全等三角形問題中常見的輔助線——倍長(zhǎng)中線法（精編版）

1、dcba全等三角形問題中常見的輔助線倍長(zhǎng)中線法abc中,ad 是 bc邊中線方式 1：直接倍長(zhǎng)， ( 圖 1) ： 延長(zhǎng) ad到 e，使 de=ad ，連接 be 方式 2：間接倍長(zhǎng)1)（圖 2）作 cfad于 f，作 be ad的延長(zhǎng)線于e, 連接 be 2)（圖 3）延長(zhǎng) md到 n，使 dn=md ，連接 cd 【經(jīng)典例題】例 1 已知，如圖abc中， ab=5 ， ac=3 ，則中線 ad的取值范圍是_. （提示：畫出圖形，倍長(zhǎng)中線ad ，利用三角形兩邊之和大于第三邊）例 2：已知在 abc中， ab=ac ，d在 ab上， e在 ac的延長(zhǎng)線上， de 交 bc于 f，且 df=ef

2、. 求證： bd=ce. （提示：方法1：過 d作 dg ae交 bc于 g ，證明 dgf cef edabcfedcbandcbamedfcba方法 2：過 e作 eg ab交 bc的延長(zhǎng)線于g，證明 efg dfb 方法 3：過 d作 dg bc于 g，過 e作 eh bc的延長(zhǎng)線于h，證明 bdg ech ）例 3、如圖， abc中， e、 f分別在 ab 、ac上， de df，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與 ef的大小 . fecabdfecabdfecabd變式：如圖，ad為abc的中線，de平分bda交 ab于 e， df平分adc交 ac于 f. 求證：efcfbe（提示：方法

3、1：在 da上截取 dg=bd ，連結(jié) eg 、fg ， 證明 bde gde dcf dgf所以 be=eg 、cf=fg利用三角形兩邊之和大于第三邊方法 2：倍長(zhǎng) ed至 h，連結(jié) ch 、fh，證明 fh=ef 、 ch=be ，利用三角形兩邊之和大于第三邊）例 4：已知在 abc中， ad是 bc邊上的中線，e是 ad上一點(diǎn)，且be=ac ，延長(zhǎng) be交 ac于 f，求證： af=ef （提示：方法1：倍長(zhǎng) ad至 g，連接 bg ，證明 bdg cda三角形 beg是等腰三角形。_ d _ f _ c _ b _ e _ a _ d _ f _ c _ b _ e _ a 方法 2：

4、倍長(zhǎng) ed.試一試，怎么證明？）例 5、如圖， abc中， bd=dc=ac， e是 dc的中點(diǎn)，求證： ad平分 bae. （提示：倍長(zhǎng)ae至 m,連接 dm ）fedabcedcbafedabc變式一：已知cd=ab ， bda= bad ，ae是 abd的中線，求證： c= bae 提示：倍長(zhǎng)ae至 f，連結(jié) df,證明 abe fde （sas ）, 進(jìn)而證明 adf adc （sas ）變式二：已知cd=ab ， bda= bad ，ae是 abd的中線，求證： 2ae ac 。（提示：借鑒變式一的方法）例 6：已知：如圖，在abc中，acab，d、e在 bc上，且 de=ec ，過

5、 d作badf /交 ae于點(diǎn) f，df=ac. 求證： ae平分bac提示：方法 1：倍長(zhǎng) ae至 g，連結(jié) dg edabcedabc_ a _ b _ d _ e _ c _ f 方法 2：倍長(zhǎng) fe至 h，連結(jié) ch 【練習(xí)】1、在四邊形abcd 中， ab dc ，e為 bc邊的中點(diǎn)， bae= eaf ，af與 dc的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)f。試探究線段ab與 af、 cf之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)ae 、df交于 g,證明 ab=gc 、af=gf ，所以 ab=af+fc 2、已知：如圖，?abc中， ?c=90?，cm?ab 于 m ，at平分 ?bac交 cm于 d，交 bc于 t，過 d作 de提示：過t 作 tn ab于 n， 證明 btn ecd feabcddabcmte_ a _ b _ d _ e _ c _ f 3、 在 abc中， ad平分 bac ，cm ad于 m ，若 ab ad ，求證： 2am ac ab 。4、 abc中， ad是邊 bc上的中線， da ac于點(diǎn) a， bac=1