振動(dòng)理論及其運(yùn)用第6章非線性振動(dòng)1

1、6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述 6.2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法6.3 非線性振動(dòng)的近似解析方法非線性振動(dòng)的近似解析方法6.4 非線性振動(dòng)的數(shù)值分析方法非線性振動(dòng)的數(shù)值分析方法 6.5 分叉與混沌的概念分叉與混沌的概念6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述非線性特性非線性特性 材料非線性材料非線性振幅過(guò)大超出材料線彈性范圍幾何非線性幾何非線性位移或變形過(guò)大使結(jié)構(gòu)幾何形狀顯著變化非線性阻尼非線性阻尼材料內(nèi)摩擦阻尼、流體阻尼等都是非線性阻尼負(fù)剛度負(fù)阻尼負(fù)剛度負(fù)阻尼有些情況下會(huì)存在負(fù)剛度和負(fù)阻尼非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 當(dāng)當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或

2、阻尼元真實(shí)系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或阻尼元件的力與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程不件的力與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程不能用線性微分方程描述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能用線性微分方程描述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，可忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)的研究方法非線性振動(dòng)的研究方法 非線性振動(dòng)研究的方法有：非線性振動(dòng)研究的方法有：定性分析定性分析、定量分析定量分析和和數(shù)值分析數(shù)值

3、分析方法。方法。非線性振動(dòng)研究的內(nèi)容非線性振動(dòng)研究的內(nèi)容 非線性振動(dòng)研究的基本內(nèi)容之一就是建立對(duì)真實(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算方法，非線性振動(dòng)研究的基本內(nèi)容之一就是建立對(duì)真實(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算方法，改進(jìn)計(jì)算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。改進(jìn)計(jì)算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。定性法定性法 研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運(yùn)動(dòng)的時(shí)研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程。通常采用間歷程。通常采用幾何方法幾何方法描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征。描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征。定量法定量法 通過(guò)一些漸近的通過(guò)一些漸近的解析方法解析方法研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程。研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程。數(shù)值法數(shù)值法 通過(guò)通過(guò)數(shù)值

4、計(jì)算數(shù)值計(jì)算方法研究系統(tǒng)非線性振動(dòng)的規(guī)律和現(xiàn)象。方法研究系統(tǒng)非線性振動(dòng)的規(guī)律和現(xiàn)象。6.1 非線性振動(dòng)概述非線性振動(dòng)概述線性振動(dòng)線性振動(dòng) 非線性振動(dòng)與線性振動(dòng)的區(qū)別非線性振動(dòng)與線性振動(dòng)的區(qū)別非線性振動(dòng)非線性振動(dòng) 自由振動(dòng)頻率與初始條件無(wú)關(guān)自由振動(dòng)頻率與初始條件無(wú)關(guān) 自由振動(dòng)頻率與振幅有關(guān)自由振動(dòng)頻率與振幅有關(guān) 強(qiáng)迫振動(dòng)頻率與激勵(lì)力頻率相強(qiáng)迫振動(dòng)頻率與激勵(lì)力頻率相等等 強(qiáng)迫振動(dòng)頻率成分復(fù)雜，有時(shí)強(qiáng)迫振動(dòng)頻率成分復(fù)雜，有時(shí)與激勵(lì)頻率不相等的頻率成分與激勵(lì)頻率不相等的頻率成分突出突出穩(wěn)定平衡位置附近的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)穩(wěn)定平衡位置附近的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的定的 穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不

5、穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定和不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)中每個(gè)激勵(lì)頻率強(qiáng)迫振動(dòng)中每個(gè)激勵(lì)頻率有一個(gè)對(duì)應(yīng)的振幅有一個(gè)對(duì)應(yīng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)中幅頻與相頻曲線強(qiáng)迫振動(dòng)中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性 疊加原理成立疊加原理成立 疊加原理不成立疊加原理不成立6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 設(shè)設(shè)n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為位形空間位形空間相空間相空間其中，其中， qi是廣義坐標(biāo)，是廣義坐標(biāo)，fi是廣義坐標(biāo)和廣義速度的非線性函數(shù)。是廣義坐標(biāo)和廣義速度的非線性函數(shù)。 由變量由變量qi規(guī)定的規(guī)定的n維笛卡兒空間稱為位形空間。方程的解維笛卡兒空間稱為位形空間。方

6、程的解qi(t)可用位形空間的可用位形空間的n維矢量表示。維矢量表示。 由變量由變量qi和和 規(guī)定的規(guī)定的2 2n維維空間稱為狀態(tài)空間或相空間?？臻g稱為狀態(tài)空間或相空間。iq 設(shè)設(shè) ， 和和 ， iixq iinxxinixqinixf則矢量則矢量 x 可唯一表示系統(tǒng)在任一時(shí)刻可唯一表示系統(tǒng)在任一時(shí)刻t的狀態(tài)。的狀態(tài)。)., 2, 1().,.,()(;21;21nitqqqqqqftqnnii 方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為 或或),.,()(221txxxxtxniixx 6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng) xi中沒(méi)有一個(gè)顯含時(shí)間中沒(méi)

