二項式定理知識點總結

1、二項式定理一、二項式定理：ab nCn0anCn1 an 1bCnkan kbkCnn bn （ n N ）等號右邊的多項式叫做ab n的二項展開式，其中各項的系數(shù) Cnk (k0,1,2,3 n) 叫做二項式系數(shù)。對二項式定理的理解：（1）二項展開式有n1項（2）字母 a 按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由 n 逐項減 1 到 0；字母 b 按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由 0 逐項加 1 到 n（3）二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數(shù)a, b，等式都成立，通過對a,b 取不同的 特 殊 值 ， 可 為 某 些 問 題 的 解 決 帶 來 方 便 。 在 定 理 中 假 設 a1， bx

2、 ， 則1x nCn0 xnC1n xCnk xn kCnn xn （ nN ）（4）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式a b n 展開，得到一個多項式；另一方面，也可將展開式合并成二項式ab n二、二項展開式的通項： Tk 1Cnk ank bk二項展開式的通項Tk 1Cnk an kbk (k0,1,2,3n) 是二項展開式的第k1 項，它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、 系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律， 是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣泛應用對通項 Tk 1Cnk an k bk (k0,1,2,3n) 的理

3、解：（ 1）字母 b 的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同（ 2） a 與 b 的次數(shù)之和為 n（3）在通項公式中共含有a, b, n, k,Tk 1 這 5 個元素，知道4 個元素便可求第5 個元素例 1 Cn13Cn2 9Cn 33n 1 Cnn 等于（）A 4nB。3 4n4n4n1C。1D.33例 2（ 1）求 (12x) 7 的展開式的第四項的系數(shù)；（ 2）求 ( x1)9 的展開式中 x3 的系數(shù)及二項式系數(shù)x三、二項展開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即Cn0Cnn ,C1nCnn 1 , Cn2Cnn 2 ,CnkCnn k ,增減性與最大

4、值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n 偶數(shù)： Cnkn如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即maxCn2；即 Cnkn 1n 1如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大，maxCn2Cn2二項展開式的各系數(shù)的和等于2n ，令 a 1， b 1即 Cn0Cn1Cnn(11) n2n ； 奇 數(shù) 項 的 二 項 式 系 數(shù) 和 與 偶 數(shù) 項 的 二 項 式 系 數(shù) 和 相 等 ， 令 a1 ， b1 即Cn0Cn2Cn1Cn32n 1例題： 寫出 ( xy)11 的展開式中：（ 1）二項式系數(shù)最大的項；（ 2）項的系數(shù)絕對值最大的項；（

5、 3）項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項；（ 4）二項式系數(shù)的和；（5）各項系數(shù)的和四、多項式的展開式及展開式中的特定項（1）求多項式 (a1a2an ) n 的展開式，可以把其中幾項結合轉(zhuǎn)化為二項式，再利用二項式定理展開。例題： 求多項式 (x212)3 的展開式x2（ 2）求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先寫出各個二項式的通項再分析。例題： 求 (1x)2 (1x) 5 的展開式中 x3 的系數(shù)1n例題：（ 1）如果在x的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的42x有理項。31（ 2）求x2的展開式的常數(shù)項。x【思維點撥】求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公

6、式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題： 已知 (12x)7a0a1xa2 x2a7 x7 ，求：（1） a1a2a7 ；（ 2） a1a3a5a7 ；（3） | a0 | a1 | a7 | .六、二項式定理的應用：1、二項式定理還應用與以下幾方面：（ 1）進行近似計算（ 2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（ 3）證明有關的等式和不等式。如證明：2n 2n n 3, n N 取 2n11 n 的展開式中的四項即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計算的處理方法當 n 不是很大， | x | 比較小時可以用展開式

