一個二維晶體如下圖:b32非初級晶胞非初級晶胞初級晶胞初級晶胞123ba41a 由基矢構(gòu)成的平行六面體由基矢構(gòu)成的平行六面體必定是初基晶胞，每個初基必定是初基晶胞，每個初基晶胞中必定只包含一個陣點。晶胞中必定只包含一個陣點。 對于一個點陣，初基晶胞的選取不是唯一的，無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一的，體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積： V = （a b）. c 晶體可以看成是一些相同的積木晶體可以看成是一些相同的積木塊堆積起來的。這些積木塊往往是塊堆積起來的。這些積

11、木塊往往是一些體積單元，稱之為晶胞。組成一些體積單元，稱之為晶胞。組成晶體的最小的體積單元稱之為初基晶體的最小的體積單元稱之為初基晶胞。將初基晶胞平移所有的點陣晶胞。將初基晶胞平移所有的點陣平移矢量，初基晶胞必然會填滿整平移矢量，初基晶胞必然會填滿整個空間，既不會留下縫隙、也不會個空間，既不會留下縫隙、也不會自身重疊。自身重疊。 根據(jù)初基晶胞的定義，由基根據(jù)初基晶胞的定義，由基矢組成的平行六面體必定是初基矢組成的平行六面體必定是初基晶胞（在二維情況下是一個平行晶胞（在二維情況下是一個平行四邊形），初基晶胞必定只包含四邊形），初基晶胞必定只包含一個陣點一個陣點 對于一個點陣，初基晶胞的選取對于一

12、個點陣，初基晶胞的選取不是唯一的（因為基矢的選取就不不是唯一的（因為基矢的選取就不止一種，因而晶胞的選取也不止一止一種，因而晶胞的選取也不止一種），無論初基晶胞的形狀如何，種），無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一確定的，初初基晶胞的體積是唯一確定的，初基晶胞的體積就等于基矢構(gòu)成的平基晶胞的體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積。行六面體的體積。 初基晶胞和基元是兩個 完全不同的概念，初基晶胞是一個體積單元，而基元是具體的原子或原子團，是一個結(jié)構(gòu)單元。一個初基晶胞只包含一個陣點，也就是說一個初基晶胞中只有一個基元。 我們今后還有一種常見的晶胞叫做維格喇賽斯晶胞，它是這樣來構(gòu)成的：（1）把

13、某個陣點同所有與它相鄰的陣點用直線連接起來。（2）在這些連線的中點處做垂直面（二維情況下做垂直線），這些垂直面（或垂直線）所圍成的最小體積（或最小面積）就稱作維格喇賽斯晶胞（簡稱為晶胞）。 W-SW-S晶胞是一個初基晶胞，也晶胞是一個初基晶胞，也就是說，把這個晶胞平移所有點就是說，把這個晶胞平移所有點陣平移矢量，它會填滿整個空間，陣平移矢量，它會填滿整個空間，既不會留下縫隙，也不會自身重既不會留下縫隙，也不會自身重疊。疊。 W-S晶胞是一個初基晶胞，它的對稱性可以反映出整個晶體的對稱性，是一種非常重要的晶胞。(如下圖)w-s 晶胞 下面我們以二維蜂巢狀網(wǎng)絡(luò)作為一個例子，來看它的基矢、布拉菲點陣

14、、初基晶胞以及W-S晶胞等2. 點陣的基本類型 1. 對稱操作 布拉菲點陣有一些基本性質(zhì)，對稱性是其基本性質(zhì)之一。點陣的類型是由點陣的對稱性來區(qū)分的。 所謂點陣的對稱操作是這樣一種運動或動作，將點陣經(jīng)過這樣一種操作后，點陣中的所有陣點都會落到操作前的等價點上，這種操作的結(jié)果是把點陣引入到與原始狀態(tài)完全等價的構(gòu)型上。對稱操作通常包括兩大類：平移對稱操作點對稱操作平移對稱操作： 把點陣或晶體平移點陣矢量群中的任一矢量的操作稱之為平移對稱操作。經(jīng)過這種操作點陣（或晶體）自身是還原的，這種性質(zhì)稱為平移對稱性。點對稱操作： 在操作的過程中點陣或晶體中至少有一個點是保持不動的，這種操作稱為點對稱操作。同樣

