拉式變換分析材料動態(tài)本構(gòu)

1、目的得到動載荷下材料的應力應變曲線。意義借助反算出的應力應變曲線，分析材料在動載荷下的力學性能。實驗手段介紹真實材料的動態(tài)本構(gòu)關系是相當復雜的，國外從六十年代起便開展此項課題的研究。實驗研究的手段大體上分為兩類:一類是利用壓電應力計測量待測材料和壓電材料界面上的應力波形，利用激光速度干涉儀、斜電阻絲、高速條紋相機、電容器等手段測量待測材料自由表面的速度波形。這類測量統(tǒng)稱為材料外部的測量。由于界面、自由表面的運動過程是應力波在界面、自由表面上反射的結(jié)果,因此在分析測試結(jié)果時,要么是作一些近似假定,或者,更一般地是先假定一個本構(gòu)關系模型,然后通過運動方程組的數(shù)值解結(jié)果與實驗結(jié)果的對比,不斷修正本構(gòu)

2、關系的模型,直至與實驗結(jié)果一致。這樣作,不僅是工作量龐大,更重要的是,所得的本構(gòu)關系往往不是唯一確定的。第二類實驗研究手段是在材料內(nèi)部埋沒應力計、粒子速度計。測量材料內(nèi)部不同位置上的拉格朗日應力波形、粒子速度波形。這類測量統(tǒng)稱為材料內(nèi)部的測量。拉格朗日反分析原理一維平面波的拉格朗日坐標守恒方程：質(zhì)量守恒： (1)動量守恒： (2)式中： 初始密度，比容， 質(zhì)點速度， 拉格朗日坐標， 時間坐標。關于式(1)的推導：已知體應變與位移矢量的關系為： (3)由式(3)有： (4)體應變與體積和密度的關系： (5)聯(lián)合(4)、(5)得： (6)在一維應變情況下式(6)便簡化為式(1)。另外由于在一維應變

3、情況下體應變等于一維應變： (7)將式(7)代入式(4)中，并考慮一維應變，便得： (8)式(1)和(2)或(1)和(9)便是拉式分析的基本方程。路徑線法的基本思想是以實驗測得的在不同 Lagrange 坐標的某種力學量波形(量計線)的特征點(起點、終點和頂點等)為關鍵點，在每個實測的波形上選取 N 個點，人為構(gòu)造連接各波形的曲線，即構(gòu)筑成 N 條路徑線，當 N 足夠大時，這些足夠密的路徑線和量計線就構(gòu)成一個逼近實際流場曲面的網(wǎng)狀框架。某力學量(應力或質(zhì)點速度)與路徑線有關系： (9)在路徑線h(t)取定后，式(9)右端均為已知,從而提供了求偏導數(shù)的方法。借助式(9)，基本方程(1)和(2)和

4、(8)可改寫為： (10) (11) (12)1，測量應力波形反算應力應變關系在路徑線足夠密的情況下，以路徑線和量計線為差分網(wǎng)格，寫成差分形式的守恒方程。在已知應力波形時，可以很容易的由 (11)求出，再代入(12)求出。因為通常實驗條件下有初始條件：t=0時，應變和速度等于0。但是在應力實際測量中通常只能使用少數(shù)Lgarnage量計(2-4個)，故空間偏導數(shù)的精度是欠佳的。另一方面看，量計本身對力學量的測量精度和可靠性也是一個重要因素。質(zhì)點速度量計基于物理學中基本的Faraday電磁感應定律，它的測量記錄可信，能達到較高的精度。目前所用的壓力傳感器如錳銅、憶、PVDF等，帶有很大的經(jīng)驗性，有

5、待深入研究，其記錄精度遠不如質(zhì)點速度計。因此盡管從方法上看，應力流場更完備，但從實際觀點看，似乎更傾向于用質(zhì)點速度的測量。2，測量速度波形反算應力應變關系當我們測定的是不同拉氏位置的質(zhì)點速度波形時，問題的難點在于需在邊界位置同時測得質(zhì)點速度和應力波形。因為由質(zhì)點速度求應力時，其中的積分是對空間位置的積分。這時積分需要有邊界條件，即在x=0位置的應力波形和質(zhì)點速度波形需同時為已知。這樣,在這類反分析中由質(zhì)點速度求應力時，要在邊界位置同時測得應力波形。然而，在實際研究中要同時測得質(zhì)點速度以及應力量是當前的難點。解決手段：Seaman法即假定沿路徑線求3階全導數(shù)，從而得到一組包括2階導數(shù)在內(nèi)的封閉的

6、代數(shù)遞推方程組，保證沿質(zhì)點速度從計線逐步解出相應的應力波形。日前路徑線法和Seaman法已編制成程序并已獲得實際應用，不過此方法存在嚴重不足,有時甚至給出背離物理規(guī)律的結(jié)果。沖量時間積分法反解法前文己經(jīng)提及,單純使用速度量計時,不能確定流場應力。不過對于一個實際流場，速度波形上每一點總是與一個未知的但客觀上唯一確定的應力相對應，問題在于如何求出該應力值。為此不妨先假定沿質(zhì)點速度流場路徑線上未知應力的函數(shù)形式，然后由差分形式的式(12)反解出相應的應力波形，這就是所謂的反解法。李孝蘭，曾用反解法處理過PMMA的實驗結(jié)果。(3個傳感器情況下)首先是選定一簇n條路徑線,在三個實測波形上分別取對應的n

7、個測點，uj,k， k=1,2,3分別表示h1、h2、h3處的u(t)波形，j =1,2,n表示在所要分析的波形區(qū)段上所選擇的測點。通過拋物線擬合給出路徑線在(u,h)平面及(t,h)平面上的投影線。 (13)給出沿第j條路徑線并位于第k個傳感器線上的u、t對h的全導數(shù)： (14) (15)式中，Ak,Bk,Ck是通過擬合路徑曲線時計算的結(jié)果。把式(13)寫成數(shù)值積分格式： 將式(15)、(16)代入上式得： (16)由式(17)便能通過測點速度波形計算應變波形。下面用粒子速度波形的反演法計算應力波形。設想，如果在h1、h2、h3處分別側(cè)得的是波形,欲由這三個波形確定波形的方法是:與上面確定應變波形的方法一樣,導得如下的方程： (17)實際上現(xiàn)在測得的是3個波形,方程(18)對k=1,2,3可分別寫成三個方程，這三個方程在j,1、j,2、j,3已知的情況下僅包含三個未知數(shù): j+1,1、j+1,2、j+1,3。經(jīng)化簡，得到反演計算的方程組為： (18)式中，波形可由方程組式(19)計算得到。式(17)和式(19)在求應變和應力波形時，取1,k=1,k=0。柴華友等人重新討論了Lagrange方法并導得反解法求解公式。對于K個速度量計的實驗波形，當采用多項式模擬待求應力的變化時,可得第j，j十1條路徑線上應力的矩陣形式的遞推方程組 分量