7、的前幾項求(1x) n 的近似值。例題： (1.05)6 的計算結果精確到0.01 的近似值是（）A 1.23B1.24C1.33D 1.34（ 2）整除性問題或求余數(shù)的處理方法解決這類問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k 的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的k 通常為1，若k 為其他數(shù)，則需對冪的底數(shù)k 再次構造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了要注意余數(shù)的范圍， 對給定的整數(shù)a,b(b0) ，有確定的一對整數(shù)q 和 r，滿足abqr，其中b 為除數(shù)，r 為余數(shù)，r0, b，利用二項式定理展開

8、變形后，若剩余部分是負數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題： 求 2013 63 除以 7 所得的余數(shù)例題：若 n 為奇數(shù)，則 7nC1n 7n 1 Cn2 7 n 2Cnn 1 7 被 9 除得的余數(shù)是（）A0B。2C。7D.8例題： 當n N且，求證1) n3n >12 (1n【思維點撥】這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試一、選擇題：本大題共12 個小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1在 x3 10 的展開式中， x6 的系數(shù)為（）A27 C106B 27C104C9C106D 9C1042 已知 ab 0, b 4a，ab

9、 n 的展開式按 a 的降冪排列， 其中第 n項與第 n+1 項相等，那么正整數(shù)n 等于（）A4B9C10D 113已知（a1) n 的展開式的第三項與第二項的系數(shù)的比為11 2，則 n 是 （）3 a2A 10B11C12D 1345310 被 8 除的余數(shù)是（）A1B2C3D 75 (1.05)6 的計算結果精確到0.01 的近似值是（）A 1.23B1.24C1.33D 1.34n6二項式 2x1(nN)的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開4 x式有理項的項數(shù)是（）A 1B2C 3D 4117設 (3x 3 +x 2 ) n 展開式的各項系數(shù)之和為t ，其二項式系數(shù)之和為h，

10、若 t+h=2 72，則展開式的 x 2項的系數(shù)是（）A 1B1C2D 328在 (1 xx 2 )6 的展開式中 x5 的系數(shù)為（）A 4B5C6D 79 (311n1024，則所有項的系數(shù)中最大的值是x5x )展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于（）A330B462C680D 79010 ( x1)4 (x 1) 5 的展開式中，x4 的系數(shù)為（）A 40B10C40D 4511二項式 (1+sinx)n 的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項的值為5 ，2則 x 在0， 2 內(nèi)的值為（）A或3B或 5C 或2D 或5666333612在 (1+x)5 +(1+x)6+(1+x)7

11、 的展開式中 ,含 x4 項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 5 的（）A第 2項B第 11 項C第 20 項D第 24 項二、填空題：本大題滿分16 分，每小題4 分，各題只要求直接寫出結果 .13 (x 21) 9 展開式中 x9 的系數(shù)是.2x14若 2x4a1xa4 x4 ，則 a0 a222 的值為 _.3a0a 4a1 a315若( x3x 2 ) n 的展開式中只有第6 項的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是.16對于二項式 (1-x) 1999 ，有下列四個命題：展開式中T 1000 = C1999 1000 x 999 ；展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；展開式中系數(shù)最大的項是第1000

12、項和第 1001 項；當 x=2000 時， (1-x) 1999 除以 2000 的余數(shù)是1其中正確命題的序號是_（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分74 分.17（ 12 分）若 (6 x1 )n 展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列6x（）求 n 的值；（）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？18 （ 12 分）已知 ( 12x )n 的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37，求展式中二項4式系數(shù)最大的項的系數(shù)19（ 12 分）是否存在等差數(shù)列 an，使 a1 Cn0a2 C1n a3C n2an 1C nnn2n 對任意n N* 都成立？若存在，求出數(shù)列an 的通項公式；若不存在，請說明理由20（ 12 分）某地現(xiàn)有耕地100000 畝，規(guī)劃 10 年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1 畝）？21.（12 分）設 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、 nN )，若其展開式中，關于x 的一次項系數(shù)為2試問： m、 n 取何值時， f(x)的展開式中含x 項的系數(shù)取最小值，并求出這個最小值11，.22（ 14 分）規(guī)定 Cxmx( x1)(xm1) ，其中 x R， m