15、，經(jīng)過點對稱操作，點陣或晶體也觀察不到任何變化。點對稱操作主要分以下幾類：（1）轉(zhuǎn)動 將點陣（或晶體）繞通過某一定點的軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如果，每轉(zhuǎn)動2/點陣都是自身還原的，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸，我們稱之為重轉(zhuǎn)動軸。轉(zhuǎn)動軸的符號用1、2、3、4、6表示。（2）鏡面反映 若一個點陣以通過某一定點的平面為鏡面，將點陣反映為它的鏡象，點陣是自身還原的，這種對稱性稱為鏡面對稱性，這種操作稱為鏡面對稱操作。通常用符號或表示。（3）中心反演 通過某一定點的直線為軸，將點陣或晶體先轉(zhuǎn)動1800 ，然后通過過這一定點而垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面再作鏡面反映的操作稱為中心反演。這樣的操作效果相當(dāng)于把（，）變成為（，z）。原點O稱為對

16、稱心，中心反演一般用表示。（）轉(zhuǎn)動反演 通過過某定點的軸把點陣先轉(zhuǎn)動2/，再進(jìn)行中心反演，相應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸稱為重轉(zhuǎn)動反演軸，用符號表示，只可能取1、2、3、4、6。（）轉(zhuǎn)動反映 繞通過某一定點的轉(zhuǎn)軸將點陣先轉(zhuǎn)動2/，接著對垂直于轉(zhuǎn)軸的平面作鏡面反映。 轉(zhuǎn)動軸、對稱心、鏡面等這些幾何元素，即進(jìn)行對稱操作所依靠的幾何元素稱為對稱元素。 對稱操作是一種運動、是一種動作，只有當(dāng)晶體存在對稱元素時才能進(jìn)行對稱操作，對稱操作只有與對稱元素相聯(lián)系才可能進(jìn)行，它們是相互關(guān)聯(lián)的，對稱元素的存在只有依靠對稱操作才能證實。點陣（或晶體）中的對稱元素：（）轉(zhuǎn)動軸： 1、2、3、4、6（）轉(zhuǎn)動反演： 4（）對稱心： （）鏡

17、面： 一種點陣可以同時存在若干種對稱元素。對稱操作的一種特定的組合方式叫做點群。點群在“群論”中有嚴(yán)格的定義，點群代表的是點陣或晶體的對稱性，也就是點陣或晶體能進(jìn)行什么樣的對稱操作。立方晶系的對稱性（對稱操作）：對稱元素：（1）有3個相互垂直的四重軸，繞這些四重軸將點陣轉(zhuǎn)/2，點陣是自身還原的，通常把四重軸叫做立方軸，它通過立方體的中心點，記作4。（2）有4個三重軸，即體對角線的連線，點陣或晶體轉(zhuǎn)動2/3是自身還原的，記作3。（3）有6個二重軸，即立方體的一個邊的中點到對面的另一條對邊中點的連線，繞這樣的軸每轉(zhuǎn)動，點陣是自身還原的，記作2。（4） 有一個對稱心，作中心反演點陣自身是還原的，記作

18、。立方晶體的對稱操作： 有一個4重軸就會有3種對稱操作：/2、3/2（ 2另外考慮） 共有3個4重軸共有 339種對稱操作。 有一個3重軸就會有兩種對稱操作 2/3、4/3 （2另外考慮） 共有4個3重軸一共有 428種對稱操作。 有一個2重軸就會有一種對稱操作 （2另外考慮）共有6個2重軸就會有：616種對稱操作。 所有的轉(zhuǎn)動2算一種對稱操作。 因此立方晶體的純轉(zhuǎn)動對稱操作有： 986124種。 每一個轉(zhuǎn)動對稱操作再作中心反演還是對稱操作（由于立方晶體有一個對稱心），所以立方晶體的全部對稱操作為： 24248種。正四面體的對稱操作： 一個正四面體可在立方體中畫出，它的四個面都是正三角形，邊長

