方法6j中值定理

1、第5講中值定理中值定理應用應用研究函數性質及曲線性態(tài)利用導數解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推廣推廣5 5 微分中值定理的應用與技巧微分中值定理的應用與技巧51 基本概念、內容、定理、公式基本概念、內容、定理、公式一、羅爾一、羅爾( rolle )定理定理機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理 中值定理 一、羅爾一、羅爾( rolle )定理定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內可導(3) f ( a ) = f ( b ),

2、使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 m 和最小值 m .若 m = m , 則, ,)(baxmxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 內至少存在一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若 m m , 則 m 和 m 中至少有一個與端點值不等,不妨設 , )(afm 則至少存在一點, ),(ba使,)(mf. 0)(f注意注意:1) 定理條件條件不全具備, 結論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則由費馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機動 目錄 上頁 下頁 返

3、回 結束 使2) 定理條件只是充分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內可導, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內至少存在一點,. 0)(f證明提示證明提示: 設證 f(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xfaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內可導至少存在一點, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆

4、向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數作輔助函數顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內可導, 且證證: 問題轉化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba,0)(使即定理結論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0)()()(abafbff證畢三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(ffafbfafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內可導(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內至少存在一

5、點, ),(ba使.)()()()()()(ffafbfafbf滿足 :)(xf0)( xf)()(afbf)(abfba0要證)()()()()()()(xfxfafbfafbfx柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 作輔助函數)()()()()()()(xfxfafbfafbfx)()()()()()()()(bafbfbfafafbfa,),(,)(內可導在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點.)()()()()()(ffafbfafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(ba

6、abfafbf兩個 不一定相同錯錯! !機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上面兩式相比即得結論. 羅爾定理羅爾定理0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(ffafbfafbfabafbff)()()(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()(bfaf)()()(bfafxxf10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf柯西中值定理柯西中值定理xxf)(xyoab)(xfy泰勒中值定理泰勒中值定理)()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n幾個中值定理的關系幾個中值定理的關系證明中值定理的方法證明中值定理的方法輔助函數法直觀分析逆向分析例如, 證明拉格朗日定

7、理 :)()()(abfafbf要構造滿足羅爾定理條件的輔助函數 .方法方法1. 直觀分析)(xfy oyxabcxyabafbf)()(由圖可知 , 設輔助函數cxabafbfxfxf)()()()(c 為任意常數 )方法方法2. 逆向分析逆向分析)()()(abfafbf要證即證0)()()(abafbff)(fabafbfxfxf)()()()(原函數法xabafbfxfxf)()()()(輔助函數同樣同樣, 柯西中值定理要證柯西中值定理要證),(,)()()()()()(bagfagbgafbf即證0)()()()()()(gagbgafbff)()()()()()()(xgagbga

8、fbfxfxf原函數法)()()()()()()(xgagbgafbfxfxf設* 中值定理的條件是充分的中值定理的條件是充分的, 但非必要但非必要.可適當減弱. 因此例如, 設)(xf在),(ba內可導,且, )0()0(bfaf則至少存在一點, ),(ba使.0)(f證證: 設輔助函數)(xfaxaf, )0(bxaxf, )(bxbf, )0(顯然)(xf在,ba上連續(xù),在),(ba內可導,由羅爾定理可知 , 存在一點, ),(ba使,0)(f即.0)(f* 中值定理的統(tǒng)一表達式中值定理的統(tǒng)一表達式設)(, )(, )(xhxgxf都在),(ba上連續(xù) , 且在,ba內可導, 證明至少存

9、在一點, ),(ba使0)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf證證: 按三階行列式展開法有)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf)()()()()(fbhahbgag)()()()()(gbhahbfaf)()()()()(hbgagbfaf利用逆向思維設輔助函數)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf)()()()()(fbhahbgag)()()()()(gbhahbfaf)()()()()(hbgagbfaf)(xf)()()()()(xgbhahbfaf)()()()()(xhbgagbfaf)()()(

