高一第1學(xué)期昂立機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)教案講義-07—命題和充要條件-教師版

1、高 一 第 1 學(xué) 期 昂 立 機(jī) 構(gòu) 數(shù) 學(xué) 教 案 講義 - 0 7 命 題 和 充 要 條 件 - 教 師 版( 共 2 6 頁(yè) )-本頁(yè)僅作為文檔封面，使用時(shí)請(qǐng)直接刪除即可- -內(nèi)頁(yè)可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小- 1 高一數(shù)學(xué)暑假班（教師版）教師日期學(xué)生課程編號(hào)課型課題命題和充要條件教學(xué)目標(biāo)1、理解邏輯連接詞“或”、“且”、“非”的含義；2、理解四種命題及其相互關(guān)系；3、理解充分條件、必要條件及充要條件的意義；4、理解子集與推出關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)1、熟練掌握原命題、逆命題、否命題、逆否命題之間的轉(zhuǎn)化；2、熟練運(yùn)用互為逆否命題的真假值相同這一結(jié)論；3、理解充分條件、必要條件、充要條件之間的

2、關(guān)系，并會(huì)證明。教學(xué)安排版塊時(shí)長(zhǎng)1 例題解析80 2 鞏固訓(xùn)練30 3 師生總結(jié)10 4 課后練習(xí)30 2 1設(shè)全集為r，21xyxm，則mcr.【難度】【答案】，112已知集合2,yxyxm，4,yxyxn，那么集合nm.【難度】【答案】13，3全集9876543210，u，集合85310，a，86542，b，則bcacuu.【難度】【答案】97，【解析】解法一：9,7 , 6, 4, 2acu，9,7 , 3 , 1 , 0bcu，所以97，bcacuu；解法二：8 , 6, 5 ,4, 3 , 2, 1 , 0ba，所以97，bacu，所以97，bacbcacuuu.4已知集合72xxa

3、，121mxmxb，若aba，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【難度】【答案】4m命題和充要條件熱身練習(xí)3 【解析】aba，則ab，不能忽視b的情況，當(dāng)b時(shí)，121mm，解得2m；當(dāng)b時(shí)，71221121mmmm，解得42m，所以實(shí)數(shù)m 的取值范圍是4m.5若集合rxaxxxa,012，集合21，b，且ba，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.【難度】【答案】2 ,2子集與推出關(guān)系充要條件充分條件、必要條件充分、必要條件等價(jià)命題四種命題形式命題與推出關(guān)系命題的形式及等價(jià)關(guān)系命題和充要條件一、有關(guān)命題的概念一般地，我們把可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。命題通常用陳述句表示，正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題。【例 1

4、】判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是，判斷其真假；若不是，說明理由。例題解析知識(shí)梳理4 （1）12 是 4 的倍數(shù)；（2）對(duì)角互補(bǔ)的四邊形外接于一個(gè)圓；（3）我會(huì)說英語(yǔ)；（4）今天下雨嗎?（5）ab是有理數(shù)，則ba,都是有理數(shù)?！倦y度】【答案】（ 1）是命題，真命題，因?yàn)?412。（2）是命題，真命題，定理。（3）是命題，假命題，當(dāng)2,2 ba時(shí)，ab為有理數(shù)，而ba,不是有理數(shù)。（4）不是命題，沒有對(duì)一事物做出判斷。（5）不是命題，因?yàn)槠洳荒茏龀稣婕倥袛?。【?2】判斷下列命題的真假：（1）質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；（2）鈍角三角形的內(nèi)角至少有一個(gè)是鈍角；（3）若0 x，0y，則0 xy。（4）若ab,ac,

5、則bc?！倦y度】【答案】（ 1）假命題，例如2 是質(zhì)數(shù)但不是奇數(shù)。（2）真命題；（ 3）真命題；（4）假命題，例如 5, 4,3 ,2, 1,5 ,4,3 ,2, 1cba，此時(shí)cb說明：假命題的判斷可以使用“ 舉反例法 ” 。 若判斷為真命題，則需證明。一般地，如果命題成立可以推出命題也成立，那么就說由可以推出，記作。相反的，如果成立不能推出成立，那么就說由不可以推出，記作。5 如果，并且，那么就說與等價(jià)，記作。復(fù)合命題的真假“非 p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p 非 p 真假假真“p且 q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：“p且 q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p q p或

6、 q 真真真真假真假真真假假假【例 3】寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假。（1）p：9 是 144的約數(shù)，q：9 是 225的約數(shù)。（2）p：方程210 x的解是1x，q：方程210 x的解是1x；（3）p：實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)，q：實(shí)數(shù)的平方是 0. 【難度】【答案】由簡(jiǎn)單命題構(gòu)成復(fù)合命題，一定要檢驗(yàn)是否符合“真值表”，如果不符，要作語(yǔ)言上的調(diào)整。（1）p或q：9 是 144或 225的約數(shù)；p且q：9 是 144與 225的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?9 是 144 的約數(shù)，且 9是 225的約數(shù)）；非p：9 不是 144的約數(shù).p

