第一類曲線積分

1、§ 1第一類曲線積分的計(jì)算設(shè)函數(shù)f x,y,z在光滑曲線I上有定義且連續(xù)，I的方程為xx tyy ttot Tzz tTx, y,z dstox t , y t , z t、x'2 t y'2 tz'2 t dt。特別地，如果曲線I為一條光滑的平面曲線，它的方程為yx ， a x b，那么有f (x, y)ds f x ,(x)1'2(x)dx。Ia例：設(shè) I 是半圓周 x a cost, y a sin t, 0 t 。求(x2 y2)ds。例：設(shè)I是曲線y2 4x上從點(diǎn)0(0,0)到點(diǎn)A(1,2)的一段，計(jì)算第一類曲線積分yds。2 2 2 2 2

2、例：計(jì)算積分|Xds，其中I是球面x y z a被平面x y z 0截得的圓周。例：求I | x y ds，此處I為連接三點(diǎn)0 0,0 , A 1,0，B 1,1的直線段。§ 2第一類曲面積分的計(jì)算-曲面的面積(1)設(shè)有一曲面塊S，它的方程為z f x, y 。f x, y具有對x和y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy為可求面積的。曲面塊的面積為S.1 fx2 fy2dxdy。xy則該(2)若曲面的方程為x x u,v y y u,v z z u,v令E2 2XuYuZ：，F(xiàn)XuXvYu YvZuZv，G2Xv2Yv2 Zv，則該曲面塊的面積為S.EGF2du

3、dv。例:求球面x22 2y za2含在柱面2 x2yax a0內(nèi)部的面積。例:2求球面x2 2y z2a含在柱面2 x2 yax a0內(nèi)部的面積。二化第一類曲面積分為二重積分(1)設(shè)函數(shù) x, y, z為定義在曲面S上的連續(xù)函數(shù)。曲面S的方程為z f x, y 。 f x, y具有對x和y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy為可求面積的。則x, y,z dSx, y,xyx,y 1 fx2 f：dxdy。(2)設(shè)函數(shù)x, y, z為定義在曲面S上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為XX u,vyy u,vzz u,v令E2 2XuYu2Zu，F(xiàn)XuXvYu YvZuZv2 2，G

4、 XvYv2Zv，則x, y,zdSX u,v , Y u,v , zu, vEGF 2dudv。S例:計(jì)算x yz dS， S是球面x22 2 2Y z a，z 0。S例：計(jì)算 zdS，其中S為螺旋面的一部分:Sx u cosvy u sinv 0 u a, 0 v 2。z v注：第一類曲面積分通過一個(gè)二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：1=x2y2dS，S是球面，球心在原點(diǎn)，半徑為 R。S§ 3第二類曲線積分一變力做功和第二類曲線積分的定義1. 力場F(x,y) P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲線L從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功。先用微元法，再

5、用定義積分的方 法討論這一問題，得ir uuW ? F ds。Ab2. 第二型曲線積分的定義定義1設(shè)L是一條光滑或逐段光滑曲線，且設(shè)f x,y,z是定義在L上的有界函數(shù)，將 L沿確定方向從起點(diǎn)A開始用分點(diǎn)A xi, yi, z分成n個(gè)有向弧段AjA 1，直至終點(diǎn)B。且設(shè)xxj 1A。在每一弧段Aa上任取一點(diǎn)R j,j, j ，作和式：nf Rj 1nXfX 。j17171jj 1其中A %,為起點(diǎn)A，A 1 xn 1 , yn 1, zn1為終點(diǎn)B。設(shè)max A A 1，這里AjAj 1表示有向線段AAi ,的長度。若當(dāng)0時(shí)，和 有極限1，且它與L的分法無關(guān)，也與點(diǎn)R的選擇無關(guān)，則稱1為f x

