




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述 6.2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法6.3 非線性振動(dòng)的近似解析方法非線性振動(dòng)的近似解析方法6.4 非線性振動(dòng)的數(shù)值分析方法非線性振動(dòng)的數(shù)值分析方法 6.5 分叉與混沌的概念分叉與混沌的概念6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述非線性特性非線性特性 材料非線性材料非線性振幅過(guò)大超出材料線彈性范圍幾何非線性幾何非線性位移或變形過(guò)大使結(jié)構(gòu)幾何形狀顯著變化非線性阻尼非線性阻尼材料內(nèi)摩擦阻尼、流體阻尼等都是非線性阻尼負(fù)剛度負(fù)阻尼負(fù)剛度負(fù)阻尼有些情況下會(huì)存在負(fù)剛度和負(fù)阻尼非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 當(dāng)當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍,或
2、阻尼元真實(shí)系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍,或阻尼元件的力與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程不件的力與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程不能用線性微分方程描述,稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)作小運(yùn)動(dòng)時(shí),可能用線性微分方程描述,稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)作小運(yùn)動(dòng)時(shí),可忽略系統(tǒng)的高階微小量,近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。忽略系統(tǒng)的高階微小量,近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)的研究方法非線性振動(dòng)的研究方法 非線性振動(dòng)研究的方法有:非線性振動(dòng)研究的方法有:定性分析定性分析、定量分析定量分析和和數(shù)值分析數(shù)值
3、分析方法。方法。非線性振動(dòng)研究的內(nèi)容非線性振動(dòng)研究的內(nèi)容 非線性振動(dòng)研究的基本內(nèi)容之一就是建立對(duì)真實(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算方法,非線性振動(dòng)研究的基本內(nèi)容之一就是建立對(duì)真實(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算方法,改進(jìn)計(jì)算精度,探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。改進(jìn)計(jì)算精度,探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。定性法定性法 研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征,而不是運(yùn)動(dòng)的時(shí)研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征,而不是運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程。通常采用間歷程。通常采用幾何方法幾何方法描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征。描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征。定量法定量法 通過(guò)一些漸近的通過(guò)一些漸近的解析方法解析方法研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程。研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程。數(shù)值法數(shù)值法 通過(guò)通過(guò)數(shù)值
4、計(jì)算數(shù)值計(jì)算方法研究系統(tǒng)非線性振動(dòng)的規(guī)律和現(xiàn)象。方法研究系統(tǒng)非線性振動(dòng)的規(guī)律和現(xiàn)象。6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述線性振動(dòng)線性振動(dòng) 非線性振動(dòng)與線性振動(dòng)的區(qū)別非線性振動(dòng)與線性振動(dòng)的區(qū)別非線性振動(dòng)非線性振動(dòng) 自由振動(dòng)頻率與初始條件無(wú)關(guān)自由振動(dòng)頻率與初始條件無(wú)關(guān) 自由振動(dòng)頻率與振幅有關(guān)自由振動(dòng)頻率與振幅有關(guān) 強(qiáng)迫振動(dòng)頻率與激勵(lì)力頻率相強(qiáng)迫振動(dòng)頻率與激勵(lì)力頻率相等等 強(qiáng)迫振動(dòng)頻率成分復(fù)雜,有時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)頻率成分復(fù)雜,有時(shí)與激勵(lì)頻率不相等的頻率成分與激勵(lì)頻率不相等的頻率成分突出突出穩(wěn)定平衡位置附近的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)穩(wěn)定平衡位置附近的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的定的 穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不
