《中考課件初中數學總復習資料》專題06 二次函數的圖象性質及應用（解析版）

1、專題06 二次函數的圖象性質及應用一 選擇題1. （唐山市遵化市一模）如圖，二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象的頂點在第一象限，且過點(0,1)和(-1,0)，下列結論：ab<0，b2-4ac>0，a-b+c<0，c=1，當x>-1時，y>0其中正確結論的個數是()a. 2個b. 3個c. 4個d. 5個【解析】有圖象可知，a<0，b>0，則ab<0，故正確；圖象與x軸兩個交點，則b2-4ac>0，故正確；圖象過點(-1,0)，則a-b+c=0，故錯誤；圖象過點(0,1)，則c=1，故正確；由圖象可知，當x>-1時，一部分函數

2、值大于0，有一個函數值等于0，還有一分部小于0，故錯誤；由上可得，正確的結論是，有3個；故選：b2.（合肥168中一模）已知二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，在下列五個結論中：2a-b<0；abc<0；a+b+c<0；a-b+c>0；4a+2b+c>0，錯誤的個數有()a. 1個b. 2個c. 3個d. 4個【解析】：由函數圖象開口向下可知，a<0，由函數的對稱軸x=-b2a>-1，故b2a<1，a<0，b>2a，所以2a-b<0，正確； a<0，對稱軸在y軸左側，a，b同號，圖象與y軸交于負半

3、軸，則c<0，故abc<0；正確；當x=1時，y=a+b+c<0，正確；當x=-1時，y=a-b+c<0，錯誤；當x=2時，y=4a+2b+c<0，錯誤；故錯誤的有2個故選：b3.（宿州市一模）如圖，在矩形abcd中，ab4，bc6，當直角三角板mpn的直角頂點p在bc邊上移動時，直角邊mp始終經過點a，設直角三角板的另一直角邊pn與cd相交于點qbpx，cqy，那么y與x之間的函數圖象大致是（）abcd【解析】設bpx，cqy，則ap242+x2，pq2（6x）2+y2，aq2（4y）2+62；apq為直角三角形，ap2+pq2aq2，即42+x2+（6x）2+

4、y2（4y）2+62，化簡得：y整理得：y根據函數關系式可看出d中的函數圖象與之對應故選：d4.（淮北市名校聯考一模）如圖，在abc中，ab=10，ac=8，bc=6，直線l經過點a，且垂直于ab，分別與ab、ac相交于點m，n.直線l從點a出發(fā)，沿ab方向以1cm/s的速度向點b運動，當直線l經過點b時停止運動，若運動過程中amn的面積是y(cm2)，直線l的運動時間是x(s)則y與x之間函數關系的圖象大致是()a. b. c. d. 【解析】過點c作cdab于d，ac2+bc2=64+36=100=ab2，故abc為直角三角形，sincab=cdac=cbab=610=35，則coscab

5、=45，tancab=34，故cd=acsincab=8×35=4.8，同理ad=6.4，(1)當0x6.4，如圖1， tancab=mnam=34，即mn=34x，y=12×ammn=12×x×34x=38x2，該函數為開口向上的拋物線，且對稱軸為y軸，位于y軸的右側拋物線的一部分；(2)當6.4<x10時，如圖2， 同理：mn=43(10-x)，y=12x×43(10-x)=-23(x-5)2+503，該函數為開口向下的拋物線的一部分，對稱軸為x=5，故選：b二 填空題5.（江西省初中名校聯盟一模）在平面直角坐標系中，將二次函數y=x

6、2-2x+3的圖象先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為_【解析】y=x2-2x+3 =(x-1)2+2，將二次函數y=x2-2x+3的圖象先向左平移1個單位，得到的拋物線的解析式為：y=x2+2，再向下平移2個單位，得到的拋物線的解析式為：y=x2故答案為：y=x26.（南通市崇川區(qū)一模）拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，且經過點(-1,0).若關于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t為實數)在-1<x<4的范圍內有實數根，則t的取值范圍是_【解析】拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，且經過點(-1,0)-b2=11-b+c=0，得