6、, y, z dx沿曲線L按所述方向的第二類曲線積分，記作I L f x,y,z dx 或 I Ab f x, y,zdx。注:如果向量f x, y, z P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y,z ，則向量沿曲線L按一定方向的第二類曲線積分為I l P x,y,z dx Q x, y,z dy R x,y, z dz。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關(guān)的。這是第二類曲線積分的一個(gè)很重要性質(zhì)，也是它區(qū)別于第一類曲線積分的一個(gè)特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時(shí)，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個(gè)方向就算作正向，否則就算作負(fù)向。這

7、時(shí)只要方向不變，曲線積分的值是與起點(diǎn)的位置無關(guān)的。二 第二類曲線積分的計(jì)算設(shè)曲線Ab自身不相交，其參數(shù)方程為:xxt,yyt,zztt0tT。且設(shè)Ab是光滑的。設(shè)當(dāng)參數(shù)t從to調(diào)地增加到T時(shí)，曲線從點(diǎn) A按一定方向連續(xù)地變到點(diǎn)B。設(shè)函數(shù)P x, y, z定義在曲線 Ab 上，且設(shè)它在 Ab 上連續(xù)。則ToP x, y,z dx Pxt,yt,zt x'tdt °( *)Lto注：(*)積分下限必須對應(yīng)積分所沿曲線的起點(diǎn)，上限必須對應(yīng)終點(diǎn)。注:如果向量f x, y, z P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y,z ，則向量沿曲線L按一定方向的第二類曲線積分為l

8、 P x, y,z dx Q x, y, z dy R x, y,z dzTo P x t , y t , z t x' t Q x t ,y t , z t y' t R x t ,y t , z t z' t dtto例：計(jì)算積分l xydx (y x)dy, L的兩個(gè)端點(diǎn)為 A( 1, 1), B( 2,3 ).積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合，路徑為(1) 直線段AB ；(2) 拋物線 y 2(x1)21 ；(3) 折線閉合路徑 A( 1, 1 ) D( 2,1 ) B( 2,3 )A( 1, 1 )。.例：計(jì)算積分l xdy ydx,這里L(fēng) :(1) 沿拋物線y 2x2

9、從點(diǎn)O( o , o ) 到點(diǎn)B( 1 , 2 )；(2) 沿直線y 2x從點(diǎn)O o , o ) 到點(diǎn)B( 1 , 2 )；(3 )沿折線封閉路徑 Qo,o) A(1,o )B(1,2 )O(o,o).例：計(jì)算第二型曲線積分I = l xydx (x y)dy x2d z,其中L是螺旋線x acost，y asi nt, z bt， 從t o到t的一段。三兩類曲線積分的聯(lián)系第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。兩者之間的聯(lián)系式為P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dzAbP x, y,z cos t, xQ

10、 x, y, z cos t, y R x, y, z cos t,z ds例：證明：對于曲線積分的估計(jì)式為Pdx Qdy LM ,式中L為曲線段的長度M max . P2 Q2 。x,y l利用這個(gè)不等式估計(jì)：Iydx xdy1 R(yX y2 R2 2廠x xy y并證明lim |R 0。RS的公式例：設(shè)平面區(qū)域 D有一條連續(xù)閉曲線 L所圍成，區(qū)域 D的面積設(shè)為S，推導(dǎo)用曲線積分計(jì)算面積 為：?xdy ydx。§ 4第二類曲面積分一 曲面的側(cè)的概念1 單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面在實(shí)際生活中碰到的都是雙側(cè)曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個(gè)典型例子。2 .曲面的上側(cè)和

11、下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)曲面的定向：曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè).設(shè)法向量為n (cos , cos , cos ),則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量0,即選“+”號時(shí)，應(yīng)有cos 0，亦即法線方向與 Z軸正向成銳角.類似確定其余各側(cè)的法線方向.圭寸閉曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).二第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程z z x,y表示的無重點(diǎn)的光滑曲面 S,并設(shè)S在XY平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線T所圍成的區(qū)域xy。設(shè)選定了曲面的一側(cè)，從而也確定了它的定向?，F(xiàn)在將有向曲面 S以任何方法分割為 n小塊Si i 1,2 L , n。設(shè)Gi為Si在XY平面上的投影，從而也得到區(qū)域 Xy的一個(gè)相應(yīng)分割。如果取