10、)()()()()()(xhbhahxgbgagxfbfaf顯然 f(x) 在a , b 上連續(xù) , 在 (a , b)內可導, 且,0)()(bfaf因此,由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba使)()()()()(xfbhahbgag,0)(f即0)()()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaff說明說明設)(, )(, )(xhxgxf都在),(ba上連續(xù) , 且在,ba內可導, 證明至少存在一點, ),(ba使0)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf若取, )()(,)(, 1)(bfafxxgxh即為羅爾定理;若取,)(, 1)(xx

11、gxh即為拉格朗日中值定理;若取,0)(, 1)(xgxh即為柯西中值定理;( 自己驗證 )中值定理的主要應用與解題方法中值定理的主要應用與解題方法 中值定理原函數的性質導函數的性質 反映反映反映反映中值定理的主要應用中值定理的主要應用(1) 利用中值定理求極限(2) 研究函數或導數的性質(3) 證明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 證明有關中值問題的結論(6) 證明不等式解題方法解題方法:從結論入手, 利用逆向分析法, 選擇有關中值定理及適當設輔助函數 .(1) 證明含一個中值的等式含一個中值的等式或證根的存在根的存在 , 常用羅爾定理 , 此時可用原函數法設輔助函數.(2)

12、若結論中涉及到含一個中值一個中值的兩個不同函數兩個不同函數,可考慮用柯西中值定理 .注：（注：（1 1） 幾個中值定理中最重要幾個中值定理中最重要、最常用最常用的是的是: : 羅爾中值定理。羅爾中值定理。 （2 2） 應用中值定理的關鍵為：應用中值定理的關鍵為： 如何構造合適的輔助函數？（難點、如何構造合適的輔助函數？（難點、 重點）重點）(3) 若結論中含兩個兩個或兩個以上中值兩個以上中值 , 必須多次使用中值定理 .(4) 若已知條件或結論中含高階導數含高階導數 ,多考慮用泰勒公式泰勒公式 , 有時也可考慮對導數用中值定理對導數用中值定理 .(5) 若結論為恒等式 ,先證變式導數為 0 ,

13、 再利用特殊點定常數 .(6) 若結論為不等式 ,要注意適當放大或縮小的技巧.構造輔助函數的方法構造輔助函數的方法 (1)不定積分求積分常數法不定積分求積分常數法.( )( )( )f bf axcf xba 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個小于1 的正實根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設另有, 0)(1xf使在以

14、)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間在10, xx至少存在一點,. 0)(f使但矛盾, 故假設不真!設機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5.2 .例題選講例題選講例例2.求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使設 1 , 0可導，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾定理條件, 1 , 0)(即0)()(ffn設輔助函數使得)()(1ffnnn0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 輔助函數輔助函數如何想出來的？如何想出來的？例例3. 設函數在)(xf),(ba內可導, 且,)(

15、mxf證明在)(xf),(ba證證: 取點, ),(0bax 再取異于0 x的點, ),(bax對)(xf在以xx ,0為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理得)()()(00 xxfxfxf( 界于 與 之間)0 xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abmxf令, )()(0abmxfk則對任意, ),(bax,)(kxf即在)(xf),(ba內有界.內有界.例例4. 設函數)(xf在 1 ,0上連續(xù), 在,0)0(f但當, ) 1,0() 1 ,0(x時) 1 ,0(內可導,且,0)(xf求證對任意自然數 n , 必有使)1 ()1 ()()(ffffn分析分析: 在

