整式的乘除與因式分解復(fù)習(xí)1

1、整式的乘除與因式分解一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握與整式有關(guān)的概念；2.掌握同底數(shù)冪、冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，積的乘方法則；3.掌握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的相關(guān)計(jì)算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：1、單項(xiàng)式的概念： 由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。如：2a2 bc 的 系數(shù)為2 ，次數(shù)為40，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是。2、多項(xiàng)式： 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。如： a 22ab x

2、 1 ，項(xiàng)有 a 2、 2ab 、 x 、 1，二次項(xiàng)為 a2、 2ab ，一次項(xiàng)為x ，常數(shù)項(xiàng)為1，各項(xiàng)次數(shù)分別為 2， 2， 1，0，系數(shù)分別為 1， -2， 1， 1，叫二次四項(xiàng)式。3、整式： 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。4、多項(xiàng)式按字母的升（降）冪排列：如： x32x 2 y 2xy2 y 31按 x 的升冪排列：12 y 3xy2x2 y 2x3按 x 的降冪排列： x32x 2 y 2xy 2y 31按 y 的升冪排列：1x3xy2x 2 y 22 y3按 y 的降冪排列：2y32x2 y 2xyx 3 15mnmnaaa（

3、m,n 都是正整數(shù)）、同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。如： (a b)2 (ab)3(ab)56(a)amn （ m,n 都是正整數(shù)）、冪的乘方法則：mn冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：( 35 )2 310冪的乘方法則可以逆用：即a mn(a m ) n(an )m1/13如： 46(42)3(43) 27、積的乘方法則：(ab) nan b n （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：（2x3 y 2 z)5 = (2)5(x 3 ) 5( y 2 ) 5z532x15 y10 z58、同底數(shù)冪的除法法則：a ma na m

4、 n（ a0,m, n 都是正整數(shù)，且 m n)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：( ab) 4(ab) (ab) 3a 3b 39、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；a 01 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。ap1（ a0, p 是正整數(shù)），即一個(gè)不等于零的數(shù)的p 次方等于這個(gè)數(shù)的p 次方ap的倒數(shù)。如：23(1) 312810、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作

5、為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。如：2x 2 y 3 z3xy11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即 m(abc)mambmc ( m, a,b, c 都是單項(xiàng)式 )注意：積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。如： 2x( 2x3y)3 y( xy)12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。(3a2b)

6、( a3b)如：(x5)( x6)2/1313、平方差公式： (ab)( ab)a 2b2 注意平方差公式展開(kāi)只有兩項(xiàng)公式特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。如： (xyz)( xyz)14、完全平方公式：(ab)2a 22abb 2公式特征：左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊有三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2 倍。注意：a 2b 2(ab) 22ab(a b)22ab( ab)2(ab) 24ab( ab) 2(ab) 2(ab) 2 (a b) 2 (ab) 2(a

7、b) 2完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2 倍。15、三項(xiàng)式的完全平方公式：( ab c) 2a 2b 2c 22ab2ac 2bc16、單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式如： a 2 b4 m49a 2 b717、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。即： (ambmcm)mammbmmcmmabc18、因

8、式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 三、知識(shí)點(diǎn)分析：1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算：mnm+na ·a =a( m， n 都是正整數(shù) ).例題 1. 若 2 a 264 ，則 a=；若 273n( 3)8 ，則 n=.例題 2. 若 52 x 1125，求 (x2)2009 x 的值。3/13例題 3.計(jì)算3 n2 mx 2 y2 y x練習(xí)1.若 a2 n3，則 a 6n =.xy-1yx-12.設(shè) 4 =8,且 9 =27,則 x-y 等于。2.積的乘方(ab)n =anbn(n 為正整數(shù) ). 積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例題 1.

9、計(jì)算：n m3pmn n mp 43. 乘法公式平方差公式： ab aba 2b 2完全平方和公式：完全平方差公式：a b a b2a22abb 22a22abb2例題 1. 利用平方差公式計(jì)算：2009×2007 20082例題 2.利用平方差公式計(jì)算：2007200820072200620072例題 3.利用平方差公式計(jì)算：200620081例題 4.（ a2b 3c d）（ a 2b 3c d）變式練習(xí)1廣場(chǎng)內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2aM 的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3M ，東西方向要加長(zhǎng)3M ，則改造后的長(zhǎng)方形草坪的面積是多少？4/1324） （32008+1）34016

10、2.（ 3+1 ）（ 3 +1）（3 +1212,求 x213. 已知 xx2 的值x4、已知( x y)216, (x)24，求 xy 的值y5.如果 a 2 b 2 2a 4b 5 0 ，求 a、 b 的值6.試說(shuō)明（1）兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)（2）若 a 為整數(shù)，則a3a 能被 6 整除7.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加4cm ，面積就增加56cm ，求原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)5/134. 單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘除運(yùn)算（1）（ a 1 b）（ 2a 1 b）（ 3a2 1 b2）；6312（ 2） （ a b）（ a b） 2÷（ a2 2ab b2 ） 2ab（ 3）已知 x2 x 1 0，