7、有一個(gè)顯含時(shí)間t 時(shí)，系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，時(shí)，系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)， xi中至中至少有一個(gè)顯含時(shí)間少有一個(gè)顯含時(shí)間t 時(shí)，系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。時(shí)，系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。普通點(diǎn)和奇異點(diǎn)普通點(diǎn)和奇異點(diǎn) 凡是凡是 的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)、相點(diǎn)或正則的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)、相點(diǎn)或正則點(diǎn)；而點(diǎn)；而x 0 的點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)或平衡點(diǎn)。的點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)或平衡點(diǎn)。0212tniixxx 從狀態(tài)方程可以看出平衡點(diǎn)的速度與加速度為零。從狀態(tài)方程可以看出平衡點(diǎn)的速度與加速度為零。未擾解和被擾解未擾解和被擾解 xi= = f fi ( (t ) )為方程的一個(gè)已知解，稱為未擾解。研究系統(tǒng)為方程的一個(gè)已知解，稱為未擾解。研究系統(tǒng)在在f fi ( (

8、t ) )領(lǐng)域中的運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域中的運(yùn)動(dòng)xi ( (t ) )稱為被擾運(yùn)動(dòng)。稱為被擾運(yùn)動(dòng)。 特別有意義的兩類未擾解是對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)的特別有意義的兩類未擾解是對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)的常數(shù)解常數(shù)解和對(duì)和對(duì)應(yīng)于封閉軌線的應(yīng)于封閉軌線的周期解周期解。6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 lyapunov穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性的幾何解釋穩(wěn)定性的幾何解釋 設(shè)由設(shè)由 xi 規(guī)定的相空間的原點(diǎn)與平衡點(diǎn)重合，則系統(tǒng)的運(yùn)規(guī)定的相空間的原點(diǎn)與平衡點(diǎn)重合，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幅度定義為原點(diǎn)到擾動(dòng)解積分曲線上任何一點(diǎn)的距離：動(dòng)幅度定義為原點(diǎn)到擾動(dòng)解積分曲線上任何一點(diǎn)的距離：2121212t)(niixxxx0tt 若給

9、定任意小的正數(shù)e e，存在正數(shù)d d，對(duì)于一切受擾運(yùn)動(dòng)，只要其初始擾動(dòng)滿足 ，對(duì)于所有的 均滿足 ，則稱平凡解是穩(wěn)定的。 d)(0txe)(tx 若這個(gè)平凡解是lyapunov穩(wěn)定的，而且 ，則解是漸近穩(wěn)定的。0)(limtxt不穩(wěn)定不穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 相平面相平面),(),(21222111xxxxxxxx 討論一單自由度自治系統(tǒng)的自由振動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)方程的一般形式為： 對(duì)于單自由度系統(tǒng)，相空間縮減為以x1和x2為直角坐標(biāo)系的（x1，x2 ）平面，稱為系統(tǒng)的相平面相平面。),(qqfq 設(shè)設(shè) ， 和和 ， ，上式可以寫(xiě)為狀態(tài)

10、變量的一階微分方程組： 2xq 1xq 12xx 2xf 6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)的相平面上的點(diǎn)稱為系統(tǒng)的相點(diǎn)。相點(diǎn)。相軌跡相軌跡不同初始條件的相軌跡組成相軌跡族相軌跡族。 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可用相點(diǎn)在相平面上的移動(dòng)過(guò)程來(lái)描述。相點(diǎn)移動(dòng)的軌跡稱為相軌跡，或相跡。相軌跡，或相跡。6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 奇點(diǎn)奇點(diǎn) 相平面內(nèi)能使?fàn)顟B(tài)方程右端等于零的特殊點(diǎn)稱為相軌跡的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。表明系統(tǒng)的速度和加速度均等于零，奇點(diǎn)的物理意義即系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此也可將奇點(diǎn)稱為平平衡點(diǎn)衡點(diǎn)。 對(duì)單自由度自治系統(tǒng)的自由振動(dòng)，狀態(tài)方程

11、為：),(),(21222111xxxxxxxx相平面上個(gè)別的平衡點(diǎn)就是以下方程的解：0),(, 0),(212211xxxxxx6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 記系數(shù)矩陣記系數(shù)矩陣 不失一般性，將坐標(biāo)原點(diǎn)移至奇點(diǎn)處，并將函數(shù)在奇點(diǎn)（0，0）附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，得到：),(),(),(),(212222121212211212111211xxxaxaxxxxxxaxaxxxee222112112121),(),(aaaaxxxxa其中)2, 1,(0jixxajxjiji6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 引入向量t21),(xxx 設(shè)e1和