5、穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定和不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)中每個(gè)激勵(lì)頻率強(qiáng)迫振動(dòng)中每個(gè)激勵(lì)頻率有一個(gè)對(duì)應(yīng)的振幅有一個(gè)對(duì)應(yīng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)中幅頻與相頻曲線強(qiáng)迫振動(dòng)中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲,產(chǎn)生多值性發(fā)生彎曲,產(chǎn)生多值性 疊加原理成立疊加原理成立 疊加原理不成立疊加原理不成立6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 設(shè)設(shè)n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為位形空間位形空間相空間相空間其中,其中, qi是廣義坐標(biāo),是廣義坐標(biāo),fi是廣義坐標(biāo)和廣義速度的非線性函數(shù)。是廣義坐標(biāo)和廣義速度的非線性函數(shù)。 由變量由變量qi規(guī)定的規(guī)定的n維笛卡兒空間稱為位形空間。方程的解維笛卡兒空間稱為位形空間。方
6、程的解qi(t)可用位形空間的可用位形空間的n維矢量表示。維矢量表示。 由變量由變量qi和和 規(guī)定的規(guī)定的2 2n維維空間稱為狀態(tài)空間或相空間??臻g稱為狀態(tài)空間或相空間。iq 設(shè)設(shè) , 和和 , iixq iinxxinixqinixf則矢量則矢量 x 可唯一表示系統(tǒng)在任一時(shí)刻可唯一表示系統(tǒng)在任一時(shí)刻t的狀態(tài)。的狀態(tài)。)., 2, 1().,.,()(;21;21nitqqqqqqftqnnii 方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為 或或),.,()(221txxxxtxniixx 6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng) xi中沒(méi)有一個(gè)顯含時(shí)間中沒(méi)
7、有一個(gè)顯含時(shí)間t 時(shí),系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng),時(shí),系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng), xi中至中至少有一個(gè)顯含時(shí)間少有一個(gè)顯含時(shí)間t 時(shí),系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。時(shí),系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。普通點(diǎn)和奇異點(diǎn)普通點(diǎn)和奇異點(diǎn) 凡是凡是 的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)、相點(diǎn)或正則的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)、相點(diǎn)或正則點(diǎn);而點(diǎn);而x 0 的點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)或平衡點(diǎn)。的點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)或平衡點(diǎn)。0212tniixxx 從狀態(tài)方程可以看出平衡點(diǎn)的速度與加速度為零。從狀態(tài)方程可以看出平衡點(diǎn)的速度與加速度為零。未擾解和被擾解未擾解和被擾解 xi= = f fi ( (t ) )為方程的一個(gè)已知解,稱為未擾解。研究系統(tǒng)為方程的一個(gè)已知解,稱為未擾解。研究系統(tǒng)在在f fi ( (
8、t ) )領(lǐng)域中的運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域中的運(yùn)動(dòng)xi ( (t ) )稱為被擾運(yùn)動(dòng)。稱為被擾運(yùn)動(dòng)。 特別有意義的兩類未擾解是對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)的特別有意義的兩類未擾解是對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)的常數(shù)解常數(shù)解和對(duì)和對(duì)應(yīng)于封閉軌線的應(yīng)于封閉軌線的周期解周期解。6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 lyapunov穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性的幾何解釋穩(wěn)定性的幾何解釋 設(shè)由設(shè)由 xi 規(guī)定的相空間的原點(diǎn)與平衡點(diǎn)重合,則系統(tǒng)的運(yùn)規(guī)定的相空間的原點(diǎn)與平衡點(diǎn)重合,則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幅度定義為原點(diǎn)到擾動(dòng)解積分曲線上任何一點(diǎn)的距離:動(dòng)幅度定義為原點(diǎn)到擾動(dòng)解積分曲線上任何一點(diǎn)的距離:2121212t)(niixxxx0tt 若給
9、定任意小的正數(shù)e e,存在正數(shù)d d,對(duì)于一切受擾運(yùn)動(dòng),只要其初始擾動(dòng)滿足 ,對(duì)于所有的 均滿足 ,則稱平凡解是穩(wěn)定的。 d)(0txe)(tx 若這個(gè)平凡解是lyapunov穩(wěn)定的,而且 ,則解是漸近穩(wěn)定的。0)(limtxt不穩(wěn)定不穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 相平面相平面),(),(21222111xxxxxxxx 討論一單自由度自治系統(tǒng)的自由振動(dòng),其動(dòng)力學(xué)方程的一般形式為: 對(duì)于單自由度系統(tǒng),相空間縮減為以x1和x2為直角坐標(biāo)系的(x1,x2 )平面,稱為系統(tǒng)的相平面相平面。),(qqfq 設(shè)設(shè) , 和和 , ,上式可以寫(xiě)為狀態(tài)