7、 q p 且 q 真真真真假假假真假假假假6 p真，q真，“p或q”為真，“p且q”為真，而“非p”為假 .（2）p或q：方程012x的解是1x,或方程012x的解是1x（注意，不能寫成“方程012x的解是1x”，這與真值表不符）；p且q：方程012x的解是1x，且方程012x的解是1x；非p：方程012x的解不都是1x（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）；p假，q假，“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真 .（3）p或q：實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0；p且q：實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)且實(shí)數(shù)的平方都是0；非p：實(shí)數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實(shí)數(shù)，其平方不是正數(shù)）；p

8、假，q假，“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真. 【鞏固訓(xùn)練】1、判斷下列命題的真假：（1）所有能被6 整除的整數(shù)都是3 的倍數(shù)；（2）關(guān)于x的方程+ =0(ax babr、）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根?！倦y度】 【答案】（ 1）真命題。（ 2）假命題，當(dāng)0,0 ba時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。說明：假命題的判斷可以使用“舉反例法”。若判斷為真命題，則需證明。2、判斷命題 “ 若2x或3y，則+5x y” 的真假?！倦y度】 【答案】假命題，例如4, 1 yx此時(shí)5yx。7 說明：根據(jù)其逆否命題的真假來進(jìn)行判斷原命題的真假，因?yàn)樗鼈兪堑葍r(jià)的。二、命題的四種形式及其關(guān)系一個(gè)數(shù)學(xué)命題用條件，結(jié)論表示就是“如

9、果，那么”，把結(jié)論與條件交換，就得到一個(gè)新命題“如果，那么”，我們把這個(gè)命題叫做原命題的逆命題 。【例 5】命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則他的平方是正數(shù)”的逆命題是（） a. “若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” b. “若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” c. “若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” d. “若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”【難度】【答案】 b 如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件與結(jié)論的否定，我們把這兩個(gè)命題叫做互否命題。如果其中一個(gè)叫做原命題，那么另外一個(gè)叫做原命題的否命題 ?！纠?4】若命題p的否命題是q，命題的逆命題是r，則r是p的逆命題的（）a. 原命

10、題b. 逆否命題c. 逆命題d. 否命題【難度】【答案】 d 命題、的否定分別記作、（命題的否定與否命題是兩種不同形式）。如果把原命題“如果，那么”結(jié)論的否定作條件，把條件的否定作結(jié)論，那么就可以得到一個(gè)新命題，我們將它叫做原命題的逆否命題 ?！纠?6】寫出命題“已知abcdr、 、 、，若=a bc d，則=ac bd”的其他三種形式?！倦y度】【答案】逆命題：已知abcdr、 、 、，若=ac bd，則=a bc d，。否命題：已知abcdr、 、 、，若ab或cd，則acbd。8 逆否命題：已知abcdr、 、 、，若acbd，則ab或cd。四種命題形式及其相互關(guān)系: 常見結(jié)論的否定形式：

11、（拓展內(nèi)容）原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式是不是至少有一個(gè)沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有二個(gè)大于小于或等于至少有 n個(gè)至多有 n-1 個(gè)小于大于或等于至多有 n個(gè)至少有 n+1個(gè)對(duì)所有的x成立存在x不成立p 或 q非 p 且非 q對(duì)任何的 x不成立存在 x成立p 且 q非 p 或非 q【例 7】命題：已知 a，b為實(shí)數(shù)，若20 xaxb有非空解集，則240ab。寫出該命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷這些命題的真假？【難度】【答案】逆命題：已知ba,為實(shí)數(shù)，若240ab，則20 xaxb有非空解集否命題：已知ba,為實(shí)數(shù)，若20 xaxb沒有非空解集，則240ab逆否命題：已知ba,為實(shí)數(shù)，

12、若240ab，則20 xaxb沒有非空解集9 【鞏固訓(xùn)練】1、下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）a命題“若 p ，則 q”與命題“若非p則非 q”互為逆否命題b命題 p ：任意0,11xxe，命題 q：存在210 xrxx，則pq為真c“若22ambm則ab”的逆命題為真命題d若pq為假命題，則 p 、 q均為假命題ab22ambm【難度】【答案】 c 2、寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假。（1）; 023, 2,2xxxrx則若（2）；都為、則若0,022baba【難度】【答案】（ 1）逆命題：2,023,2xxxrx則若假命題。否命題：023,2,2xxxrx則若假命題。逆否命題：2,