7、b=-2c=-3即拋物線解析式為y=x2-2x-3，當y=t時，t=x2-2x-3，即x2-2x-3-t=0，關于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t為實數)在-1<x<4的范圍內有實數根，t=x2-2x-3有實數根，y=x2-2x-3=(x-1)2-4，當-1<x4時，x=1時，y有最小值-4，當x=4時，y取得最大值5，t的取值范圍是-4t<5，故答案為：-4t<57.（合肥168中一模）如圖，拋物線y=x2+bx+92與y軸相交于點a，與過點a平行于x軸的直線相交于點b(點b在第一象限).拋物線的頂點c在直線ob上，對稱軸與x軸相交于點d.平移拋物線，

8、使其經過點a、d，則平移后的拋物線的解析式為_【解析】令x=0，則y=92，點a(0,92)，b(-b,92)，拋物線的對稱軸為x=-b2，直線ob的解析式為y=-92bx，拋物線的頂點c在直線ob上，y=94頂點c的縱坐標為12×92=94，即4×1×92-b24×1=94，解得b1=3，b2=-3，由圖可知，-b2×1>0，b<0，b=-3，對稱軸為直線x=-32×1=32，點d的坐標為(32,0)，設平移后的拋物線的解析式為y=x2+mx+n，則n=9294+32m+n=0，解得m=-92n=92，所以，y=x2-9

9、2x+92故答案為：y=x2-92x+92三 簡答題8.（淮北市名校聯考一模）我們規(guī)定：若拋物線的頂點在坐標軸上，則稱該拋物線為“數軸函數”.例如拋物線y=x2和y=(x-1)2都是“數軸函數”(1)拋物線y=x2-4x+4和拋物線y=x2-6x是“數軸函數”嗎？請說明理由；(2)若拋物線y=2x2+4mx+m2+16是“數軸函數”，求該拋物線的表達式【解析】(1)拋物線y=x2-4x+4是“數軸函數”，拋物線y=x2-6x不是“數軸函數”；理由：y=x2-4x+4=(x-2)2，拋物線頂點坐標為(2,0)，在x軸上，y=x2-6x=(x-3)2-9，拋物線的頂點坐標為(3,-9)，在第四象限

10、，拋物線y=x2-6x不是“數軸函數”；(2)拋物線y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16，頂點坐標為(-m,-m2+16)，由于拋物線y=2x2+4mx+m2+16是“數軸函數”，分兩種情況：當頂點在x軸上時，-m2+16=0，解得m=±4，拋物線表達式為y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32；當頂點在y軸上時，-m=0，解得m=0，拋物線表達式為y=2x2+16，綜上，拋物線表達式為y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+169.（南通市崇川區(qū)一模）某地政府計劃為農戶購買農機設備提供補貼其中購買型、型設備農民所投資的金額與政

11、府補貼的額度存在下表所示的函數對應關系型號金額型設備型設備投資金額x(萬元)x5x24補貼金額y(萬元)y1=kx(k0)2y2=ax2+bx(a0)2.84(1)分別求y1和y2的函數解析式；(2)有一農戶共投資10萬元購買型、型兩種設備，兩種設備的投資均為整數萬元，要想獲得最大補貼金額，應該如何購買？能獲得的最大補貼金額為多少？【解析】(1)設購買型設備補貼的金額的解析式為：y1=kx，購買型設備補貼的金額的解析式為y2=ax2+bx，由題意，得：2=5k，或4a+2b=2.816a+4b=4，解得：k=25，a=-15b=95，y1的解析式為：y1=25x，y2的函數解析式為：y2=-1

12、5x2+95x.(2)設投資型設備a萬元，型設備(10-a)萬元，補貼金額為w萬元：所以w=y1+y2=25(10-a)+(-15a2+95a)=-15(a-72)2+12920所以當a=3或4時，w的最大值=325，所以投資型設備7萬元，型設備3萬元；或投資型設備6萬元，型設備4萬元，獲得最大補貼金額，最大補貼金額為325萬元10.（江西省初中名校聯盟一模）已知二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與y軸相交于點a.y與x的部分對應值如下表(m為整數)：x0m2y-3-4-3(1)直接寫出m的值和點a的坐標(2)求出二次函數的關系式(3)過點a作直線l/x軸，將拋物線在y軸左側的

13、部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象請你結合新圖象回答：當直線y=x+n與新圖象只有一個公共點p是(s,t)且t5時，求n的取值范圍【解析】(1)根據拋物線的軸對稱性可知：m=1，由表格知，圖象過(0,-3)圖象與y軸相交于a點，a(0,3)；(2)拋物線的頂點坐標為(1,-4)，設拋物線的關系式為：y=a(x-1)2-4，拋物線y軸相交于a(0,-3)，a-4=-3，解得，a=1，二次函數的關系式為：y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3；(3)新圖象如圖所示，當y=x+n與y=x2-2x-3交于點(0,-3)時，n=-3，當y=x+n與y=x2-2x-3交于(s,