12、的是上側(cè)，這時(shí)所有Gi算作正的。如取下側(cè)，這時(shí)所有Gi算作負(fù)的。 設(shè)有界函數(shù)f x, y,z定義在S上，在每一小塊 Sj任取一點(diǎn)P i, i, i，作和式nf i , i , i Dii 1其中Di表示Gi的面積。由上述所見，Di是帶有符號的，它們的符號是由所選的側(cè)來決定的。 設(shè)di為S的致 敬，記 max di 。若當(dāng) 0時(shí)， 有確定的極限I，且I與曲面分割的方法無關(guān)，也點(diǎn) R的選擇無i關(guān)，則稱I為f x, y, z dxdy沿曲面S的所選定的一側(cè)上的第二類曲面積分，記為I f (x, y,z)dxdy。S注：有時(shí)也會碰到幾個(gè)積分連在一起的情形，例如:P x, y, z dydz Q x,

13、y, z dzdx R x, y,z dxdy。S注：如果沿曲面的另一側(cè)積分，則所得的值應(yīng)當(dāng)變號。三兩類曲面積分的聯(lián)系及第二類曲面積分的計(jì)算 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系 設(shè)n為曲面S的指定法向，則P(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y, z)dxdySP(x, y, z) cos(n, x) Q(x, y, z) cos(n, y) R(x, y, z) cos(n, z) dS .S定理1 設(shè)R(x, y, z)是定義在光滑曲面 S : z z(x, y),(x, y)Dxy上的連續(xù)函數(shù)，以S的上側(cè)為正側(cè)(即 cos(n,z) 0),貝V有R(x, y,

14、z)dxdy R x, y,z(x, y) dxdy .SDxy類似地,對光滑曲面S : x x( y, z),(y,z) Dyz,在其前側(cè)上的積分P(x, y, z)dydz PSDyzx(y,z), y , z dydz.對光滑曲面S : y y(z, x),(z,x)Dzx,在其右側(cè)上的積分Q(x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), z dzdx.SD yz計(jì)算積分 s Pdydz Qdzdx Rdxdy時(shí)，通常分開來計(jì)算三個(gè)積分SPdydz,SQdzdx,sRdxdy.推論曲面為此,分別把曲面S投影到Y(jié)Z平面，ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì)算 投影域的側(cè)由曲面 S

15、的定向 決定設(shè)P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)是定義在光滑曲面 S : z z(x, y), (x, y)上的連續(xù)函數(shù)，則P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdySS P(x, y, z) cos(n, x) Q(x, y, z) cos(n, y) R(x, y, z) cos(n, z) dSP(x, y, z(x, y)zx(x, y) Q(x, y,z(x, y)zy(x, y) R(x, y, z(x, y)dxdy.DXYS的方向?yàn)樯蟼?cè)，則等式前取“ + ”號；曲面S的方向?yàn)橄聜?cè)，則等式前取“一”號

16、例:計(jì)算積分 s xyzdxdy,其中S是球面x2y2 z21在x 0, y 0部分取外側(cè)。例:計(jì)算積分：(x y)dydz (y z)dzdx2(z 3x)dxdy，為球面 x2 2z R取外側(cè)解:對積分 o (x y)dydz,分別用前和后記前半球面和后半球面的外側(cè)則有D yz前：x . R2 y2z2,后： x Jr2 y2 z2,(x y)dydz =對積分一.R2 y2 z2 y dydz、R2 y2 z2 dydzDyzz2R2(y(yy rcos , z rsinDyz: y2Dyz :z2R2 .z2dydz2do.R2 r2 rdr032 2 R r 234r3z) dzdx ,分別用右和yR2z2x2,yR2z2z)dydzUR2 z2 x2 z dzdxDzx2x2 z2 R2.R2 z2 x2 dzdx對積分匸，(z左