復合函數(shù)的偏導數(shù)和全微分非常重要

1、第五節(jié)第五節(jié)復合函數(shù)的偏導數(shù)和全微分復合函數(shù)的偏導數(shù)和全微分證證),()(tttu 則則);()(tttv 一、鏈式法則一、鏈式法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導，函數(shù)導，函數(shù)),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)導數(shù)，則復合函數(shù))(),(ttfz 在對應點在對應點t可可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：導，且其導數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲得增量獲得增量設設tt 由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時，時，

2、01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時，時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為稱為dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數(shù)，且函

3、數(shù)的偏導數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對應在對應點點),(vu具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏的兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算導數(shù)存在，且可用下列公式計算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣，設類似地再推廣，設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數(shù)，復合的偏導數(shù)，復合函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對應點在對應點),

4、(yx兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把復復合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似,),(wvyxfz例例 1 1 設設vezus

5、in ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設設tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導導數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 設設),(xyzzyxfw ，f具有二階具有二階 連續(xù)偏導數(shù)，求連續(xù)偏導數(shù)，求xw 和和zxw 2. .解解令令, z

6、yxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 設函數(shù)設函數(shù)),(vufz 具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分dvvzduuzdz ;當當),(yxu 、),(yxv 時，有時，有dyyzdxxzdz .

7、全微分形式不變形的實質(zhì)全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例 4 4 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxye

8、yeyz .2 zxyexe1、鏈式法則、鏈式法則（分三種情況）（分三種情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質(zhì)）（理解其實質(zhì)）三、小結(jié)三、小結(jié)設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題思考題解答思考題解答不相同不相同.等式左端的等式左端的z是作為一個自變量是作為一個自變量x的函數(shù)，的函數(shù)，而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫出來為寫出來為 xx

9、vuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填空題一、填空題: : 1 1、設、設xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設設22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設、設32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設設uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .練練 習習 題題三、設三、設)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、設四、設),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導有一階連續(xù)偏導 數(shù)數(shù)) ), ,求求y

10、zxz ,. .五、設五、設)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏導有一階連續(xù)偏導 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設六、設),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導數(shù)有二階連續(xù)偏導數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz . .七、設七、設,)(22yxfyz 其中為可導函數(shù)其中為可導函數(shù), , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設八、設 ,),(其中其中yyxxz 具有二階導數(shù)具有二階導數(shù), ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .練習題答案練習題答案三、三、xxexxedxdz221)1( . .