2019全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)高考真題【備戰(zhàn)高考】

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮 擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 .已知集合 M x4 x 2,N xx2 x 6 0,則 MIN =A. x 4 x 3B. x 4 x 2C. x 2 x 2D. x 2

2、 x 32 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z i =1, z在復(fù)平面內(nèi)又應(yīng)的點(diǎn)為(x, y),則A.(x+1)2 y21 B. (x 1)2 y21 C.x2 (y 1)21 D.x2 (y+1)213 .已知 a log20.2, b 201 c 0.20.3,則A.a b cB. acbC.cabD.bc a4 .古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是亙(叵0.618 ,22稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是 亙.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為 105 cm,頭頂至脖子下端的 2長(zhǎng)度為26

3、cm,則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm5 .函數(shù)f(x)= S1nx x2在,的圖像大致為 cosx x6.我國(guó)古代典籍周易用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一 “重卦”由從下到上排列的陽(yáng)爻«一的概率是”和陰爻“一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,6個(gè)爻組成, 則該重卦恰有爻分為3個(gè)陽(yáng)爻A. A167.已知非零向量a,B. 1132b 滿足 | a | 2|b|,且（a b）D.11A.-6B.-3C.8.如圖是求A.9.A.32b,則a與b的夾角為的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入D.16A= 2 A記Sn為等差數(shù)列1B. A=

4、2 一Aan的前n項(xiàng)和.已知S4C.D.0, a51 2A5 ,則A=12Aan 2n 5B. an 3n 102_C. Sn 2n 8nD.Sn1 2 n 2n210.已知橢圓 C的焦點(diǎn)為Fi( 1,0), F41,0),過(guò)F2的直線與C交于A B兩點(diǎn).若IAF2I 2|F2B|,| AB| |BFi |,則C的方程為2222222“ X2,xy,xy,xy,A. 一 y 1B. 1C. 1D. 1232435411 .關(guān)于函數(shù)f(x) sin | x| |sin x |有下述四個(gè)結(jié)論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(一，)單調(diào)遞增2f(x)在,有4個(gè)零點(diǎn)f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論

5、的編號(hào)是A.B.C.D.12 .已知三棱錐 P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球 O的球面上，PA=PB=PC ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E, F分別 是PA AB的中點(diǎn)，/ CEI=90 ,則球O的體積為A. 8提B. 476C. 2屈D.娓二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .曲線y 3(x2 x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 .14 .記$為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a 1 a2 a6,則&=.315 .甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率

6、為0.6 ,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以 4： 1獲勝的I率是 .2216. 已知雙曲線 C： 三、1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過(guò)R的直線與C的兩條漸近線 a buuir uur uur uuur分別交于 A, B兩點(diǎn).若F1A AB, F1B F2B 0,則C的離心率為 .三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (12 分)ABC的內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,設(shè)(sin B

7、 sinC)2 sin2 A sin BsinC .(1)求 A;(2)若,2a b 2c ,求 sin C.18. (12分)如圖，直四棱柱 ABC6 ABCD的底面是菱形， AA=4, AB=2, / BAB60° , E, M N分別是BC BB, AD的 中點(diǎn).(1)證明：MN/平面CDE(2)求二面角 A-MA-N的正弦值.19. (12分)已知拋物線C： y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A, B,與x軸的交點(diǎn)為P. 2(1)若|AF+| BF=4 ,求l的方程； uuu uuu(2)若 AP 3PB,求 | AB .20. (12分)已知函數(shù)f(x) si

8、nx ln(1 x), f (x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：(1) f (x)在區(qū)間(1,一)存在唯一極大值點(diǎn)； 2(2) f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21 . (12 分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治 愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 1分；若施以

9、乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和3 , 一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予 4分，pi(i 0,1,L ,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為 i時(shí)，最終認(rèn)為甲 藥比乙藥更有效”的概率，則 Po 0 , P8 1, Pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7)，其中 a P(X 1), b P(X 0), c P(X 1) .假設(shè) 0.5,0.8.(i)證明：Pi 1 Pi (i 0,1,2,L ,7)為等比數(shù)列；(ii)求p4,并根據(jù)p4

10、的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 .選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)12在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2，1 t (t為參數(shù))4trr以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2 cosJ3 sin 11 0 .b2(2) (ab)3 (b c)3 (c a)3 24.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.23 .選彳45:不等式選講(10分)已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1.證明:(1)2019年普通高等學(xué)校招生全

11、國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)？參考答案、選擇題1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11 . C 12. D二、填空題13. y=3x14. 12115. 0.1816. 23三、解答題17 .解：(1)由已知得 sin2 B sin2C.22sin A sinBsinC ,故由正弦定理得 b由余弦定理得cos A2bc因?yàn)? A 180，所以A 60 .(2)由(1)知B 120 C ,由題設(shè)及正弦定理得 亞sin A sin 120 C 2sin C ,即在2旦osC21sinC 22sinC ,可得 cos C 60由于0 C 120

