D126一致收斂

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性* *第六節(jié)第六節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 第十二章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式, 但一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn). 例如例如, 級(jí)數(shù))()()(1232nnxxxxxxx每項(xiàng)在 0,1 上都連續(xù), 其前 n 項(xiàng)之和為,)(nnxxs和函數(shù))(lim)(xsxsnn10 x, 01x, 1該和函數(shù)

2、在 x1 間斷.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因?yàn)閷?duì)任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收斂域?yàn)?, ) , 但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般項(xiàng)不趨于0, 所以對(duì)任意 x 都發(fā)散 .又如又如, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: 對(duì)什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有:逐項(xiàng)連續(xù) 和函數(shù)連續(xù); 逐項(xiàng)求導(dǎo) = 和函數(shù)求導(dǎo); 逐項(xiàng)積分 = 和函數(shù)積分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè) s(x) 為 )(1xunn若對(duì) 都有一個(gè)只依賴于 的自然數(shù) n , 使 當(dāng)n n 時(shí), 對(duì)區(qū)間 i 上的一切 x 都有)()()(xs

3、xsxrnn則稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間 i 上一致收斂于和函數(shù)s(x) .在區(qū)間 i 上的和函數(shù),任意給定的 0,顯然, 在區(qū)間 i 上 )(1xunn一致收斂于和函數(shù)s(x)部分和序列)(xsn一致收斂于s(x) 余項(xiàng) )(xrn一致收斂于 0 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 幾何解釋幾何解釋 : (如圖) )(xsy)(xsyix)(xsy , 0,nn當(dāng)n n 時(shí),表示)()(xsxsn曲線 )()(xsyxsy與總位于曲線)(xsyn)(xsyn之間.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 研究級(jí)數(shù) ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在區(qū)間 0, +) 上的收斂性.解解: 1

4、11) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxsn)111(nxnx1111nxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(lim)(xsxsnn)1111(limnxxn11x)0( x余項(xiàng)的絕對(duì)值:)()()(xsxsxrnn11nx11n)0( x因此, 任給 0, 取自然數(shù) ,11n則當(dāng)n n 時(shí)有)0()(xxrn這說(shuō)明級(jí)數(shù)在 0, +) 上一致收斂于 .11)(xxs目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收斂 . 證證: nnnnxxxxxxxs)()()(12)(xs10 x

5、, 01x, 1)()()(xsxsxrnn10 x,nx1x, 0取正數(shù) ,21對(duì)無(wú)論多么大的正數(shù) n ,)(11210nx取, 1, 00 x,)(2101xrn而因此級(jí)數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yox說(shuō)明說(shuō)明:11nnnxxs)()(xs10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xs對(duì)任意正數(shù) r 0, 欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrn只要,nn ,)(nnrxr必有即級(jí)數(shù)在 0, r 上一致收斂 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(weierstrass) 判別法判別法 用一致收斂定義判

6、別級(jí)數(shù)的一致收斂性時(shí), 需求出 ),()(xsxsn及這往往比較困難. 下面介紹一個(gè)較方便的判別法.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))(1xunn在區(qū)間 i 上滿足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)nna則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn在區(qū)間 i 上一致收斂 .簡(jiǎn)介 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證:由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理, ,0n當(dāng) n n 時(shí), 對(duì)任意正整數(shù) p , 都有 221pnnnaaa由條件1), 對(duì) x i , 有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa則由上式得令,p2)(xrn故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn在區(qū)間

7、 i 上一致收斂 . 證畢目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxrrab推論推論.若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑 r 0 , 則此級(jí) 數(shù)在 (r, r ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 .證證: ,maxbar 設(shè)則對(duì) a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0rr 而由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級(jí)數(shù) nnnra0絕對(duì)收斂 , 由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立. 說(shuō)明說(shuō)明: 若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂, 則一致收斂 區(qū)間可包含此端點(diǎn). 證畢 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.證明級(jí)數(shù)22222sin22sin1sinnxnxx在(, ) 上 一致

8、收斂 .證證: ),(x因?qū)θ我?,2, 1 ,0(1sin222nnnxn而級(jí)數(shù)021nn收斂, 由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù)在(, )上 一致收斂 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收 斂性, 而且能判別其絕對(duì)收斂性. 當(dāng)不易觀察到不等式時(shí)，nnaxu)(可利用導(dǎo)數(shù)求)(maxxuanixn例如例如, 級(jí)數(shù),1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求導(dǎo)法可得已知2311nn收斂, 因此原級(jí)數(shù)在 0, ) 上一致收斂 . ,1)(25xnxnxun目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、一致收斂級(jí)數(shù)的

9、基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理定理1. 若級(jí)數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xsbaxunn上一致收斂于在區(qū)間.,)(上連續(xù)在則baxs證證: 只需證明, ,0bax . )()(lim00 xsxsxx由于)()(0 xsxs)()()()(00 xrxsxrxsnnnn)()()()(00 xrxrxsxsnnnn;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項(xiàng)baxun目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn因?yàn)榧?jí)數(shù))(1xunn一致收斂于s (x) , n, 0故),(n使當(dāng) n n 時(shí), 有3)(,3)(0 xrxrnn對(duì)這樣選