19、是立方體的面對角線，立方體的中心為O點，有三個立方軸，這些軸雖然是立方體的四重軸但不是四面體的四重軸，而是二重軸。因為每轉(zhuǎn)動晶體自身是還原的。所以正四面體有三個二重軸。 體對角線的延長線是正四面體的三重軸（也是立方體的三重軸）。每轉(zhuǎn)動2/3晶體自身是還原的，共有四個三重軸。 立方軸既是正四面體的二重軸又是四重轉(zhuǎn)動反演軸（正四面體雖然沒有對稱心，沒有四重軸，但有四重轉(zhuǎn)動反演軸）。共有3個四重轉(zhuǎn)動反演軸。 還有EFDC是對稱面，對此面進(jìn)行鏡面反映，正四面體無變化，這樣的對稱面共有6個。正四面體的對稱操作共有： 1個2 3個2 313； 4個3 428 3個4 326 6個 對稱操作共有 13866

20、24（種） 其中：純轉(zhuǎn)動對稱操作13812（種）。 正四面體只具有立方體的一部分對稱操作，因此它的對稱性沒有立方體高。 上面講的對稱性主要是點對稱性，即在操作的過程中至少有一個點保持不動。若再考慮到平移對稱性，還有兩種對稱操作，這兩種對稱操作只有晶體結(jié)構(gòu)才有，點陣沒有這種對稱操作。一種是重螺旋軸，另一種是滑移面對稱。 將晶體結(jié)構(gòu)繞定軸轉(zhuǎn)動2/，接著再對轉(zhuǎn)軸平移T，T為沿軸向的最短的平移周期，這個軸稱為重螺旋軸。 將晶體先作鏡面反映，再滑移T/后可得到原子的等價點，這種操作稱為滑移面對稱操作。2.慣用晶胞 為了能反映出點陣的對稱性，選取的晶胞稱為慣用晶胞。慣用晶胞選取的原則是在反映點對稱性的前提

21、下，體積最小的晶胞。 慣用晶胞可以是初基的，也可以是非初基的，若一個初基晶胞能反映出點陣的對稱性。那么它也就是慣用晶胞。比如立方點陣，初基晶胞也就是慣用晶胞。慣用晶胞的體積總是等于初基晶胞體積的整數(shù)倍 VV 為慣用晶胞中的陣點數(shù)。 為了反映點陣的對稱性就要考慮點陣所選取的慣用晶胞的晶胞參量。二維空間中是晶胞的棱長和夾角，三維情況下，是三棱的長，及三棱之間的夾角。 經(jīng)常用到的一個物理量是點陣常數(shù)。 所謂點陣常數(shù)是描寫慣用晶胞幾何尺寸的數(shù)字。如立方點陣的點陣常數(shù)只要知道棱長即可，長方體為三棱長，。3二維點陣類型（1）二維斜方 ab,是任意的,只有獨立操作1.是二維點陣中對稱性最低的一種。（2）二維

22、六角由對稱操作3.6要求，陣點分布如圖。a=b，=120 0，它既是初級晶胞，又是慣用晶胞。（3）二維正方 由點對稱操作4要求，a=b， =90 0 。 （4）二維矩形 由鏡面對稱性所要求。（5）二維有心矩形 由鏡面對稱性所要求。二維矩形 ab, = 90 0 二維有心矩形ab, 90 04.三維點陣類型 在三維空間點對稱操作與平移對稱操作的組合共有14種，因此三維空間只有14種Bravais點陣，分屬7個晶系。(1）立方晶體 有三種不同的類型，這三種點陣的慣用晶胞都是立方體，慣用晶胞的幾何特征是a=b=c，=90 0 。 立方晶系有三種Bravais點陣，即簡單立方（sc），體心立方（bcc

23、）和面心立方（fcc）。 這三個點陣的點對稱性相同，慣用晶胞相同，但平移對稱性不同。a.簡單立方點陣（sc） 慣用晶胞也是它的初級晶胞初級晶胞與慣用晶胞的體積相等，都等于a3，a是立方點陣的點陣常數(shù)，v=vc=a3。簡單立方點陣的基矢的選取通常取它的三個立方軸作晶軸，若用笛卡爾坐標(biāo)表示，它的三個基矢分別為，每一個陣點有六個最近鄰的點陣，最近鄰距離就是點陣常數(shù)a。b.體心立方（bcc） 在sc點陣的體對角線中點上放一個點陣，這個點陣與角隅上的陣點是等價的。（如對二維有心點陣，從任一陣點去看周圍的陣點分布都是相同的）。 體心立方點陣與sc點陣一樣，都具有立方體的點對稱性，但平移對稱性不同，故屬于不

