2022年2022年北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)極限知識(shí)拓展

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：極限學(xué)問拓展【學(xué)問拓展】精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1如某個(gè)數(shù)列an 存在極限、即該數(shù)列為收斂數(shù)列、那么該收斂數(shù)列有哪些性質(zhì)呢.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載收斂數(shù)列有幾個(gè)重要性質(zhì),它們可表現(xiàn)為下面幾個(gè)定理：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理1 :惟一性如數(shù)列an 收斂、就它的極限為惟一的.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：假設(shè)數(shù)列a n有兩個(gè)極限a 與 b,即l im an na 與 lim an nb ,依據(jù)

2、數(shù)列極限定精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載義,對(duì)于任意的 >0 分別有： 存在自然數(shù)n 1 、 當(dāng) nn 1 時(shí),有 | a na |；存在自然數(shù)n 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) nn 2 時(shí),有| anb |取 nmaxn 1、 n 2,當(dāng) n>n時(shí),同時(shí)有| a na |與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| a nb |,于為當(dāng) n>n 時(shí),有 | ab | | aa nanb |

3、| aa n | anb |2 . 因精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為 a 與 b 為常數(shù), 2 為任意小的正數(shù), 所以只有a=b,上述不等式才能成立,即數(shù)列a n的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載極限為惟一的定理 2：（有界性）如數(shù)列a n收斂,就a n有界,即存在正數(shù)m,對(duì)任意自然數(shù)n 有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| a n |m .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：設(shè)l im a n xa ,依據(jù)數(shù)列極限的定義,取定01（ 可以依

4、據(jù)需要任意選取）,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載存在自然數(shù)n,當(dāng)n>n 時(shí),有| a na |1. 由于 | a n | a | a na | ,所以當(dāng)n>n 時(shí),有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| a n | a | a na |1 或 | a n | a |1、 即 | a n 1 | a|1、 | an2 | | a |1、 | a n 3 | a |1、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在數(shù)列a

5、n中不滿意不等式| an | a |1 的項(xiàng)充其量不過為前n 項(xiàng)：a1 、 a 2 、a n . 令精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mmax| a 1|、| a 2 |、 | a n|、| a |1 于為,對(duì)任意自然數(shù)n,有 | a n |m .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 2 指出收斂的數(shù)列必有界反之, 有界數(shù)列不肯定收斂例如, 已知數(shù)列1 n為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有界的,但它卻為發(fā)散的換句話說,有界為數(shù)列收斂的必要條件而不為充分條件2什么

6、為有界數(shù)列.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義：如存在兩個(gè)數(shù)a, b 設(shè) a<b,數(shù)列x n 中的每一項(xiàng)都在閉區(qū)間a , b 內(nèi),亦即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ax nb n1、2、,就稱x n為有界數(shù)列 這時(shí) a 稱為它的下界, b 稱為它的上界 關(guān)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于有界數(shù)列有下面幾點(diǎn)說明精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) 假如 b 為數(shù)列x n的上界,那么b 1, b2, b+ >0 都為

7、x n的上界這表精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載明上界并不為惟一的,下界也為如此精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 對(duì)于數(shù)列x n,假如存在正整數(shù)n,當(dāng) n>n時(shí),總有 ax nb 、 我們就說數(shù)列x n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載往后有界要留意,往后有界肯定為有界的,這為由于在n 項(xiàng)之前只有有限多個(gè)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1 、 x 2 、 x n 、 在這有限個(gè)數(shù)中必有最大的數(shù)和最小的數(shù),設(shè)minx 1 、 x 2 、 x n,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

8、 歡迎下載maxx 1 、 x 2 、 x n、 那么 mina , 和 maxb, 就為整個(gè)數(shù)列x n的下界和上界精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(3) 有界數(shù)列也可以這樣表達(dá)：如存在一個(gè)正數(shù)m,使得 | x n |m n1、2、,就稱x n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為有界數(shù)列或者也可以這么說,如存在原點(diǎn)的一個(gè)m 鄰域 o , m,使得全部精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x noo、m,就稱x n為有界數(shù)列,這種表達(dá)和上面所給出的定義明顯為等價(jià)的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3什么為

9、單調(diào)有界數(shù)列.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) x n為一個(gè)數(shù)列, 假如 x1x 2x 3x n、 我們就說這個(gè)數(shù)列為單調(diào)增加精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 上升 的假如 x1x 2x 3x n、 我們就說這個(gè)數(shù)列為單調(diào)削減 下降 的例精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如1就為一個(gè)單調(diào)削減的數(shù)列假如在上面數(shù)列中等號(hào)都不成立,就稱它為嚴(yán)格單調(diào)增n加或嚴(yán)格單調(diào)削減的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4數(shù)列的收斂判別法有哪法.方法1如存在自然數(shù)n,當(dāng)n>n,總有 a nb ncn ,且l im

10、 a n nl im c n nl ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載l im b nl .n 注：方法1 被稱為夾擠定理例 1運(yùn)算精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limn1n 211n 221.n 2n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) c nn 211n 22、n 2n只 要 找 到 兩 個(gè) 數(shù) 列a n 與b n , 使精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim a n nlim b n nl、 就l im c nl.n

11、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法設(shè)cn1n 211n 221、n 2n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有cnc1n 2n11n2nn項(xiàng)11n 2n1n、n 2nn、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn21于為ncn21n項(xiàng)n.n 21n21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn2nn 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 n2nn22n1n有nncn1、n 21n 2n、nn1、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n1n 2nn 21n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因已知故 l imnlim

