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1、第五節(jié)第五節(jié)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分證證),()(tttu 則則);()(tttv 一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t可可導(dǎo),函數(shù)導(dǎo),函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)t可可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算: dtdvvzdtduuzdtdz ,獲得增量獲得增量設(shè)設(shè)tt 由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當(dāng)當(dāng)0 u,0 v時(shí),時(shí),
2、01 ,02 tvtutvvztuuztz 21 當(dāng)當(dāng)0 t時(shí),時(shí), 0 u,0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況:而是多元函數(shù)的情況:).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù),且函
3、數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),且函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算 xvvzxuuzxz , yvvzyuuzyz .uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣,設(shè)類似地再推廣,設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù),復(fù)合的偏導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),
4、(yx兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似,),(wvyxfz例例 1 1 設(shè)設(shè)vezus
5、in ,而,而xyu ,yxv , 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ,而而teu ,tvcos , 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ,f具有二階具有二階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求xw 和和zxw 2. .解解令令, z
6、yxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(vufz 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分dvvzduuzdz ;當(dāng)當(dāng)),(yxu 、),(yxv 時(shí),有時(shí),有dyyzdxxzdz .
7、全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)全微分形式不變形的實(shí)質(zhì): 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù),它的全微分形式是一樣的的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例 4 4 已知已知02 zxyeze,求,求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxye
8、yeyz .2 zxyexe1、鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t(分三種情況)(分三種情況)2、全微分形式不變性、全微分形式不變性(特別要注意課中所講的特殊情況)(特別要注意課中所講的特殊情況)(理解其實(shí)質(zhì))(理解其實(shí)質(zhì))三、小結(jié)三、小結(jié)設(shè)設(shè)),(xvufz ,而而)(xu ,)(xv ,則則xfdxdvvfdxduufdxdz ,試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同?為為什什么么?思考題思考題思考題解答思考題解答不相同不相同.等式左端的等式左端的z是作為一個(gè)自變量是作為一個(gè)自變量x的函數(shù),的函數(shù),而而等等式式右右端端最最后后一一項(xiàng)項(xiàng)f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù), 寫出來為寫出來為 xx
9、vuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_; yz_. .2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_; yz_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22,求求yzxz , . .練練 習(xí)習(xí) 題題三、設(shè)三、設(shè))arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、設(shè)四、設(shè)),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)) ), ,求求y
10、zxz ,. .五、設(shè)五、設(shè))(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設(shè)六、設(shè)),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz . .七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù), , 驗(yàn)證驗(yàn)證: :211yzyzyxzx . .八、設(shè)八、設(shè) ,),(其中其中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ; 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ; 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案三、三、xxexxedxdz221)1( . .
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