人教A版數(shù)學必修二教案：167;2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料§2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系一、教材分析 空間中直線與直線的位置關(guān)系是立體幾何中最基本的位置關(guān)系,直線的異面關(guān)系是本節(jié)的重點和難點.異面直線的定義與其他概念的定義不同,它是以否定形式給出的,因此它的證明方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎(chǔ),而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎(chǔ),請注意知識之間的相互關(guān)系,準確把握兩異面直線所成角的概念.二、教學目標1知識與技能（1）了解空間中兩條直線的位置關(guān)系；（2）理解異面直線的概念、畫法,培養(yǎng)學生的空間想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）異面直線所成角的定義、范

2、圍及應(yīng)用。2過程與方法讓學生在學習過程中不斷歸納整理所學知識. 3情感、態(tài)度與價值讓學生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性,提高學生的學習興趣.三、重點難點 兩直線異面的判定方法,以及兩異面直線所成角的求法.四、課時安排 1課時五、教學設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入） 在浩瀚的夜空,兩顆流星飛逝而過（假設(shè)它們的軌跡為直線）,請同學們討論這兩直線的位置關(guān)系.學生：有可能平行,有可能相交,還有一種位置關(guān)系不平行也不相交,就像教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線一樣.教師：回答得很好,像這樣的兩直線的位置關(guān)系還可以舉出很多,又如學校的旗桿所在的直線與其旁邊公路所在的直線,它們既不

3、相交,也不平行,即不能處在同一平面內(nèi).今天我們討論空間中直線與直線的位置關(guān)系.思路2.（事例導(dǎo)入） 觀察長方體（圖1）,你能發(fā)現(xiàn)長方體abcdabcd中,線段ab所在的直線與線段cc所在直線的位置關(guān)系如何？圖1（二）推進新課、新知探究、提出問題什么叫做異面直線？總結(jié)空間中直線與直線的位置關(guān)系.兩異面直線的畫法.在同一平面內(nèi),如果兩直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這個結(jié)論成立嗎？什么是空間等角定理？什么叫做兩異面直線所成的角？什么叫做兩條直線互相垂直？活動：先讓學生動手做題,再回答,經(jīng)教師提示、點撥,對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.討論結(jié)

4、果：異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.它是以否定的形式給出的,以否定形式給出的問題一般用反證法證明.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種.結(jié)合長方體模型(圖1),引導(dǎo)學生得出空間的兩條直線的三種位置關(guān)系：教師再次強調(diào)異面直線不共面的特點,作圖時通常用一個或兩個平面襯托,如圖2.圖2組織學生思考：長方體abcdabcd中,如圖1,bbaa,ddaa,bb與dd平行嗎？通過觀察得出結(jié)論：bb與dd平行.再聯(lián)系其他相應(yīng)實例歸納出公理4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示為：ab,bcac.強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個性質(zhì)都適用.公理4是：判斷空間兩

5、條直線平行的依據(jù),不必證明,可直接應(yīng)用.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示呢？可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示.如圖3,異面直線a、b,在空間中任取一點o,過點o分別引aa,bb,則a,b所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.圖3針對這個定義,我們來思考兩個問題.問題1：這樣定義兩條異面直線所成的角,是否合理？對空間中的任一點o有無限制條件？答：在這個定義中,空間中的一點是任意取的.若在空間中,再取一點o（圖4）,過點o作aa,bb,根據(jù)等角定理,a與b所成的銳角（或

6、直角）和a與b所成的銳角（或直角）相等,即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線,它們所成的銳角（或直角）都是相等的,值是唯一的、確定的,而與所取的點位置無關(guān),這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時,為了方便,可將點o取在a或b上（如圖3）.圖4問題2：這個定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？答：沒有矛盾.當a、b相交時,此定義仍適用,表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒有矛盾,是相交直線所成角概念的推廣.在定義中,兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90°,若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直.例如,正方體上的任一條棱和

7、不平行于它的八條棱都是相互垂直的,其中有的和這條棱相交,有的和這條棱異面（圖5）.圖5（三）應(yīng)用示例思路1例1 如圖6,空間四邊形abcd中,e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點.圖6求證：四邊形efgh是平行四邊形.證明：連接eh,因為eh是abd的中位線,所以ehbd,且eh=.同理,fgbd,且fg=.所以ehfg,且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.變式訓練1.如圖6,空間四邊形abcd中,e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點且ac=bd.求證：四邊形efgh是菱形.證明：連接eh,因為eh是abd的中位線,所以ehbd,且eh=.同理,fgbd,ef

8、ac,且fg=,ef=.所以ehfg,且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.因為ac=bd,所以ef=eh.所以四邊形efgh為菱形.2.如圖6,空間四邊形abcd中,e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點且ac=bd,acbd.求證：四邊形efgh是正方形.證明：連接eh,因為eh是abd的中位線,所以ehbd,且eh=.同理,fgbd,efac,且fg=,ef=.所以ehfg,且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.因為ac=bd,所以ef=eh.因為fgbd,efac,所以feh為兩異面直線ac與bd所成的角.又因為acbd,所以efeh.所以四邊形efgh為正方