12、e2是在原點(diǎn)的領(lǐng)域中小到可以忽略，則可以用下列線性化方程討論非線性方程在原點(diǎn)附近的穩(wěn)定性：axx 作非奇異線性變換ubx 則方程可以寫(xiě)為juu abbj1其中6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 選擇合適的b，可使變換后的矩陣j 為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，可以證明，矩陣j與矩陣a有相同的特征值特征值。下面討論矩陣j 的特征值與奇點(diǎn)特性的關(guān)系。特征值與奇點(diǎn)特性的關(guān)系。 j 有不相等不相等的實(shí)特征值l1和l2，則有 2100llj線性變換后的方程222111uuuull上式的解解為ttuuuu21ee202101ll解的兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并消去時(shí)間t，可以得到1212dduu

13、uu其中12ll6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 則有20221011ln1ln1uuuull20210112lnlnuuuull202101lnlnuuuu202101lnlnuuuu或設(shè) = l 2 / l 1 ，則有1011ln1uutlttuuuu21ee202101ll或把解 改寫(xiě)成 和2022ln1uutl或6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 相軌跡為指數(shù)曲線族。 當(dāng) l10l2 ，即兩個(gè)本征值異號(hào)時(shí)， 0，即兩個(gè)特征值同號(hào)時(shí)，奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)。當(dāng) 兩個(gè)特征值都為負(fù)時(shí)，當(dāng) t 時(shí)，所有的軌線趨向于原點(diǎn)，因此，奇點(diǎn)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，系

14、統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是漸近穩(wěn)定的。而當(dāng)特征值同為正時(shí)，奇點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)ttuuuu21ee202101ll6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 j j 有相同的特征值有相同的特征值l1 = l2 1100llj一種情況為方程可以寫(xiě)為：212111uuuull方程的解解為ttuuuu11ee202101ll6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 110202uuuu相軌跡方程相軌跡方程為ttuuuu11ee202101ll 相軌跡為直線族。 當(dāng) 兩個(gè)特征值小于零時(shí)相跡的方向指向原點(diǎn)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；當(dāng) 兩個(gè)特征值大于零時(shí)相跡的方向遠(yuǎn)離原點(diǎn)

15、，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)點(diǎn) 。穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 j j 有相同的本征值有相同的本征值l1 = l2 110llj此時(shí)方程可以寫(xiě)為：2112111uuuuull此方程的解解為tttuuuuu11e)(e10202101ll另一種情況為6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 上述兩式相除，并消去時(shí)間 t可得1011102012lnuuuuuul（ 0） 當(dāng)特征值l1 0） 當(dāng)l1 0 時(shí)，奇點(diǎn)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。 6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 若若j 有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根 li2, 1則有iij00將直

16、角坐標(biāo)變換成極坐標(biāo)irue1iru e2方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為iireiureiu)()(21因而rriiiirirurirueeee21兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 rr此方程的通解為terrt00 此時(shí)的相軌跡為圍繞奇點(diǎn)的螺旋線，奇點(diǎn)為焦點(diǎn)焦點(diǎn)。 當(dāng) 0 時(shí)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。 穩(wěn)定焦點(diǎn)6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 當(dāng) 0 時(shí)，相軌跡轉(zhuǎn)化為圓，奇點(diǎn)為中心。terrt00中心6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 奇點(diǎn)的分類準(zhǔn)則奇點(diǎn)的分類準(zhǔn)則 線性變換后的變量u與變換前的變量x是線性同構(gòu)線性同構(gòu)的，它們的奇

17、點(diǎn)類型也完全相同。根據(jù)以上分析結(jié)果，奇點(diǎn)的類型取決于矩陣a的特征值。將a的特征方程展開(kāi)，得到： 02qplllia其中21122211)det(aaaaqa2211)(traceaapa特征值為特征值為22, 1lp其中qp426. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 奇點(diǎn)類型和這兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系可以歸納如下： 由上面的分析可以看出，奇點(diǎn)的不同類型由參數(shù)p和完全確定，只要這兩個(gè)參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型就確定。不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)焦點(diǎn)中心鞍點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)0000000000ppppqppq6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 參數(shù)平面上的奇點(diǎn)類型

18、參數(shù)平面上的奇點(diǎn)類型22, 1lp6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 例題例題61判斷單擺的奇點(diǎn)類型 設(shè)單擺相對(duì)垂直軸的偏角為廣義坐標(biāo)，其動(dòng)力學(xué)方程為 21sinxxlg或 sinlg ),(),(21222111xxxxxxxx設(shè)設(shè)： 2x1x12xx 方程式可以寫(xiě)為狀態(tài)變量的一階微分方程組： 1221sin xlgxxx6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 得到得到單擺的奇點(diǎn)為單擺的奇點(diǎn)為.)21, 0(1，jjx其中， 0)/(10lga0sin012xlgx令令： 02x 把原點(diǎn)移至單擺的奇點(diǎn)，則在原點(diǎn)附近線性化的方程為：axx 所以有：0p)/(lgq)/(4lg222112112121),(),(aaaaxxxxa)2, 1,(0jixxajxjiji6. 2 非線性振動(dòng)的定性分析方法非線性振動(dòng)的定性分析方法 根據(jù)前面的分析，由p、q和來(lái)判斷