10、變量的一階微分方程組: 2xq 1xq 12xx 2xf 6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)的相平面上的點(diǎn)稱為系統(tǒng)的相點(diǎn)。相點(diǎn)。相軌跡相軌跡不同初始條件的相軌跡組成相軌跡族相軌跡族。 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可用相點(diǎn)在相平面上的移動(dòng)過(guò)程來(lái)描述。相點(diǎn)移動(dòng)的軌跡稱為相軌跡,或相跡。相軌跡,或相跡。6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 奇點(diǎn)奇點(diǎn) 相平面內(nèi)能使?fàn)顟B(tài)方程右端等于零的特殊點(diǎn)稱為相軌跡的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。表明系統(tǒng)的速度和加速度均等于零,奇點(diǎn)的物理意義即系統(tǒng)的平衡狀態(tài),因此也可將奇點(diǎn)稱為平平衡點(diǎn)衡點(diǎn)。 對(duì)單自由度自治系統(tǒng)的自由振動(dòng),狀態(tài)方程
11、為:),(),(21222111xxxxxxxx相平面上個(gè)別的平衡點(diǎn)就是以下方程的解:0),(, 0),(212211xxxxxx6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 記系數(shù)矩陣記系數(shù)矩陣 不失一般性,將坐標(biāo)原點(diǎn)移至奇點(diǎn)處,并將函數(shù)在奇點(diǎn)(0,0)附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),得到:),(),(),(),(212222121212211212111211xxxaxaxxxxxxaxaxxxee222112112121),(),(aaaaxxxxa其中)2, 1,(0jixxajxjiji6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 引入向量t21),(xxx 設(shè)e1和
12、e2是在原點(diǎn)的領(lǐng)域中小到可以忽略,則可以用下列線性化方程討論非線性方程在原點(diǎn)附近的穩(wěn)定性:axx 作非奇異線性變換ubx 則方程可以寫(xiě)為juu abbj1其中6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 選擇合適的b,可使變換后的矩陣j 為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,可以證明,矩陣j與矩陣a有相同的特征值特征值。下面討論矩陣j 的特征值與奇點(diǎn)特性的關(guān)系。特征值與奇點(diǎn)特性的關(guān)系。 j 有不相等不相等的實(shí)特征值l1和l2,則有 2100llj線性變換后的方程222111uuuull上式的解解為ttuuuu21ee202101ll解的兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并消去時(shí)間t,可以得到1212dduu
13、uu其中12ll6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 則有20221011ln1ln1uuuull20210112lnlnuuuull202101lnlnuuuu202101lnlnuuuu或設(shè) = l 2 / l 1 ,則有1011ln1uutlttuuuu21ee202101ll或把解 改寫(xiě)成 和2022ln1uutl或6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 相軌跡為指數(shù)曲線族。 當(dāng) l10l2 ,即兩個(gè)本征值異號(hào)時(shí), 0,即兩個(gè)特征值同號(hào)時(shí),奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)。當(dāng) 兩個(gè)特征值都為負(fù)時(shí),當(dāng) t 時(shí),所有的軌線趨向于原點(diǎn),因此,奇點(diǎn)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),系
14、統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是漸近穩(wěn)定的。而當(dāng)特征值同為正時(shí),奇點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)ttuuuu21ee202101ll6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 j j 有相同的特征值有相同的特征值l1 = l2 1100llj一種情況為方程可以寫(xiě)為:212111uuuull方程的解解為ttuuuu11ee202101ll6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 110202uuuu相軌跡方程相軌跡方程為ttuuuu11ee202101ll 相軌跡為直線族。 當(dāng) 兩個(gè)特征值小于零時(shí)相跡的方向指向原點(diǎn),奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn);當(dāng) 兩個(gè)特征值大于零時(shí)相跡的方向遠(yuǎn)離原點(diǎn)
