微積分(I)復(fù)習(xí)(不定積分與定積分)

1、微積分（微積分（）復(fù)習(xí)）復(fù)習(xí)第五章第五章 不定積分與定積分不定積分與定積分 六六.不定積分不定積分(一一)基本概念基本概念1.原函數(shù)原函數(shù)上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)間間是是，則則稱稱上上若若在在區(qū)區(qū)間間ixfxfxfxfi)()()()( 2.不定積分不定積分 cxfdxxfxfccxfxf)()()()()(記記作作在在區(qū)區(qū)間間上上的的不不定定積積分分，任任意意常常數(shù)數(shù)）稱稱為為為為，（的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)(二)基本性質(zhì)cxfdxxf)()( .1)()( .2xfdxxf dxxfdxxfd)()(.30,)()(.4kdxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxf)()

2、()()(.5(三三)基本公式基本公式)1(11.11 cxdxxcxdxx ln1.2cedxexx .3cxxdx cossin.5cxxdx sincos.6)1,0(ln1.4 aacaadxaxxcxxdx tansec.72cxxdx cotcsc.82cxdxx arctan11.92cxdxx arcsin11.102cxxdxx secsectan.11cxxdxx csccsccot.12)0(arctan11.1322 acaxadxxa)0(arcsin1.1422 acaxdxxacxxxdx sectanlnsec.15cxxxdx csccotlncsc.16cx

3、axaadxxa ln211.1722cxaxdxxa )ln(1.182222cchxshxdx .19cshxchxdx .20(四四)計(jì)算方法計(jì)算方法利利用用基基本本公公式式.1cxfctfdtttfdxxftx )()()( )()(.31)( 令令變變量量置置換換法法 vduuvudv分分部部積積分分法法.4 )()()( )()(.2xdxgdxxxgdxxf 湊湊微微分分法法七七.定積分定積分(一一)基本概念基本概念1.定義則則稱稱此此極極存存在在如如果果極極限限令令及及劃劃分分的的任任意意對(duì)對(duì)上上有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(lim)(max), 2, 1(, ), 2, 1(,:

4、,)(101112100knkkknkkkkkkknnkkxfxnkxxxnkxxbxxxxaxbabaxf .,)()(lim)(,)(10上上可可積積在在此此時(shí)時(shí)稱稱上上的的定定積積分分，記記作作在在限限值值為為baxfxfdxxfbaxfnkkkba 2.定積分的幾何意義.,)()(之之間間所所圍圍面面積積的的代代數(shù)數(shù)和和軸軸及及直直線線與與表表示示bxaxxxfdxxfba (二二)函數(shù)的可積性函數(shù)的可積性.,)(,)(.1上上有有界界在在上上可可積積，則則在在baxfbaxf.,)(,)(.2可可積積上上在在，則則若若baxfbacxf .,)(,)(.3上上可可積積在在間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)

5、，則則上上有有界界，只只有有有有限限個(gè)個(gè)在在若若baxfbaxf.,)(,)(.4上上可可積積在在上上單單調(diào)調(diào)有有界界，則則在在若若baxfbaxf(三三)定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì).,)()(1為為常常數(shù)數(shù)）kdxxfkdxxkfbaba bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2 ） abbadxxfdxxf)()(4）0)(3 dxxfaa） bccabadxxfdxxfdxxf)()()(5 ）.)()()()(,)()(;)()(, , )()(6 babababadxxgdxxfxgxfbacxgxfdxxgdxxfbaxxgxf則則、若若則則）若若dxxfdxxfb

6、aba )()(7）)()()(,)(8abmdxxfabmmxfmba 則則若若）估估值值定定理理).)()(, , ,)(9abfdxxfbabacxfba 使使得得則則存存在在若若）中中值值定定理理.)()()()(, ,)(,)(10 babadxxgfdxxgxfbababarxgbacxf 使使得得則則存存在在上上不不變變號(hào)號(hào)且且在在若若）廣廣義義中中值值定定理理(四四)變上限定積分變上限定積分稱稱為為變變上上限限定定積積分分。設(shè)設(shè))(,)()(, ,)(xfbaxdxxfxfbarxfxa .,)()(, ,)(1上上連連續(xù)續(xù)在在則則）若若badxxfxfbarxfxa ).()

7、( ),()()(, ,)(2xfxfbadxxfxfbacxfxa 且且，內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則）若若(五五)牛頓牛頓-萊布尼茲公式萊布尼茲公式)()()()()()(, ,)(afbfxfdxxfxfxfbacxfbaba 則則，原原函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)是是設(shè)設(shè)(六六)定積分計(jì)算定積分計(jì)算 dtttfdxxftbtabatxbacxfba)( )()()( ,)(),(),()(,)(.1連連續(xù)續(xù)，則則滿滿足足設(shè)設(shè)變變量量置置換換法法 bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(. 2 分分部部積積分分法法3.特殊函數(shù)的積分性質(zhì)特殊函數(shù)的積分性質(zhì) 為為奇奇函函數(shù)數(shù)，為為偶