12、 ,所以sin C 60sinC sin C 60 60sin C 60 cos60cos C 60 sin 606 2.418 .解：(1)連結(jié) BC, ME因?yàn)镸 E分另J為BB, BC勺中點(diǎn),一 1所以 ME/ BC,且 M=BC.2 1又因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，所以Nt=-AD.2由題設(shè)知AB PDC可得BCPAD,故MEPND因此四邊形MNDE平行四邊形，MN/ ED又MN平面EDC,所以MN/平面CDE(2)由已知可得 DEL DA以 防坐標(biāo)原點(diǎn)，Duu的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz ,則uuuir4) , AML uuuu(1,73, 2), AN (1,

13、0, 2),uuurA(2,0,0) ,A(2,0, 4), M(1,V3,2), N(1,0,2) , AA (0,0,uuuu -MN (0, V3,0) .uuuurm AM 0設(shè)m (x, y,z)為平面AMA勺法向量，則 uurm A1A 0所以 x 4V 2z 0'可取 m(73,1,0). 4z 0uuuun MN 0,設(shè)n (p,q,r)為平面AiMN勺法向量，則 uuuun AN 0.所以鳥(niǎo)°,可取 n (2,0, 1). p 2r 0.nr'.日于cos m,nm n2,3.15| mil n | 2.55所以二面角A MAiN的正弦值為,1051

14、9.解：設(shè)直線l : yt, A X1,y1,B X2,y233x2 2 ,由題設(shè)可得Xx23(1)由題設(shè)得 F -,0，故 | AF | |BF | x1 412(t 1)9. y x t i 22由 y 2，可得 9x 12(t 1)x 4t 0,則 x x22y 3x12(t 1)57從而-,得t.928 37所以l的方程為y -x -. 28uuu uuu(2)由 AP 3PB 可得 y13y2.,y x t 2由 2，可得 y2 2y 2t 0 .2y 3x所以 y1 y2 2 .從而 3y2 y 2,故 y1,y1 3.代入C的方程得x13,x2故 |AB|4 13x)2 當(dāng)x1,

15、-時(shí)，g'(x)單調(diào)遞減，而2g'(0) 0,g'( ) 0,可得 g'(x)在21-有唯一零點(diǎn),2設(shè)為則當(dāng) x ( 1,)時(shí)，g'(x) 0;當(dāng) x，2 時(shí)，g'(x)0.所以g(x)在(1,)單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，故g(x)在 1,22存在唯一極大值點(diǎn)，即f'(x)在 1,2存在唯一極大值點(diǎn).(2) f(x)的定義域?yàn)?1,).(i)當(dāng)x ( 1,0時(shí)，由(1)知，汽)在(1,0)單調(diào)遞增，而f'(0) 0,所以當(dāng)x ( 1,0)時(shí), f'(x) 0,故£汽)在(1,0)單調(diào)遞減，又f(0)=0,從而x 0

16、是£)在(1,0的唯一零點(diǎn).(ii)當(dāng)x 0,2時(shí)，由(1)知，f'(x)在。)單調(diào)遞增，在，一單調(diào)遞減，而f'(0)=02f' -0,所以存在2,2 '使得 f( )0,且當(dāng) x (0,)時(shí)，f'(x) 0;當(dāng)x時(shí)，f'(x) 0.故f(x)在(0,)單調(diào)遞增，在,-單調(diào)遞減.又 f (0)=0 , f 1 ln 1 -220,所以當(dāng)x 0-時(shí)，f(x) 0.從而,2f (x)在0-沒(méi)220 .解：(1)設(shè) g(x) f' (x),則 g (x) cosx ， g' (x) sin x 一1 x(1(iii0, f(

17、) 0,所有零點(diǎn).當(dāng)x -,時(shí)，f'(x) 0,所以f(x)在一，單調(diào)遞減.而f 222以f(x)在一，有唯一零點(diǎn).2(iv)當(dāng)x (,)時(shí)，ln(x 1) 1,所以f(x)<0,從而£(刈在(，)沒(méi)有零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21.解：X的所有可能取值為1,0,1.P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列為(2)(i)由(1)得 a 0.4, b 0.5,0.1.因此Pi =0.4pi 1+0.5 Pi +0.1 Pi 1,故 0.1Pi 1Pi 0.4 pip 1 ,即Pi 1P 4 PPi又因?yàn)镻iPoPi0,

18、1Pi(i0,1,2,L ,7）為公比為4,首項(xiàng)為5的等比數(shù)歹U.(ii由（i ）可得P8P8P7P7P6L PiP0P0P8 P7 P7841P6 LPiPo3 Pi .由于P8=1 ,故P1P4P4P3P3P2P2P1P144 1Po - Pi3257P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為P42570.0039 ,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.22 .解:（1 ）因?yàn)?t y1(x 空1 ,所以C的直角坐標(biāo)方程為t21).l的直角坐標(biāo)方程為2x 、3y110.（2）由（1）可設(shè)C勺參數(shù)方程為x cosy 2sin為參數(shù),Tt支）.4cos11c上的點(diǎn)到l的