15、,奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)點(diǎn) 。穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 j j 有相同的本征值有相同的本征值l1 = l2 110llj此時(shí)方程可以寫(xiě)為:2112111uuuuull此方程的解解為tttuuuuu11e)(e10202101ll另一種情況為6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 上述兩式相除,并消去時(shí)間 t可得1011102012lnuuuuuul( 0) 當(dāng)特征值l1 0) 當(dāng)l1 0 時(shí),奇點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。 6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 若若j 有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根 li2, 1則有iij00將直
16、角坐標(biāo)變換成極坐標(biāo)irue1iru e2方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為iireiureiu)()(21因而rriiiirirurirueeee21兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 rr此方程的通解為terrt00 此時(shí)的相軌跡為圍繞奇點(diǎn)的螺旋線,奇點(diǎn)為焦點(diǎn)焦點(diǎn)。 當(dāng) 0 時(shí)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。 穩(wěn)定焦點(diǎn)6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 當(dāng) 0 時(shí),相軌跡轉(zhuǎn)化為圓,奇點(diǎn)為中心。terrt00中心6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 奇點(diǎn)的分類準(zhǔn)則奇點(diǎn)的分類準(zhǔn)則 線性變換后的變量u與變換前的變量x是線性同構(gòu)線性同構(gòu)的,它們的奇
17、點(diǎn)類型也完全相同。根據(jù)以上分析結(jié)果,奇點(diǎn)的類型取決于矩陣a的特征值。將a的特征方程展開(kāi),得到: 02qplllia其中21122211)det(aaaaqa2211)(traceaapa特征值為特征值為22, 1lp其中qp426. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 奇點(diǎn)類型和這兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系可以歸納如下: 由上面的分析可以看出,奇點(diǎn)的不同類型由參數(shù)p和完全確定,只要這兩個(gè)參數(shù)確定了,則系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型就確定。不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)焦點(diǎn)中心鞍點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)0000000000ppppqppq6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 參數(shù)平面上的奇點(diǎn)類型
18、參數(shù)平面上的奇點(diǎn)類型22, 1lp6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 例題例題61判斷單擺的奇點(diǎn)類型 設(shè)單擺相對(duì)垂直軸的偏角為廣義坐標(biāo),其動(dòng)力學(xué)方程為 21sinxxlg或 sinlg ),(),(21222111xxxxxxxx設(shè)設(shè): 2x1x12xx 方程式可以寫(xiě)為狀態(tài)變量的一階微分方程組: 1221sin xlgxxx6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 得到得到單擺的奇點(diǎn)為單擺的奇點(diǎn)為.)21, 0(1,jjx其中, 0)/(10lga0sin012xlgx令令: 02x 把原點(diǎn)移至單擺的奇點(diǎn),則在原點(diǎn)附近線性化的方程為:axx 所以有:0p)/(lgq)/(4lg222112112121),(),(aaaaxxxxa)2, 1,(0jixxajxjiji6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 根據(jù)前面的分析,由p、q和來(lái)判斷
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 西南巖溶石漠化區(qū)土地退化過(guò)程中土壤氮轉(zhuǎn)化特征及調(diào)控
- 人體膽囊結(jié)石中微塑料的檢測(cè)與分析
- 過(guò)渡金屬磷化物促進(jìn)鋰硫電池氧化還原反應(yīng)動(dòng)力學(xué)
- 財(cái)務(wù)報(bào)表編制保密及使用規(guī)范合同
- 商業(yè)綜合體場(chǎng)地租賃期限延長(zhǎng)補(bǔ)充協(xié)議
- 車(chē)輛座椅舒適度提升加裝服務(wù)合同
- 腹部手術(shù)術(shù)前護(hù)理課件
- 電機(jī)工程師(伺服電機(jī))考試試卷及答案
- 化工設(shè)備維修工(動(dòng)設(shè)備)崗位面試問(wèn)題及答案
- 高血壓病的飲食與藥物合理用藥
- 2噸超純水技術(shù)方案
- 道路交通安全知識(shí)講座課件
- 江蘇省環(huán)保集團(tuán)有限公司招聘筆試題庫(kù)2024
- 供貨方案及保證措施供貨方案六篇
- 鐵路貨車(chē)轉(zhuǎn)向架檢修新技術(shù)
- 電鍍環(huán)評(píng)評(píng)估投標(biāo)方案技術(shù)標(biāo)
- 山東省濟(jì)南市市中區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
- 光伏土地征地合同
- 竹類樹(shù)種識(shí)別與應(yīng)用-剛竹類
- 五年級(jí)上冊(cè)閱讀理解題20套(帶答案)
- 《蘇幕遮》(周邦彥)公開(kāi)課一等獎(jiǎng)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論