24、同的點陣類型，體心立方點陣的基矢的選取通常用一種比較對稱的取法，取一個頂點到相鄰的三個體心點，這組基矢用笛卡爾坐標(biāo)表示為：)(2zyxaa)(2zyxab)(2zyxac 體心立方點陣的每一個陣點的最近鄰陣點有8個，a是慣用晶胞的邊長。慣用晶胞中有兩個陣點，相對于立方軸，這兩個陣點的坐標(biāo)為:（000）（1/2, 1/2,1/2）。C.面心立方（fcc） 在sc點陣的每一個面的中心附加一個陣點，慣用晶胞也是一個立方體，點對稱操作與sc點陣一樣，平移對稱操作與sc點陣不同，慣用晶胞也不是初級晶胞，因為慣用晶胞中含有4個陣點（八個頂點算一個，每個面心算1/2個，共有6個面），慣用晶胞的體積是初級晶胞

25、體積的4倍，即初級晶胞的體積。 面心立方點陣基矢的選取通常取一個頂角點到最近面心的矢量為基矢，用笛卡兒坐標(biāo)寫出來就是：)(2yxaa)(2zyab)(2xzac(2）四角晶系將立方體沿某一晶軸拉長，立方體就變成了四角體，慣用晶胞的晶胞參量a=bc，=90 0 ，四角體的對稱性比立方體要低， 若將立方晶系的三種Bravais點陣的c軸都拉長， 就過渡到兩種四角晶系的Bravais點陣，即簡單四角和體心四角，體心四角是由bcc，fcc點陣沿c軸拉長得到的。(3）正交晶系 將四角晶系的另外一個晶軸再拉長，就得到正交晶系，慣用晶胞的晶胞參量abc，=90 0 ，正交晶系有四種Bravais點陣。分別為

26、簡單正交、底心正交、體心正交、面心正交，慣用晶胞都一樣，正交晶系的點對稱性低于四角晶系。(4）單斜晶系 進(jìn)一步將正交晶系體變形，即將其一晶軸傾斜，就過渡到單斜晶系，對于單斜晶系abc，=90 0 ，90 0，單斜晶系有兩種Bravais點陣：簡單單斜和有心單斜（上下底面各有一個陣點），它比正交晶系的點對稱性還低）。(5）三斜晶系 將單斜晶系的另一個晶軸再傾斜就得到三斜晶系， 對于三斜晶系，慣用晶胞的晶胞參量abc，它只有一種Bravais點陣，即簡單三斜，這是對稱性最低的Bravais點陣，只有轉(zhuǎn)動1的對稱性。(6）三角晶系 將一個完整的正方體沿體對角線方向拉長，三個晶軸不正交，但夾角相等，邊

27、等長，慣用晶胞的特征是a=b=c，=90 0 1200， 對稱性低于立方體，只有一種布拉菲點陣。(7）六角晶系前面六種晶系均可由立方體變形得到，但六角晶系不能由立方體變形得到，慣用晶胞的特征是：a=bc，=90 0，=1200，慣用晶胞是菱形正棱柱，如選用如圖的直角坐標(biāo)系，基矢用笛卡兒坐標(biāo)表示為：yaxaa2123yaxab2123zcc3、晶面指數(shù)系統(tǒng) 1. 晶列和晶向 由于點陣和晶體有平移對稱性，點陣中的陣點可以看作分布在一系列相互平行的直線上，一組相互平行的直線成為晶列，晶列的方向就是陣點分布的方向，晶列的方向稱為晶向，它代表陣點排列的方向，一個點陣可以有不止一種晶列，通常晶體暴露在外觀