11、求 x3 2x2 3 的值5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式時(shí)，先提公因式。例 1 把 2ax10ay5bybx 分解因式分析： 把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x 的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式2a 與b ，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x5 y ，這樣可以繼續(xù)提取公因式解： 2ax10 ay5bybx2a( x5 y)b( x5 y)(x5 y)(2 ab)說(shuō)明： 用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試?yán)?2 把 ab( c2d 2 )(a2b2 )cd 分解因式分析

12、： 按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式解： ab(c2d 2 )(a2b2 )cd abc2abd2a2 cd b2 cd(abc2a2cd )(b2 cdabd 2 )ac(bcad )bd (bcad ) (bc ad )(acbd )說(shuō)明： 由例 3、例 4 可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用2. 公式法： 根據(jù)平方差和完全平方公式例題 1 分解因式 9x225 y23.配方法：例 1 分解因式 x26x 166/13解： x26x 16

13、x22 x 3 323216 ( x 3)252(x 35)( x 3 5)(x 8)( x 2)說(shuō)明： 這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家實(shí)驗(yàn)4.十字相乘法：（ 1） x2( pq) xpq 型的因式分解這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1； (2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和x2( pq)xpqx2pxqxpqx( xp)q( xp)(xp)( xq)因此， x2( pq) xpq( xp)( xq)運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1

14、的二次三項(xiàng)式分解因式例 1 把下列各式因式分解：(1)x27 x6(2) x213x 36解： (1)6(1) (6),( 1) ( 6)7x27x6 x(1) x ( 6)( x1)(x6) (2)3649,4913x213x36( x 4)(x 9)說(shuō)明： 此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同例 2 把下列各式因式分解：(1) x25x24(2) x22x 15解： (1)24(3)8,(3)85x25x24 x(3)( x8)(x3)(x8)(2)15( 5)3,(5)32x22x15 x(5)( x3)(x5)(x3)說(shuō)明： 此例可以看出

15、，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同7/13例 3 把下列各式因式分解：(1) x2xy6 y2(2)( x2x)28( x2x)12分析：(1)把 x2xy6 y2 看成x 的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是6y2 ，一次項(xiàng)系數(shù)是y ，把6y2 分解成3y 與2 y的積，而3y( 2 y)y ，正好是一次項(xiàng)系數(shù)(2) 由換元思想，只要把 x2 x 整體看作一個(gè)字母 a ，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式 a2 8a 12 解： (1) x2xy 6y 2x2yx62(x3y)(x2 y)(2) ( x2x)28(x2x)12( x2x6)( x2x 2

16、)( x 3)( x2)( x2)( x 1)（ 2）一般二次三項(xiàng)式ax2bxc 型的因式分解大家知道， ( a xc )( a xc )a a x2(a ca c ) xc c 112212122112反過(guò)來(lái)，就得到：a1a2 x2(a1c2a2 c1 )xc1 c2( a1 xc1 )(a2 x c2 )我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a 分解成a1a2 ，常數(shù)項(xiàng)c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2寫(xiě)成a1c1 ， 這 里 按 斜 線 交 叉 相 乘 ， 再 相 加 ， 就 得 到 a1 c2a2 c1， 如 果 它 正 好 等 于a2c2ax 2bx c 的一次項(xiàng)系數(shù)b ，

17、那么 ax2bx c 就可以分解成( a1 x c1 )( a2 x c2 ) ，其中a1 ,c1 位于上一行，a2 , c2 位于下一行這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解例 4 把下列各式因式分解：(1) 12x25x2(2)5x26xy8 y2解： (1)12x25x2(3x2)(4x1)32418/13(2) 5x2 6xy 8 y2 (x12 y2 y)(5x 4 y) 54 y1” ” ” ” ” ” 12x y1xy22x 4 y

18、 3x3 y 432xy( x2) 2( y1)24xy提高練習(xí)12x2 4x 10xy ÷ 1x 15y222x y 8 x2y2 4x2 y2 _34x2 3mx 9m _4a 1a 1a2 1A a4 1B a4 1 C a4 2a2 1D 1 a45a b 10 ab 24a2 b2A148B76C58D5262x3y2x3y22x22x1x22x1447111 1111111223242921028x1 2x21x41xx 2x49/13229已知（ a 1）（ b 2） a（ b 3） 3，求代數(shù)式ab ab 的值22223項(xiàng)，求 p、 q 的值10若（ x pxq）（ x 2x3）展開(kāi)后不含x ，x整式的乘除與因式分解單元試卷一、選擇題：（每小題3 分，共 18 分）1、下列運(yùn)算中，正確的是()236B.(a3 a3 3a a a2D.（ ）25A.x ·x=xb) = bC.3 +2 =5x3 = x2、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）（A）（ B）（C）（ D）3、下列各式是完全平方式的是（）A、B、C、D、4、下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）（A）（ B）（ C）（D）5、如 (x+m) 與 (x+3) 的乘積中不含x 的一次項(xiàng)，則m的值為（）A. 3B.3C.0D.110/136 、一