14、t)，t=5時，s2-2s-3=5，解得，s=-2(交點在y軸右邊，舍去)，或s=4，y=x+n與新圖象交于(4,5)，則5=4+n，n=1，當直線y=x+n與新圖象只有一個公共點p是(s,t)且t5時，-3<n1；當y=x+n與y=x2-2x-3只有一個交點時，則x2-2x-3=x+n，即x2-3x-3-n=0，=9-4(-3-n)=0，n=-214，當直線y=x+n與新圖象只有一個公共點時，n<-214綜上，n的取值范圍為：-3<n1或n<-21411.（合肥市天鵝湖教育集團一模）某市政府為了扶貧，鼓勵當地農民養(yǎng)殖小龍蝦，如圖：張叔叔順著圩梗an、am（an3m，a

15、m10m，man45°），用8m長的漁網搭建了一個養(yǎng)殖水域（即四邊形abcd），圩梗邊不需要漁網，abcd，c90°設bcxm，四邊形abcd面積為s（m2）（1）求出s關于x的函數表達式及x的取值范圍；（2）x為何值時，圍成的養(yǎng)殖水域面積最大？最大面積是多少？【解析】（1）過d作deab于e，bcxm，dexm，a45°，aexm，ssaed+s矩形debcx2+（8x）xx2+8x，abae+ebx+（8x）8m，b點為定點，de最大為3m，0x3；（2）sx2+8x（x8）2+32，當x8時，s隨x的增大而增大，0x3，當x3時，s取得最大值，s最大

16、5;（38）2+32，答：當x3m時，圍成的養(yǎng)殖水域面積最大，最大面積是12（蕪湖市一模）（12分）如圖，已知拋物線yax2+x+c經過a（4，0），b（1，0）兩點，與y軸交于點c（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線ac上方的拋物線上是否存在一點d，使得dca的面積最大？若存在，求出點d的坐標及dca面積的最大值；若不存在，請說明理由【解析】（1）將點a（4，0）、b（1，0）代入拋物線解析式得：，解得：，則拋物線解析式為yx2+x2；存在如圖1，設d點的橫坐標為t（0t4），則d點的縱坐標為t2+t2過d作y軸的平行線交ac于e設直線ac的解析式為：ymx+n，則 ，解得：，由題意可求得

17、直線ac的解析式為yx2e點的坐標為（t，t2）det2+t2（t2）t2+2tsdcascde+sade×de×oa×（t2+2t）×4t2+4t（t2）2+4當t2時，s最大4當d（2，1），dac面積的最大值為413（宿州市一模）（14分）拋物線yx2+bx+c經過點a、b、c，已知a（1，0），c（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，p為線段bc上一點，過點p作y軸平行線，交拋物線于點d，當bdc的面積最大時，求點p的坐標；（3）如圖2，拋物線頂點為e，efx軸于f點，m（m，0）是x軸上一動點，n是線段ef上一點，若mnc90

18、6;，請指出實數m的變化范圍，并說明理由【解析】（1）由題意得：，解得：，拋物線解析式為yx2+2x+3；（2）令x2+2x+30，x11，x23，即b（3，0），設直線bc的解析式為ykx+b，解得：，直線bc的解析式為yx+3，設p（a，3a），則d（a，a2+2a+3），pd（a2+2a+3）（3a）a2+3a，sbdcspdc+spdbpda+pd（3a）pd3（a2+3a）（a）2+，當a時，bdc的面積最大，此時p（，）；（3）由（1），yx2+2x+3（x1）2+4，of1，ef4，oc3，過c作chef于h點，則cheh1，當m在ef左側時，mnc90°，則mnfnc

19、h，設fnn，則nh3n，即n23nm+10，關于n的方程有解，（3）24（m+1）0，得m且m1；當m與f重合時，m1；當m在ef右側時，rtche中，cheh1，ceh45°，即cef45°，作emce交x軸于點m，則fem45°，fmef4，om5，即n為點e時，om5，m5， 綜上，m的變化范圍為：m514.（合肥168中一模）某市對火車站進行了大規(guī)模的改建，改建后的火車站除原有的普通售票窗口外，新增了自動打印車票的無人售票窗口某日，從早8點開始到上午11點，每個普通售票窗口售出的車票數y1(張)與售票時間x(小時)的正比例函數關系滿足圖中的圖象，每個無人