28、的都是晶向，為了描寫晶向，通常要給出晶向指數(shù)。 首先選定晶軸，然后取晶列方向最短的平移矢量，把它的三個指數(shù)放在方括號中表示晶向，則此晶向為：uvw。也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，然后把R1R2R3化成三個互質(zhì)的最小整數(shù)，放在方括號中，仍為uvw。 要確定一個的方向指數(shù)，首先要定出晶軸，知道晶軸后，沿晶列方向的最短平移矢量的指數(shù)就是晶向。2、晶面指數(shù) 點陣中的陣點可以看作是分布在一系列相互平行的平面上，這些相互平行的平面是等間距的，在每一個平面上的陣點分布情況是完全一樣的，因此隨便哪一個平面都可以代表這一組平面，這一組相互平行的稱為平面族，一組相互平行的點陣平面應(yīng)當(dāng)把所有的陣點概括無

29、遺，這是由點陣的平移對稱性所決定的,換句話說如果在這種情況下有遺漏掉的點,這個遺漏的點決不是陣點。 首先要確定原點和晶軸，任取一個陣點為原點，取3個晶軸,晶軸的端點必定是陣點，這些端點必定要落在這組平行平面的某些平面上,若落在第h面上,落在第k個平面上,落在第L個平面上,也就是說這組平面必須是等間距的切割晶軸,分別將、切割成h,k,L等份,這一組平面中距原點最近的那一個平面在三個晶軸上的截距分別為,，通常我們用晶軸的長度為單位量度截距,最近的平面截距為，,我們把hkL括在圓括號中,表示為(hkL),它就作為這組晶面的晶面指數(shù)。若截距無窮大（平行于晶軸）則倒數(shù)為0。 根據(jù)以上分析，我們可以確定找

30、出一個晶面指數(shù)的基本方法:（)先找出晶面在三個晶軸上的截距值,晶軸可以是初基的,也可以是非初基的。（)將這些數(shù)取倒數(shù)。（)通常將三個數(shù)化成三個互質(zhì)的整數(shù)，放在圓括號中（hkl），若選定的晶軸是初基的（即是基矢），則hkl是不含公約數(shù)的。4.簡單晶體結(jié)構(gòu) 1. sc.bcc.fcc結(jié)構(gòu)在sc.bcc.fcc點陣的每一個陣點上放上一個同種原子就變成了sc.bcc.fcc晶體結(jié)構(gòu)。 例如金屬鈉是在bcc點陣的每個陣點上放上一個原子得到的晶體。 對于bcc結(jié)構(gòu)，若選的點陣是bcc點陣，初基晶胞只有一個原子，但還可選用立方點陣來處理，這時基元中將要包含兩個原子，由于bcc結(jié)構(gòu)的Bravais點陣不是正交

31、點陣，故常用sc點陣來處理，換了晶軸就意味著換了點陣，相應(yīng)的基元也要換。 fcc結(jié)構(gòu)的Bravais點陣是fcc點陣，基元是一個原子，這種方法由于基矢不正交，處理不方便，我們常選用立方晶軸，這就意味著點陣發(fā)生了變化，相應(yīng)的基元也要變化，因此fcc結(jié)構(gòu)可用sc點陣處理，基元就包含有四個原子。2.NaCl結(jié)構(gòu) 將Na + Cl-交替放在sc點陣的陣點上，每個離子周圍有6個異類離子作近鄰，sc點陣不是NaCl結(jié)構(gòu)的Bravais點陣，Na +與Cl-不是等同點，但Na +和Cl-分別在fcc點陣的陣點上，因此NaCl結(jié)構(gòu)是兩個fcc點陣套起來的，一個fcc點陣上放的是Na +，另一個點陣上放的是Cl-離子，所以NaCl結(jié)構(gòu)的是點陣fcc點陣，基元中包含有一個Na +和一個Cl-。 通常我們把一個晶體結(jié)中一個原子最近鄰的原子數(shù)稱為配位數(shù)。sc晶體的配位數(shù)為6bcc晶體為8fcc 晶體為12 NaCl結(jié)構(gòu)的配位數(shù)為6，每一個離子周圍有6個異類離子為近鄰。 配位數(shù)的高低反映了晶體結(jié)構(gòu)的原子排列的緊密程度，配位數(shù)高原子排列就緊密，反之則比較稀松。3.CsCl結(jié)構(gòu) CsCl結(jié)構(gòu)是在sc點陣的陣點上放一種離子， 而在體心位置上放另一種離子形成的，每個離子周圍有8個異類離子作近鄰，它是Bravais點陣是sc點陣（