導數(shù)微分(二)

1、(二二)設函數(shù)設函數(shù))(xfy在在x點可導，點可導，分，記作分，記作dy即即dxxfxxfdy)()(xxf )(為函數(shù)為函數(shù))(xfy在點在點x處的微處的微微分，記作微分，記作1、對于函數(shù)在某一點可導點、對于函數(shù)在某一點可導點0 x的的dxxfdyxx)(00對于函數(shù)在某一點可導點對于函數(shù)在某一點可導點x的微分，記作的微分，記作dxxfdy)( 2、導數(shù)又稱為微商、導數(shù)又稱為微商dxxfdy)( )(xfdxdy)(1cd、)(2xd、)(3xad、0)(1rdxx) 10(lnaaadxax且)(log4xda、) 10(ln1aadxax且)(lnxddxx1)(sin5xd、)(cos

2、 xdxdxcosxdxsin)(tan xd)(cot xd)(sec xd)(csc xdxdx2secxdx2cscxdxx sectanxdxx csccotdxxxd211)(arcsin6、dxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxarcd211)cot(設設)(),(xvvxuu都是關(guān)于都是關(guān)于x的可導函數(shù)，則有的可導函數(shù)，則有dvduvud )(udvvduuvd)()0()(2vvudvvduvudcducud)( 為常數(shù)為常數(shù))c求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分 xyxln21、xeyxsin2、1dy)ln2(xdx)2(xd)(lnxddx

3、x)2(dxx)(ln dxx2ln2dxx1dxxx)12ln2(dy、2)sin(xedx)(sinxexd)(sinxdexxdxexsin)(dxexx)(sinxdxexsinxdxexcosdxxxex)cos(sin xeyxsin2、求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分 xxxycossin1、xxy12、2、dxxdy2)1 (11、xdxxdycos設函數(shù)設函數(shù)),(ufy不論不論u是自變量，是自變量，或自變量的可導函數(shù)，它的微分形或自變量的可導函數(shù)，它的微分形式同樣都是式同樣都是duufdy)( 這就叫做微分形式的不變性。這就叫做微分形式的不變性。 利用利用dxydy求得求得

4、)(2bxaxe2bxaxe2)2(bxaxebxa y)(2bxax設設 求求dy,2bxaxeydxebxadybxax2)2( 利用微分形式的不變性利用微分形式的不變性2bxaxeydy2bxaxe)(2bxaxd2bxaxedxbxax)(2dxebxabxax2)2(設設 求求dy),12sin( xydy) 12cos(x) 12(xd) 12cos(xdxx) 12(dxx) 12cos(2求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分 xeysin2、5) 13 (1xy、1、dxxdy4) 13 (152、dxexdyxsincos 求隱函數(shù)求隱函數(shù) 的微分的微分32yxexy對方程兩邊分

5、別求微分，得對方程兩邊分別求微分，得)(xyed)2(3yxdxye(d)xy)2( xd)(3ydxyexdy()ydxdx2dyy23dyydxydxxdyexy232)(移項整理求得移項整理求得dyyxexy)3(2dxyexy)2( dydxyxeyexyxy232求下列隱函數(shù)的微分和導數(shù)求下列隱函數(shù)的微分和導數(shù) yxeexy、122arctan2yxxy、1、對方程兩邊分別求微分、對方程兩邊分別求微分)()(yxeedxydydxxdyyxdede xdyydxdyedxeyxdyxey)(dxyex)(,dxxeyedyyxxeyedxdyyx2、對方程兩邊分別求微分、對方程兩邊分

6、別求微分)()(arctan22yxdxyd2)(11xy)(xyd)(212222yxdyx2)(11xy2xydxxdy)(212222dydxyx222yxx2xydxxdy)22(2122ydyxdxyx22yxydxxdy22yxydyxdxydxxdy)(22ydyxdxyxdxyyxx)(22dyyxyx)(22;2222dxyxyxyxxydy2222yxyxyxxyydxyyxx)(22dyyxyx)(22,dyy )()(00 xfxxfyxxfdy)(0)()(00 xfxxfxxf)(0即即xxfxfxxf)()()(000 此公式可用來計算函數(shù)此公式可用來計算函數(shù) 在

7、某點在某點 )(xf0 x附近的函數(shù)值的近似值附近的函數(shù)值的近似值.(1)、設函數(shù)、設函數(shù))(xf)(xf且求且求(3)、利用公式、利用公式xxfxfxxf)()()(000(2)、根據(jù)、根據(jù) 求得求得)()(0 xxfxfxx ,0用公式用公式xxfxfxxf)()()(000求函數(shù)求函數(shù)值時，選定的值時，選定的0)(xxf、應使應使)(0 xf求求 的近似值的近似值 302. 1設設,)(3xxf則則 )(xf3231x取取0 x; 1x02. 0則則)(0 xxf302. 1得：得：302. 1) 1 (fxf) 1 (和和)(0 xf易于求出，易于求出， 且且| x要相對較小。要相對較