10、定的 n , ,)(0連續(xù)在xxsn從而必存在 0 ,有時(shí)當(dāng),0 xx3)()(0 xsxsnn從而得)()(0 xsxs,)(0連續(xù)在故xxs).()(lim00 xsxsxx即證畢 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:(1) 定理1 表明, 對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù), 極限運(yùn)算與無(wú)限 求和運(yùn)算可交換, 即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立. 例如例如, 級(jí)數(shù) ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂, 而其和函數(shù))(xs10 x, 01x, 1在 x = 1 處不連續(xù) .目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

11、 返回 結(jié)束 定理定理2. 若級(jí)數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xsbaxunn上一致收斂于在區(qū)間則該級(jí)數(shù)在 a, b 上可逐項(xiàng)積分, xxuxxsnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即對(duì)且上式右端級(jí)數(shù)在 a, b 上也一致收斂 . 證證: 因?yàn)?xxukxxnkd)(01xxsxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項(xiàng)baxun目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所以只需證明對(duì)任意 ),(,00 xxbaxx一致有xxsxxsxxnxxnd)(d)(lim00 根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性, ),(, 0nn 使當(dāng) n n 時(shí), 有abxsxsn)()(于是,

12、 當(dāng) n n 時(shí), 對(duì)一切 ),(,00 xxbaxx有xxsxxsxxnxxd)(d)(00 xxsxsnxxd)()(0 xxsxsnbad)()(因此定理結(jié)論正確. 證畢 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立. 例如例如, 級(jí)數(shù) 2222) 1(221e) 1(2e2xnxnnxnxn它的部分和 ,e2)(222xnnxnxs因此級(jí)數(shù)在 0 , 1 上收斂于 s (x) = 0 , 所以.0d)(10 xxs但是xxnxnxnxnnde) 1(2e22222) 1(2211022ee) 1(1nnn110)(dxxs 對(duì)級(jí)數(shù)定理結(jié)論不成立的原

13、因: 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 級(jí)數(shù)的余項(xiàng) 22e2)(2xnnxnxr,10時(shí)當(dāng)nx )2(1e2)(0nnxrn可見(jiàn)級(jí)數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 , 此即定理2 結(jié)論 對(duì)級(jí)數(shù)不成立的原因. 2222) 1(221e) 1(2e2xnxnnxnxn 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3. 若級(jí)數(shù) 滿足：)(1xunn,)()31上一致收斂在級(jí)數(shù)baxunn,),()(1baxxuxsnn且可逐項(xiàng)求導(dǎo), 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上連續(xù)在,)(1上一致收斂在區(qū)間則baxunn; )(,) 1xsba上收斂于在區(qū)間證證: 先證可逐項(xiàng)求導(dǎo). ),()(1xxunn設(shè)根據(jù)

14、 定理2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有對(duì), ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(asxs上式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得 ).()(xxs再證.,)(1上一致收斂在baxunn根據(jù),d)(1上一致收斂在級(jí)數(shù)baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn定理2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.,上一致收斂在ba級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo). 例如, 例3中的級(jí)數(shù)22222sin22sin1sinnxnxx說(shuō)明說(shuō)明:在任意區(qū)間上都一致收斂, 但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)

15、 xnxx22cos2coscos其一般項(xiàng)不趨于 0, 所以對(duì)任意 x 都發(fā)散 . 證畢 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 證明函數(shù) 31sin)(nnxxfn對(duì)任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù).解解: 顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意 x 都收斂 , 且每項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收斂nn故級(jí)數(shù)在 (, ) 上一致收斂, 故由定理3可知.cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上連續(xù)在 xf定理1 定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理4 . 若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0r)(xs數(shù)nnnxaxs0)(,

16、11nnnxan),(rrxxxaxxsnxnnxdd)(000 ,110nnnxna),(rrx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同,即證證: 由維爾斯特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 可知 和函數(shù)連續(xù)、級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積； 級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可導(dǎo)分兩步證：),(10rrxannnn在先證內(nèi)收斂.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(rrx任取,11rxxx使再取定, 11xxq記則1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值審斂法知 ,10收斂nnqn, 0lim1nnqn故因此存在 m 0 , 使得 ),2, 1(111nmqn

17、xn,01rx 又,10收斂級(jí)數(shù)nnnxa由比較審斂法可知nnxam1,11絕對(duì)收斂nnnxan,ba從而在(r, r)內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂, 故原級(jí)數(shù),0baxannn在上滿足定理3 條件,定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從而可逐項(xiàng)求導(dǎo), 再由a, b 的任意性, 即知 ),(,110rrxxanxannnnnn再證 11nnnxan的收斂半徑 r = r .前面已證 ;rr 11)(, 0nnnxanrxx上對(duì)在定理3 逐項(xiàng)積分, 得,1nnnxa,rr .rr 證畢因逐項(xiàng)積分所得級(jí)數(shù)的收斂半徑不會(huì)縮小, 綜上所述目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 冪級(jí)數(shù) nnnxa0(r, r ) 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 且有 knnknkxaknnnxs) 1() 1()()(),2,