《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》專題19解直角三角形問(wèn)題（原卷版）VIP

1、專題19 解直角三角形問(wèn)題一、勾股定理和勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2b2=c2。，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 二、直角三角形的判定及性質(zhì)1.直角三角形的判定(1)有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形；(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形；(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形。2.直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直

2、角三角形中30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、各種銳角三角函數(shù)的定義1正弦：在abc中，c=90°把銳角a的對(duì)邊與斜邊的比值叫做a的正弦，記作sina 。2余弦：在abc中，c=90°，把銳角a的鄰邊與斜邊比值的叫做a的余弦，記作cosa 。3正切：在abc中，c=90°，把銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比值叫做a的正切，記作tana 。四、解直角三角形問(wèn)題類型 1解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。2

3、解直角三角形的理論依據(jù)：在rtabc中，c=90°，a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：a+b=90°（3）邊角之間的關(guān)系：3. 解直角三角形類型總結(jié)表格類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tana=，b=90°-a一直角邊a，斜邊cb=，sina=，b=90°-a一邊一銳角一直角邊a，銳角ab=90°-a，b=a·cota，c=斜邊c，銳角ab=90°-a，a=c·sina， b=c·cosa五、特殊值的三角函數(shù)三角函數(shù)0°30

4、76;45°60°90°sin01cos10tan01不存在cot不存在10六、仰角、俯角、坡度1仰角：視線在水平線上方的角；2俯角：視線在水平線下方的角。 3坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。七、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sina=cos(90°a)，cosa=sin(90°a)tana=cot(90°a)，cota=tan(90°a)（2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tanatan(90°a)=1（4）弦切關(guān)系 ta

5、na=八、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?）余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅纠}1】（2020陜西）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)a，b，c都在格點(diǎn)上，若bd是abc的高，則bd的長(zhǎng)為（）a101313b91313c81313d71313【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020貴州黔西南）如圖所示，在rtabc中，c90°，點(diǎn)d在線段bc上，且b30°

6、;，adc60°，bc，則bd的長(zhǎng)度為_(kāi)【例題2】（2020涼山州）如圖所示，abc的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tana的值為（）a12b22c2d22【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020揚(yáng)州）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)a、b、c都在格點(diǎn)上，以ab為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)c、d，則sinadc的值為（）a21313b31313c23d32【例題3】（2020荊門(mén)）如圖，海島b在海島a的北偏東30方向，且與海島a相距20海里，一艘漁船從海島b出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75°方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島a出發(fā)，向正東方向航行2小時(shí)后，快艇到達(dá)c處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向

7、的e處（1）求abe的度數(shù)；（2）求快艇的速度及c，e之間的距離（參考數(shù)據(jù)：sin15°0.26，cos15°0.97，tan15°0.27，31.73）【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019浙江寧波）如圖，某海防哨所o發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的a處有一艘船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東60°方向的b處，則此時(shí)這艘船與哨所的距離ob約為多少米（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）一、選擇題1（2020長(zhǎng)沙）從一艘船上測(cè)得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時(shí)，船離燈塔的水平距離是（）a423米b143米c21米d42米2

8、（2020河北）如圖，從筆直的公路l旁一點(diǎn)p出發(fā)，向西走6km到達(dá)l；從p出發(fā)向北走6km也到達(dá)l下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）a從點(diǎn)p向北偏西45°走3km到達(dá)lb公路l的走向是南偏西45°c公路l的走向是北偏東45°d從點(diǎn)p向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l3（2020聊城）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，abc的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sinacb的值為（）a355b175c35d454（2020重慶）如圖，在距某居民樓ab樓底b點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的c點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡cd的坡度（或坡比）i1：0.75，山坡坡底c點(diǎn)到

9、坡頂d點(diǎn)的距離cd45m，在坡頂d點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂a點(diǎn)的仰角為28°，居民樓ab與山坡cd的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓ab的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°0.47，cos28°0.88，tan28°0.53）（）a76.9mb82.1mc94.8md112.6m5（2020廣元）規(guī)定：sin（x）sinx，cos（x）cosx，cos（x+y）cosxcosysinxsiny，給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）sin（30°）=-12；（2）cos2xcos2xsin2x；（3）cos（xy）cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15

10、76;=6-24其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)6.（2020貴州黔西南）如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿ab，從水平位置繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)到ab的位置，已知ao的長(zhǎng)為4米若欄桿的旋轉(zhuǎn)角aoa，則欄桿a端升高的高度為（ ）a. 米b. 4sin米c. 米d. 4cos米二、填空題7（2020湘潭）計(jì)算：sin45° 8（2020天水）如圖所示，aob是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sinaob的值是 9（2020深圳）如圖，在四邊形abcd中，ac與bd相交于點(diǎn)o，abcdac90°，tanacb=12，bood=43，則sabdscbd= 10（2020菏澤）如圖，在a

11、bc中，acb90°，點(diǎn)d為ab邊的中點(diǎn)，連接cd，若bc4，cd3，則cosdcb的值為 11（2020泰安）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地bcad，bead，斜坡ab長(zhǎng)26m，斜坡ab的坡比為12：5為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)50°時(shí)，可確保山體不滑坡如果改造時(shí)保持坡腳a不動(dòng)，則坡頂b沿bc至少向右移 m時(shí)，才能確保山體不滑坡（取tan50°1.2）12（2020棗莊）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）若ab，ac的長(zhǎng)都為2m，當(dāng)50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度ad是 m（結(jié)

12、果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.19）三、簡(jiǎn)答題13.（2020浙江溫州）如圖，在6×4的方格紙abcd中，請(qǐng)按要求畫(huà)格點(diǎn)線段（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），且線段的端點(diǎn)均不與點(diǎn)a，b，c，d重合（1）在圖1中畫(huà)格點(diǎn)線段ef，gh各一條，使點(diǎn)e，f，g，h分別落在邊ab，bc，cd，da上，且efgh，ef不平行g(shù)h；（2）在圖2中畫(huà)格點(diǎn)線段mn，pq各一條，使點(diǎn)m，n，p，q分別落在邊ab，bc，cd，da上，且pqmn來(lái).com14（2020涼山州）如圖，o的半徑為r，其內(nèi)接銳角三角形abc中，a、b、c所對(duì)

13、的邊分別是a、b、c（1）求證：asina=bsinb=csinc=2r；（2）若a60°，c45°，bc43，利用（1）的結(jié)論求ab的長(zhǎng)和sinb的值15（2020隨州）如圖，某樓房ab頂部有一根天線be，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)c，d，a，在點(diǎn)c處測(cè)得天線頂端e的仰角為60°，從點(diǎn)c走到點(diǎn)d，測(cè)得cd5米，從點(diǎn)d測(cè)得天線底端b的仰角為45°，已知a，b，e在同一條垂直于地面的直線上，ab25米（1）求a與c之間的距離；（2）求天線be的高度（參考數(shù)據(jù)：31.73，結(jié)果保留整數(shù)）16（2020臨沂）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在

14、墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角般要滿足60°75°，現(xiàn)有一架長(zhǎng)5.5m的梯子（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.2m時(shí)，等于多少度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？此時(shí)人是否能夠安全使用這架梯子？（參考數(shù)據(jù)：sin75°0.97，cos75°0.26，tan75°3.73，sin23.6°0.40，cos66.4°0.40，tan21.8°0.40）17（2020岳陽(yáng)）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖a，b兩地向c地新建ac，bc兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得c地在a地北偏東45°方向上，在b地北偏西68°向上，ab的距離為7km，求新建管道的總長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1km