專題一：恒成立與存在性問題

1、專題一：恒成立與存在性（精簡型）一、 恒成立之常用模型及方法一：分離參數(shù)法-在指定的區(qū)間下對不等式作等價變形，將參數(shù)“a”與變量“x”左右分離開-模型 -f ( x)對一切xI恒成立f ( x) minf ( x)對一切xI恒成立f ( x)max?？谠E：大就大其最大，小就小其最小，即最終轉(zhuǎn)換求函數(shù)最值例 1 已知 f (x)2x22ax 3，若 x1,2 , f x0 恒成立，求a 的取值范圍 .例 2 已知 l nxax0 ，在定義上恒成立， 求 a 的取值范圍 .二、恒成立之常用模型及方法二：（構(gòu)造）函數(shù)利用函數(shù)圖象（性質(zhì)） 分析法-此法關(guān)鍵在函數(shù)的構(gòu)造上，常見于兩種-一分為二或和而為一

2、，另一點(diǎn)充分利用函數(shù)的圖象來分析，即體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想例3已知f (x)x 2ax3a ，若x2,2, f ( x)0 恒成立，求a 的取值范圍.例 4 若不等式 x2logm x0 在0, 1內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍2三、存在性之常用模型及方法：常見方法兩種，一直接法同上恒成立，二間接法，先求其否定（恒成立），再求其否定補(bǔ)集即可例 5 已知 f (x)2x22ax 3，若存在 x1,2 , 使得 f x0 成立，求 a 的取值范圍 .四、其它常用模型及方法：1.設(shè)函數(shù)fx、 g x，對任意的 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，則f min xg minx2.設(shè)函

3、數(shù) fx、 g x，對任意的 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，則fmax xgmax x3.設(shè)函數(shù)fx、 g x，存在 x1a , b ，存在 x2c , d，使得fx1g x2，則f max xg minx4.設(shè)函數(shù)fx、 g x，存在 x1a , b ，存在 x2c , d，使得fx1g x2，則f min xg maxx5.若不等式 fxgx 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價于在區(qū)間D 上函數(shù) yfx和圖象在函數(shù) ygx圖象上方；6.若不等式fxgx 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價于在區(qū)間D 上函數(shù) yfx和圖象在函數(shù) ygx圖象下方；7.設(shè)函數(shù) fx、 g x，

4、對任意的 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx=gx，則12fx 在 x1a , b 上的值域 M是 g x 在 x2c , d 上的值域 N 的子集。即： MN。8.設(shè) 函 數(shù) f x， 對 任 意 的 xa, b ， 使 得f ( x) m恒成立，則.9.設(shè) 函 數(shù) f x， 對 任 意 的 xa,b， 使 得f ( x1 ) f ( x2 ) m 恒 成 立 ， 則.五、鞏固訓(xùn)練1. 設(shè)函數(shù)f ( x)2 x33(a1) x26ax 8其中 a R (1)若f ( x)在x處得極值求常數(shù) 的值3,a.若f ( x)在(,0)上為增函數(shù)求 的取值范圍( 2),a2. 已知兩函

5、數(shù) f(x)=8x 2+16x-k ， g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 為實(shí)數(shù)。（1）對任意 x -3 ， 3 ，都有 f （ x) g(x) 成立，求 k 的取值范圍；（2）存在 x-3 ， 3，使 f （ x) g(x)成立，求 k 的取值范圍；（3）對任意x1、x2-3 ， 3 ，都有 f （ x1) g(x 2) ，求 k 的取值范圍。（4）存在 x1, x23,3，都有 f x1g x2，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；3.已知函數(shù) f ( x)x3ax 2x 1， aR . （）討論函數(shù)f (x) 的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間2， 1內(nèi)是減函數(shù)，求a 的取值范圍3

6、34.已知是（， +）上的減函數(shù)，那么a 的取值范圍是5.已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3 xx-6ax>7 7,數(shù)列 a n 滿足an=f(n)(n*N),且數(shù)列a n 是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是6. 函數(shù)F（ x ） =log2 （ 3x12a ) 在定義域上F（ x) 4 恒成立，求a 的取值范圍x7.設(shè)函數(shù)f ( x)ax24x , g (x)axa , 若恒有f ( x)g( x) 成立 , 試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .8. 若不等式4x2x 1a 0 在 1 ，2 上恒成立，則a 的取值范圍為9. 若對于任意 a 1，不等式 x2(a 4) x42a0 恒成立，求實(shí)

7、數(shù) x 的取值范圍10.f ( x) log a( x3 ax)( a>0， a 1) 在區(qū)間 1， 0上單調(diào)遞增，則 a 的取值范圍是211. 已知函數(shù) f ()xax 22ln(x) （ a 為實(shí)數(shù)）1（I ）若 f ( x) 在 x1處有極值，求a 的值；（II ）若 f (x) 在 3， 2 上是增函數(shù)，求a 的取值范圍。12設(shè)函數(shù) f ( x)ln x2ax .x1（）若 x時， f (x) 取得極值，求 a 的值；2（）若 f ( x) 在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a 的取值范圍；13設(shè)函數(shù) f (x)(1x)22ln(1x) .（）求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng) x 1

8、1,e1時，不等式 f ( x)< m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；ex4ax32 x214. 設(shè)函數(shù) f (x)b( xR) ，其中 a,bR （）若對于任意的a2，2，不等式f (x) 1在11， 上恒成立，求 b 的取值范圍例15. 不等式 axx(4x) 在 x0,3 內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。1x16. 已知兩函數(shù)f ( x)x 2 ， g(x)m ，對任意 x10,2 ，存在 x21,2 ，使得2f ( x1)g x2，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為17. 設(shè)函數(shù) h( x)axb ，對任意 a1,2 ，都有 h( x)1x10 在 x ,1 恒成立，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍2418. 已知 f ( x)2axbln x 在 x1 與 x1處都取得極值 .函數(shù) g(x) = x22mx+m ，1x12若對任意的 x1f (x2 ) ln x2 ，求實(shí)數(shù) m 的取,2 ，總存在 x2 ,2 ，使得、 g (x1 )22值范圍。19. 已知函數(shù)f ( x)ax1ln x (aR ) （1）討論函數(shù)f (x) 在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)； （ 2）若函數(shù) f ( x) 在 x1處