16、結論中換 為,x得積分積分)1 ()1 ()()(xfxfxfxfncxfxfnln)1 (ln)(lncxfxfn )1 ()()1 ()()(1fffnn0)1 ()(ffn因,0)1 ()(ffn所以)1 ()1 ()()(ffffn證證: 設輔助函數)1 ()()(xfxfxfn顯然)(xf在 1 ,0上滿足羅爾定理條件,因此必有, ) 1,0(使,0)(f即 不定積分不定積分求積分常數法求積分常數法!例例5. 設函數)(xf在 1 ,0上二階可導, 且,0) 1 ()0( ff證明至少存在一點, ) 1 ,0(使.1)(2)( ff分析分析: 在結論中將換為,x得xxfxf 12)(

17、)(積分積分cxxfln)1ln(2)(lncxfx)()1 (2證證: 設輔助函數)()1 ()(2xfxxf因)(xf在 1 ,0上滿足羅爾定理條件,所以存在, ) 1 ,0(使.0)(f因此)(xf在 1 ,上滿足羅爾定理條件,故必存在, ) 1 ,(使0)(f即有) 1 ,0() 1,(,1)(2)( ff 不定積分不定積分求積分常數法求積分常數法!例例6. 設)(xf在,ba上連續(xù), 在,0ba 證明存在, ),(ba),(ba內可導,且使2)()()()()(ffabbaafbbfa證證: 方法方法1 .因為所證結論左邊為ababbaafbbfaaafbbf)()()()()(設輔

18、助函數xxfxf)()(由于,ba上滿足拉氏中值定理條件, 且,)()()(2xxfxfxxf易推出所證結論成立 .)(xf在方法方法2 . 令2)()()()()(ffabbaafbbfakabbaafbbfa)()()()()()(abbakafbbfabakafbbakbfa22)()(aakafbbkbf22)()(因此可考慮設輔助函數xxkxfxf2)()(由于)(xf在,ba上滿足羅爾定理條件, 故存在, ),(ba使,0)(f由此可推得xkxxf)(故所證結論成立.常數變易法常數變易法*例例7. 設)(xf在,ba上連續(xù), 在, 1)()(bfaf證明存在, ),(,ba),(b

19、a內可導,且使1)()(ffe證證: 轉化為證efefe)()(設輔助函數, )()(xfexfx由于它在,ba滿足拉氏中值定理條件,即證xxxxexfe)( )(因此存在, ),(ba使)()()(fabafbf)()(ffeabeeab再對轉化為證efefe)()(xex )(在,ba上用拉氏中值定理 ,則存在, ),(ba使eabeeab因此),(,)()(baefefe)()(ffeabeeab, ),(ba*例例8. 設)(xf在 1 ,0上連續(xù), 在, 1) 1 (,0)0(ff試證對任意給定的正數,ba) 1 ,0(內可導,且存在, ) 1,0(, 證證: 轉化為證1)()(ff

20、babbaa因, 10baa即) 1 ()0(fbaaf由連續(xù)函數定理可知, 存在, ) 1,0(使,)(baaf使bafbfa)()(因此)(1fbab對)(xf分別在 1, , ,0上用拉氏中值定理 , 得),0(,)()0()(fff) 1 ,(, )1)()() 1 (fff, 1) 1 (,0)0(ffbaaf)(baa,)(f bab)1)( f1)1 ()()(ffbabbaa,)()(bafbfa即) 1,0(, )0() 1 (ff)0() 1 (ff例例10. 設).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxf,) 1 ,0(,

21、 1 ,0)(內可導在上連續(xù)在xf至少存在一點),1,0(使證證: 結論可變形為設則)(, )(xfxf在 0, 1 上滿足柯西中值定理條件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內至少存在一點 , 使)(f )(f012即)0() 1 (2)(fff證明機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(efffeffef例例11. 試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxfxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , f(x) 在 1 , e 上

22、滿足柯西中值定理條件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例11. 試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例12. 當 時, 試證0 x)21)(41()(211xxxxx證證: 設,)(ttf當 時,0 x)(tf在 1,xx上滿足拉氏中值定理條件, 因此有)1)(0()(211xxxxx解出) 1(2141)(xxxx, 則0 x時 21)( x1) 1(212xxx 211)(