8、偶函函數(shù)數(shù)則則）設(shè)設(shè))(0)(,)(2)(, ,)(10 xfxfdxxfdxxfbacxfaaa.,)()(,)(20radxxfdxxftxfttaa 則則周周期期為為為為連連續(xù)續(xù)的的周周期期函函數(shù)數(shù)）設(shè)設(shè)(七）定積分應(yīng)用可可加加性性。對(duì)對(duì)區(qū)區(qū)間間具具有有所所求求量量依依賴賴于于區(qū)區(qū)間間，并并）積積分分求求結(jié)結(jié)果果（）分分小小取取微微分分（量量求求出出其其微微分分通通過(guò)過(guò)分分析析未未知知函函數(shù)數(shù)的的增增21微微元元分分析析法法解解決決問(wèn)問(wèn)題題的的方方法法：定定積積分分應(yīng)應(yīng)用用問(wèn)問(wèn)題題的的特特征征應(yīng)用問(wèn)題平面圖形的面積間體體積平行截面面積已知的空旋轉(zhuǎn)體體積平面曲線的弧長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)面的面積重心質(zhì)量引

9、力變力作功要求要求1.掌握定積分的概念及性質(zhì)掌握定積分的概念及性質(zhì)2.了解定積分存在的條件與可積函數(shù)類了解定積分存在的條件與可積函數(shù)類3.能利用定積分性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與證明能利用定積分性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與證明4.掌握變上限積分求導(dǎo)掌握變上限積分求導(dǎo)5.掌握牛頓萊布尼茲公式掌握牛頓萊布尼茲公式6.掌握定積分的變量置換法與分部積分法掌握定積分的變量置換法與分部積分法8.會(huì)用定積分解決幾何與物理的簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)用定積分解決幾何與物理的簡(jiǎn)單問(wèn)題7.掌握弧長(zhǎng)的微分與曲率的計(jì)算掌握弧長(zhǎng)的微分與曲率的計(jì)算二、典型例題二、典型例題例例1 1 計(jì)算計(jì)算 .162dxxx解解2636213113113uduxdxd

10、xxxxu.arcsin313cx 例例2 2 計(jì)算 .sincossincosdxxxxx解解 原式原式 xxxxdsincos)sin(coscxx|sincos|ln例例3 3 求求 .11ln112dxxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?,1211ln2xxx故原式故原式 .11ln4111ln11ln212cxxxxdxx例例4計(jì)算計(jì)算.22dxxax解解令令,sectax 則則原式原式tdtadtttadtttatata2222tancossincossinsectandttdtadtta22sec) 1(seccattadttdatantan.arccos22cxaax例例5.5. dxxx3

11、21解解 令令 6xt 即即6tx ，則則原式原式 dtttdtttdtttt1116161622543dttdttt1161162)1 (116) 1(6tdtdttcttt|1|ln62162.|1|ln663663cxxx例例6 6 求求 .arctandxx解解dxxxxxxdxx121arctanarctan,121arctandxxxxx對(duì)于對(duì)于dxxx1應(yīng)消去根號(hào)令應(yīng)消去根號(hào)令 , ux 則則 2ux duuuuduuudxxx22212211duuduuu22211121112.arctan22cuu故故cxxxxdxxarctanarctanarctan.arctan) 1(

12、cxxx例例1313 求定積分求定積分 2ln0;1dxex解解 由于被積函數(shù)是由于被積函數(shù)是 1xe的根式，為了消除，的根式，為了消除， 根式根式 故可作代換故可作代換 ，tex1,此時(shí)此時(shí) ),1ln(, 122txtex,122ttdtdx且當(dāng)且當(dāng) 及及 時(shí)，時(shí)， 0 x2lnx有有 及及 故故 0t, 1t10102222ln0.4121112121dttdtttdxex例例1414 求求 21011lndxxxx解解 2102102221022210111ln211ln2111lndxxxxxxdxxxdxxxx21021113ln81dxx. 3ln832111ln213ln812

13、10 xxx例例1616試求由曲線試求由曲線 21yx及及1 xy所所平面圖形的面積平面圖形的面積. 解解 作草圖如右圖作草圖如右圖 由方程組由方程組 112xyyx解得曲線交點(diǎn)為（解得曲線交點(diǎn)為（0 0，1 1）與（）與（-3-3，-2-2）. . 圍成圍成yx1 xy) 1 , 0(o1)2, 3(21yx根據(jù)所圍平面圖形的特點(diǎn)，選根據(jù)所圍平面圖形的特點(diǎn)，選 為積分變量為積分變量由面積公式由面積公式 y.214)2()1()1(122122dyyydyyys注注:此題若選用此題若選用 為積分變量為積分變量,計(jì)算比較麻煩計(jì)算比較麻煩,由此由此可見(jiàn)根據(jù)平面圖形的特點(diǎn)、合理地選擇積分變量可見(jiàn)根據(jù)平面圖形的特點(diǎn)、合理地選擇積分變量是非常重要的是非常重要的. x例例1717 求由曲線求由曲線 與與 軸所圍成的軸所圍成的平面圖形繞平面圖形繞 軸及軸