13、023,2xxxrx則若真命題。（2）逆命題：0, 022baba則都為、若真命題。否命題：0,022中至少有一個(gè)不為、則若baba真命題。逆否命題：0,022baba則中至少有一個(gè)不為、若真命題。3、寫出下列命題的逆命題、否命題.（1）兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)；（2）.5|1|,46xxx則或【難度】【答案】（ 1）逆命題：若兩個(gè)數(shù)的和是有理數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)是有理數(shù)。10 否命題：若兩個(gè)數(shù)不都是有理數(shù)，那么它們的和不是有理數(shù)。（2）逆命題：.46, 5|1|xxx或則若。否命題：.5|1|, 46xxx則且若。三、有關(guān)等價(jià)命題如果a、b是兩個(gè)命題，abba,，那么a、b叫做等價(jià)命題 （互為逆否

14、命題的兩個(gè)命題是等價(jià)命題）?！纠?8】下列各組中兩個(gè)命題是否為等價(jià)命題。（1）.”與“bbaba（2）.”與“baxax【難度】【答案】（ 1）bbaba，反過來，若ax，則bax，而bba，所以即有bx，ba，則babba。所以為等價(jià)命題。（2）,baxax而axbax，不等價(jià)。【例 9】已知：abcbcabbddacdc是的邊上的一點(diǎn)，求證命題“如果, 那么 d不在abc的內(nèi)角平分線上”【難度】【答案】原命題的逆否命題為已知abcbcd是的邊上的一點(diǎn)，如果dabc在的內(nèi)角平分線上，那么abbdacdc證明：過c 作da 的平行線交ba 的延長(zhǎng)線于e，在bce中，/ /,dace,babdb

15、adbecaedc且dacace, 又badace. 11 becace, aeac從而abbdacdc因?yàn)槟娣衩}為真命題，所以原命題為真命題。【鞏固訓(xùn)練】1、下列各組中兩個(gè)命題是否為等價(jià)命題。（1）“baa”與“ba”（2）“bam”與“bam”【難度】【答案】（ 1）babaa，而反過來不成立，所以不等價(jià)。（2）bambam，而反過來不成立，所以不等價(jià)。2、判斷下列命題真假。（1）. 5042mmxx有兩實(shí)根，則若（2）. 21, 3yxyx或則若【難度】【答案】（ 1）其逆否命題為：無實(shí)根，則若0452mxxm，為真命題，所以原命題為真命題。（ 2）其逆否命題為：.3,21yxyx則且

16、若，為真命題，所以原命題為真命題。四、充要條件的判定充分條件與必要條件：一般地，用、分別表示兩個(gè)命題，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分條件。叫做的必要條件。例如0a是=0ab充分非必要條件，1x是2x的必要非充分條件。充要條件：如果既有，又有，即有，那么既是的充分條件又是的必要12 條件，這時(shí)我們就說是的充要條件。例如0a或0b是=0ab充分必要條件。【例 10】證明：0ac是關(guān)于x的一元二次方程2+ =0axbx c有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的充分非必要條件。【難度】【答案】充分性：若0，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。非必要性：當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則0，而不僅僅是0 xy”的什么條件？【

17、難度】【答案】必要非充分條件。說明：寫成命題形式，判斷原命題及其逆命題的真假即可。13 2、已知qp、都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么prs,分別是q的什么條件？【難度】【答案】s是q的充要條件； (srq，qs) r是q的充要條件； (rq，qsr) p是q的必要條件； (qsrp) 五、充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用【例 13】判斷是的什么條件（1）11:a1: a；（2）aba:bba:；（3）yx:22:yx；（4）0, 0:21xx0,0:2121xxxx. 【難度】【答案】（ 1）是的必要非充分條件；（2）是的充要條件；（3）是的非充分非必要條件；（4

18、）是的充要條件；【例 14】求有關(guān)x的方程042)2(2)1(2mxmxm（1）有一個(gè)根大于 1，有一個(gè)根小于 1 的充要條件 .（2）“有兩個(gè)小于 3 的根”的充要條件?！倦y度】【答案】（ 1）設(shè)方程兩個(gè)根分別為21,xx，不妨設(shè)1, 121xx，則問題等價(jià)于：0) 1)(1(021xx19m。14 （2）設(shè)方程兩個(gè)根分別為21,xx，不妨設(shè)3, 321xx，則問題等價(jià)于：510-010)3)(3(0) 3() 3(02121mmxxxx或【例 15】已知關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 、 ，證明： | |2 且| |2是 2|a|4+b且|b|0即有024024