12、n1、nn111n21n2211.n2n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法 2單調(diào)有界數(shù)列存在極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2證明數(shù)列a 、aa 、aaaa 、a0 收斂,并求它的極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)第一對(duì)于這種隨n 的增大,數(shù)列的項(xiàng)有規(guī)律變化的情形可以用數(shù)學(xué)歸納法證明該數(shù)列單調(diào)并且有界這樣該數(shù)列必存在極限可以設(shè)極限為l ,就依據(jù)第n+1 項(xiàng)與第 n項(xiàng)的關(guān)系列出關(guān)于l 的等式就可以求出l 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范證法設(shè) snaaaa 、 有 sn 1asn,用歸納法證明數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

13、習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sn為 單 調(diào) 增 加 的 , 又 為 有 上 界 的 顯 然s1s2 , 設(shè)sksk1 k為 自 然 數(shù) 有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載askask 1 、askask 1,即 sk 1sk 2 ,就數(shù)列sn為單調(diào)增加的 明顯,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)n=1時(shí), 有 s1aa1 設(shè)n=k時(shí),有ska1 當(dāng)n=k+1時(shí), 也有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

14、習(xí)資料 - - - 歡迎下載sk 1askaa1a2a1a1,即數(shù)列sn為有上界的 由于數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s2學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sn為單調(diào)增加的并且有上界,所以數(shù)就sn收斂設(shè)lim snnl ,已知n 1asn 、 有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sn1lim2 nalimns 、 即 l 2al ,得 l1 1214a,由 sk0 可知, l 不能為負(fù)數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n就數(shù)列1sn的極限為 l1214a .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

15、習(xí)資料 - - - 歡迎下載5函數(shù)極限有哪些性質(zhì)和數(shù)列極限性質(zhì)完全相仿,函數(shù)極限也具有以下幾個(gè)性質(zhì)：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 1如l im f xa、 lim g xb、 ,且 a>b,就存在 >0,使當(dāng) 0| xx 0 |時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx>gxxx 0xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：取ab 、 2那么存在10、當(dāng)0| xx 0 |1時(shí),有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fxaab；同時(shí)又存在20,當(dāng)20| xx 0 |2時(shí),有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

16、載g xbab, 現(xiàn) 在 , 令2min1 、2, 那 么 當(dāng) 0| xx 0 |時(shí) , 就 有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g xab 2fx .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 2如lim fxa 、 l im g xb、 且存在 >0,使當(dāng) 0| xx 0 |時(shí),fx<gx,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 a bxx 0xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性 質(zhì)3 如lim fxa 而a>ba<b , 就 存 在 >0 , 使 當(dāng) 0| xx

17、0 |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0時(shí)、fx>bfx<b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 4如l im fxa 、 l im f xb、 就 a=b,這說明白函數(shù)極限的惟一性精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：采納反證法, 假如 a b,不妨設(shè) a>b,由性質(zhì) 1 知道,存在 >0,當(dāng) 0| xx 0 |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時(shí),有 fx>fx沖突,這就證明白a=b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 5如存

18、在 >0,使當(dāng) 0| xx 0 |時(shí), fx gx hx ,并且l im f xa 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0l im h xa 、 就 lim g xa .xx 0xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 6 局部有界性 如l im f xa ,就存在著 >0,使得 fx在區(qū)間x 0、 x 0和精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 0 、 x 0內(nèi)有界,亦即在不等式0| xx 0 |所表示的區(qū)間內(nèi)有界精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 注：如函數(shù) fx在某

19、個(gè)區(qū)間z 內(nèi)滿意 a fx b,其中 a,b 為兩個(gè)常數(shù), 我們稱 fx在 z 內(nèi)有界,并稱a 為 fx在 z 內(nèi)的下界, b 為 fx在 z 內(nèi)的上界明顯,對(duì)任何 >0, a- 都為 fx的下界, 同樣對(duì)任何 >0,b+ 都為 fx的上界 這個(gè)定義也可以這樣表達(dá)：設(shè)函數(shù) fx在某個(gè)區(qū)間z 內(nèi)滿意 |fx| m,其中 m為一個(gè)正實(shí)數(shù), 我們就稱fx在 z 內(nèi)有界以上兩種說法明顯為等價(jià)的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證 明 ： 取 個(gè) 固 定 的 , 譬 如 說 取 =1 , 由l im f xa 知 道

20、, 存 在 >0 , 當(dāng)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0| xx 0 |時(shí),有 a-1<fx<a+1,這就證明白fx在 x 0、 x 0和 x 0 、 x 0內(nèi)有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載界精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要留意的為, 由極限存在, 只能肯定函數(shù)在相應(yīng)的某個(gè)去心鄰域o x 0 、x 0內(nèi)有界,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而不能肯定它在整個(gè)定義域內(nèi)有界例如x 31yx1、 它的定義域?yàn)? , 1

21、和1 , + ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由前面的例子知道x 3lim13 依據(jù)性質(zhì)6,存在某個(gè) >0,在 1- , 1 和1 , 1+ 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 31x1 x1x 31精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載內(nèi),有界但為這個(gè)函數(shù)在它的定義域內(nèi)有x1yx 2x1x1 x1 ,它的圖精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載形為一條拋物線,但除去x=1,可見在 - , 1 和1 , + 內(nèi)為無界的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì).如 函 數(shù)f

22、x和gx均 在 點(diǎn)x 0 處 連 續(xù) , 就 函 數(shù)fx± gx, fx· gx,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx/gxg x 00在點(diǎn)x 0 處也連續(xù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如函數(shù)y=fu在點(diǎn)u 0 處連續(xù),ux在點(diǎn)x 0 連續(xù),且x 0u 0 ,就復(fù)合函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yfx在點(diǎn) x 0 連續(xù)如函數(shù)y=fx在區(qū)間 a , b 上單調(diào).連續(xù),且fa= ,fb=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,就其反函數(shù)yf1 x在區(qū)間 , 或