8、小。302. 01313213102. 00067.1) 1 (f3)(xxfxf ) 1 (3231)(xxf 求以下各題的近似值求以下各題的近似值 3251、51. 0arcsin2、926.227791、536.02、)2(273127323設設,)(3xxf則則 )(xf3231x取取,270 x2x則則)(0 xxf325則則xff)27()27(253) 2(2727792723設設xxfarcsin)(則則211)(xxf取取, 5 . 00 x01. 0 x則則)(0 xxf)01. 05 . 0arcsin(51. 0arcsin75.001.06則則xff) 5 . 0()

9、 5 . 0(51. 0arcsin01. 05 . 0115 . 0arcsin2536.0設設 函數(shù)函數(shù) 在點在點 處可導，且下列處可導，且下列例例50 x)(xf各極限都存在，其中一定成立的是各極限都存在，其中一定成立的是 )()()(lim)(0afxafxafax、)()()(lim)(0000 xfxxfxxfbx、)()()(lim)(0000 xfxxfxxfcx、)(2)()(lim)(0000 xfxxxfxxfdx、xafxafx)()(lim0)(af不一定等于不一定等于),(af或或 不存在，不存在，)(afa不正確不正確對對b， xxfxxfx)()(lim000)

10、(0 xfb不正確不正確對對c， xxfxxfx)()(lim000)(0 xfc不正確不正確對對d， xxxfxxfx)()(lim000)(20 xfd正確正確設設 函數(shù)函數(shù) 在點在點 處不連續(xù)，則處不連續(xù)，則例例60 x)(xf)()(xfa、存在存在)(lim)(0 xfbxx、存在存在)()(xfc、不存在不存在)(lim)(0 xfdxx、不存在不存在由于可導函數(shù)必連續(xù)，不連續(xù)由于可導函數(shù)必連續(xù)，不連續(xù)則不可導，故選則不可導，故選c設設例例7,lnexeexexy則則 y y1eexxex1設設例例8,)(,2)(2xxgxfx則則)(xgf, 2ln2)(xxfxxg2)()(x

11、gf)2( xf2ln22x設函數(shù)設函數(shù) 在在 處可導，且處可導，且則則)(xf1x2) 1 ( f_1) 1 ()34(lim1xfxfx1) 1 ()34(lim1xfxfx)3() 1(3) 1 ()1(31 lim1xfxfx) 1 () 3(f66設設例例10,sin1xey則則dxdyxe1cos)(1xedxdyxe1cosxe1)1(xxxee11cos)1(2x211cosxeexx例例11設設),1ln()(2xxf則則 ) 1 (f )(xf212xx )(xf)12(2xx)1 (21 2222xxxx222)1 ()1 (2xx0) 1 ( f例例12方程是方程是，法

12、線方程是，法線方程是曲線曲線 在點在點 處的處的xexy0 x切線切線,)(xexxf設設xexf1)(則則 ) 0(f2又當又當 時，時，0 xy1故切線方程為故切線方程為) 0( 21xy即即12 xy故法線方程為故法線方程為) 0(211xy即即121xy例例13設設,2cos xey 則則dy)2(cos xd)(2cos xeddyxe2cos)2cos(xdxe2cosx2cos21)2(cos xd例例14討論函數(shù)討論函數(shù) 在點在點 處的處的xxfsin)(0 x連續(xù)性和可導性連續(xù)性和可導性)2,2(可只考慮可只考慮 在在 內(nèi)的情形內(nèi)的情形x20sin02sin)(xxxxxf故

13、故20sin02sin)(xxxxxf)(lim0 xfx)sin(lim0 xx0)(lim0 xfxxxsinlim00)0(f0sin00)0()(lim0fxfx在點在點 處連續(xù)處連續(xù)0 x即即)(xf)0( f又又0) 0 ()(lim0 xfxfx00sinlim0 xxx1)0( f0) 0 ()(lim0 xfxfx00sinlim0 xxx1即即)0()0(ff在點在點 處不可導處不可導0 x故故)(xf例例15求下列導數(shù)求下列導數(shù),121432xxxy、xxy5cos3sin2、,)1 (1322xxy、xy1sin224、yxexy、5確定的函數(shù)確定的函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù))(xy1、先將函數(shù)化簡為、先將函數(shù)化簡為41125412xxxy432121xxxy、y4341x12765x4541xxxy5cos3sin2、 y、2)5(cos3sin5cos)3(sinxxxxxxxx5sin3sin55cos3cos3先將函數(shù)化簡為先將函數(shù)化簡為)2sin8(sin21xxyy)2cos28cos8 (21xxxx2cos8cos4)1 (1322xxy、3、先將函數(shù)化簡為、先將函數(shù)化簡為22111xxyy22