19、baba4+b2a(4+b) 又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性 由 2|a|4+bf( 2)0且 f(x)的圖象是開口向上的拋物線方程 f(x)=0 的兩根 ， 同在(2，2）內(nèi)或無實(shí)根 ， 是方程 f(x)=0 的實(shí)根， ， 同在(2，2）內(nèi)，即 | |2 且| |2 【鞏固訓(xùn)練】1、已知,a b是實(shí)數(shù)，則0000ababab“且”是“且”的 （） a.充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c.充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件15 【難度】【答案】 c. 2、已知命題: 431px；命題2:(21)(1)0q xaxa a。若 p 是 q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a的

20、取值范圍是 _ ?！倦y度】【答案】21,0六、子集與推出關(guān)系設(shè)a、b是非空集合，b|b|具有性質(zhì)，具有性質(zhì)baaa，則ba與等價(jià)。【例 16】利用子集與推出關(guān)系判斷下列甲是乙的什么條件。（1）甲：0 x，乙：0 x；（2）甲：022yx，乙：0,0 yx；（3）甲：0 x，乙：0| x；（4）甲：2| x，乙：1|1| x?！倦y度】【答案】（ 1）令0|xxa，0|xxb，b是a的子集，但是a不是b的子集。所以甲是乙的必要非充分條件。（2）甲是乙的必充要條件。（3）甲是乙的充分非必要條件。（ 4）甲是乙的必要非充分條件?！纠?17】（1）是否存在實(shí)數(shù) m，使得20 xm是2230 xx的充分條

21、件？（2）是否存在實(shí)數(shù) m，使得20 xm是2230 xx的必要條件？【難度】16 【答案】（ 1）欲使得20 xm是2230 xx的充分條件，則只要|12mx xx x或3x，則只要12m即2m，故存在實(shí)數(shù)2m時(shí)，使20 xm是2230 xx的充分條件（2）欲使20 xm是2230 xx的必要條件，則只要|12mx xx x或3x，則這是不可能的，故不存在實(shí)數(shù)m時(shí)，使20 xm是2230 xx的必要條件【例 18】若不等式1xm成立的充分不必要條件是1132x，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_?！倦y度】【答案】解不等 式1xm得到11mxm，由題可知：1132x11mxm所以113112mm，則4

22、312mm，所以 m的取值范圍是1 42 3，【鞏固訓(xùn)練】1、已知：22221234,:14xyxya，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【難度】【答案】553322a2、設(shè)1-5-2 +1-2m-3,m,xxxmxr：或， ：或是的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！倦y度】【答案】01m。17 【解析】命題和充要條件是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有很高的地位.歷年高考命題中,充分條件和必要條件已經(jīng)成了高考考查的一個(gè)熱點(diǎn),雖然這一部分在課本中只占一小節(jié)內(nèi)容 ,定義也很簡(jiǎn)單 ,但它涉及的知識(shí)面很廣 ,幾乎滲透了高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落；充要條件是數(shù)學(xué)中極其重要的一個(gè)概念,有關(guān)充要條件問題的求解是

23、解題的一個(gè)難點(diǎn),解這類問題需熟練掌握條件的概念,理解其含義 ,結(jié)合題設(shè)條件正確地分清條件與結(jié)論.在高考數(shù)學(xué)卷中，判斷充要條件的問題常出現(xiàn)在選擇題中，一般會(huì)與函數(shù)、不等式、立體幾何等知識(shí)結(jié)合起來進(jìn)行考查1、設(shè)命題甲為： “05x” ，命題乙： “23x” ，則甲是乙的條件【知識(shí)點(diǎn)】充分、必要條件的判定【難度】【題型】填空題【答案】充分非必要2、已知命題p：“20 xa a” ，命題q：“241x” ，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【知識(shí)點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用【難度】【題型】填空題課后練習(xí)反思總結(jié)18 【答案】 052a（或0ap，其中52p即可）3、“1a” 是“

24、 函數(shù)22cossinyaxax 的最小正周期為” 的條件【知識(shí)點(diǎn)】充分、必要條件的判定【難度】【題型】填空題【答案】充分非必要4、已知方程0fx的解集是a，方程0g x的解集是b，則方程0fxg x的解集是【知識(shí)點(diǎn)】有關(guān)命題基本知識(shí)【難度】【題型】填空題【答案】ab5、已知四個(gè)命題：0c是函數(shù) fxx xc 是奇函數(shù)的必要非充分條件；若,x yr，則221xy是2xy的充分非必要條件；ab、是abc的兩內(nèi)角，則ab是sinsinab的充要條件；兩條直線的斜率相等是這兩條直線平行的既不充分也不必要條件；其中為真命題的有（把你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）【知識(shí)點(diǎn)】有關(guān)命題的概念【難度】【題型】填空題【答案】6、二次函數(shù) fx 的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有22f