9、形.點評：“見中點找中點”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行常用的方法.例2 如圖7,已知正方體abcdabcd.圖7(1)哪些棱所在直線與直線ba是異面直線？(2)直線ba和cc的夾角是多少？(3)哪些棱所在直線與直線aa垂直？解：(1)由異面直線的定義可知,棱ad、dc、cc、dd、dc、bc所在直線分別與ba是異面直線.(2)由bbcc可知,bba是異面直線ba和cc的夾角,bba=45°,所以直線ba和cc的夾角為45°.（3）直線ab、bc、cd、da、ab、bc、cd、da分別與直線aa垂直.變式訓練 如圖8,已知正方體abcdabcd.圖8（1）求異面直線bc與ab

10、所成的角的度數(shù)；（2）求異面直線cd和bc所成的角的度數(shù).解：（1）由abcd可知,bcd是異面直線bc與ab所成的角,bccd,異面直線bc與ab所成的角的度數(shù)為90°.（2）連接ad,ac,由adbc可知,adc是異面直線cd和bc所成的角,adc是等邊三角形.adc=60°,即異面直線cd和bc所成的角的度數(shù)為60°.點評：“平移法”是求兩異面直線所成角的基本方法.思路2例1 在長方體abcda1b1c1d1中,e、f分別是棱aa1和棱cc1的中點.求證：eb1df,edb1f.活動：學生先思考或討論,然后再回答,教師點撥、提示并及時評價學生.證明：如圖9,

11、設(shè)g是dd1的中點,分別連接eg,gc1.圖9ega1d1,b1c1a1d1,egb1c1.四邊形eb1c1g是平行四邊形,eb1gc1.同理可證dfgc1,eb1df.四邊形eb1fd是平行四邊形.edb1f.變式訓練 如圖10,在正方體abcda1b1c1d1中,e、f分別是aa1、ab的中點,試判斷下列各對線段所在直線的位置關(guān)系：圖10（1）ab與cc1；（2）a1b1與dc；（3）a1c與d1b；（4）dc與bd1；（5）d1e與cf.解：（1）c平面abcd,ab平面abcd,又cab,c1平面abcd,ab與cc1異面.（2）a1b1ab,abdc,a1b1dc.（3）a1d1b1

12、c1,b1c1bc,a1d1bc,則a1、b、c、d1在同一平面內(nèi).a1c與d1b相交.（4）b平面abcd,dc平面abcd,又bdc,d1平面abcd,dc與bd1異面.（5）如圖10,cf與da的延長線交于g,連接d1g,afdc,f為ab中點,a為dg的中點.又aedd1,gd1過aa1的中點e.直線d1e與cf相交.點評：兩條直線平行,在空間中不管它們的位置如何,看上去都平行（或重合）.兩條直線相交,總可以找到它們的交點.作圖時用實點標出.兩條直線異面,有時看上去像平行（如圖中的eb與a1c）,有時看上去像相交（如圖中的dc與d1b）.所以要仔細觀察,培養(yǎng)空間想象能力,尤其要學會兩條

13、直線異面判定的方法.例2 如圖11,點a是bcd所在平面外一點,ad=bc,e、f分別是ab、cd的中點,且ef=ad,求異面直線ad和bc所成的角.圖11解：設(shè)g是ac中點,連接eg、fg.因e、f分別是ab、cd中點,故egbc且eg=,fgad,且fg=.由異面直線所成角定義可知eg與fg所成銳角或直角為異面直線ad、bc所成角,即egf為所求.由bc=ad知eg=gf=,又ef=ad,由勾股定理可得egf=90°.點評：本題的平移點是ac中點g,按定義過g分別作出了兩條異面直線的平行線,然后在efg中求角.通常在出現(xiàn)線段中點時,常取另一線段中點,以構(gòu)成中位線,既可用平行關(guān)系,

14、又可用線段的倍半關(guān)系.變式訓練 設(shè)空間四邊形abcd,e、f、g、h分別是ac、bc、db、da的中點,若ab=,cd=,且hg·he·sinehg=,求ab和cd所成的角.解：如圖12,由三角形中位線的性質(zhì)知,hgab,hecd,圖12ehg就是異面直線ab和cd所成的角.由題意可知efgh是平行四邊形,hg=,he=,hg·he·sinehg=sinehg.sinehg=.sinehg=.故ehg=45°.ab和cd所成的角為45°.（四）知能訓練 如圖13,表示一個正方體表面的一種展開圖,圖中的四條線段ab、cd、ef和gh在原正方體中相互異面的有對_.圖13答案：三（