20、售票窗口售出的車票數y2(張)與售票時間x(小時)的函數關系滿足圖中的圖象(1)圖中圖象的前半段(含端點)是以原點為頂點的拋物線的一部分，根據圖中所給數據確定拋物線的表達式為_，其中自變量x的取值范圍是_；(2)若當天共開放5個無人售票窗口，截至上午9點，兩種窗口共售出的車票數不少于1450張，則至少需要開放多少個普通售票窗口？(3)上午10點時，每個普通售票窗口與每個無人售票窗口售出的車票數恰好相同，試確定圖中圖象的后半段一次函數的表達式【解析】(1)設函數的解析式為y=ax2，把點(1,60)代入解析式得：a=60，則函數解析式為：y=60x2(0x32)；(2)設需要開放x個普通售票窗口

21、，由題意得，80x+60×51450，解得：x1438，x為整數且x取最小值，x=15，即至少需要開放15個普通售票窗口；(3)設普通售票的函數解析式為y=kx，把點(1,80)代入得：k=80，則y=80x，10點是x=2，當x=2時，y=160，即上午10點普通窗口售票為160張，由(1)得，當x=32時，y=135，圖中的一次函數過點(32,135)，(2,160)，設一次函數的解析式為：y=mx+n，把點的坐標代入得：2m+n=16032m+n=135，解得：m=50n=60，則一次函數的解析式為y=50x+6015.（唐山市遵化市一模）如圖，直線oa與反比例函數的圖象交于點

22、a(3,3)，向下平移直線oa，與反比例函數的圖象交于點b(6,m)與y軸交于點c，(1)求直線bc的解析式；(2)求經過a、b、c三點的二次函數的解析式；(3)設經過a、b、c三點的二次函數圖象的頂點為d，對稱軸與x軸的交點為e問：在二次函數的對稱軸上是否存在一點p，使以o、e、p為頂點的三角形與bcd相似？若存在，請求出點p的坐標；若不存在，請說明理由【解析】(1)由直線oa與反比例函數的圖象交于點a(3,3)，得直線oa為：y=x，雙曲線為：y=9x，點b(6,m)代入y=9x得m=32，點b(6,32)，(1分) 設直線bc的解析式為y=x+b，由直線bc經過點b，將x=6，y=32，

23、代入y=x+b得：b=-92，(1分) 所以，直線bc的解析式為y=x-92；(1分) (2)由直線y=x-92得點c(0,-92)，設經過a、b、c三點的二次函數的解析式為y=ax2+bx-92 將a、b兩點的坐標代入y=ax2+bx-92，得：36a+6b-92=329a+3b-92=3，(1分) 解得b=4a=-12(1分) 所以，拋物線的解析式為y=-12x2+4x-92；(1分) (3)存在把y=-12x2+4x-92配方得y=-12(x-4)2+72，所以得點d(4,72)，對稱軸為直線x=4(1分) 得對稱軸與x軸交點的坐標為e(4,0).(1分) 由bd=8，bc=72，cd=

24、80，得cd2=bc2+bd2，所以，dbc=90°(1分) 又peo=90°，若以o、e、p為頂點的三角形與bcd相似，則有：oebc=pedb，即462=pe22，得pe=43，有p1(4,43)，p2(4,-43) oedb=pebc，即422=pe62，得pe=12，有p3(4,12)，p4(4,-12)(3分) 所以，點p的坐標為(4,43)，(4,-43)，(4,12)，(4,-12)16.（無錫市四校聯考）“揚州漆器”名揚天下，某網店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y(件)與銷售單價x(元)之間存在一次函數關系，如圖所示 (1)求y與x之

25、間的函數關系式；(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？(3)該網店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍【解析】(1)設y=kx+b，直線y=kx+b經過點(40,300)，(55,150)，40k+b=30055k+b=150，解得：k=-10b=700故y與x之間的函數關系式為：y=-10x+700，(2)由題意，得-10x+700240，解得x46， 30<x46， 設利潤為w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)，w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000，-10<0，x<50時，w隨x的增大而增大，x=46時，w最大=-10(46-50)2+4000=3840，答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元；(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10(x-50)2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如圖所示，由圖象得： 當45x55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元17.（無錫市四校聯考）如圖，