考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強化資料-線性方程組

1、 點這里，看更多數(shù)學(xué)資料 2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-線性方程組知識點講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對1等課程，針對每一個科目要點進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢。模塊七 線性方程組 教學(xué)規(guī)劃【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握線性方程組解的判定定理2、理解基礎(chǔ)解系的概念，掌握線性方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)3、系統(tǒng)總結(jié)線性方程組各類問題的基本求解思路【主要內(nèi)容】1、線性方程組解的存在性2、線性方程組解的唯一性3、線性方程組解的性質(zhì)4、齊次線性方程組

2、的基礎(chǔ)解系5、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)6、線性方程組的各類常見題型【重難點】1、對線性方程組解的判定定理的掌握2、對基礎(chǔ)解系概念的理解及其計算方法的掌握3、各種常見題型的基本思路 知識點回顧一基本概念1線性方程組方程組稱為個方程，個未知量的線性方程組.其中為未知數(shù)，為方程的個數(shù)，為常數(shù)項.如果常數(shù)項，則稱該方程組為齊次線性方程組.相應(yīng)地，如果不全為零，則稱該方程組為非齊次線性方程組，將任一非齊次線性方程組的常數(shù)項改為零所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出組.2線性方程組的矩陣由線性方程組的系數(shù)構(gòu)成的矩陣稱為該線性方程組的系數(shù)矩陣.由線性方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)項構(gòu)成的矩陣稱為該線性方程組的增

3、廣矩陣.如果令，利用矩陣的乘法，我們可以將原線性方程組簡記為.3高斯消元法1）線性方程組的初等變換我們對線性方程組可以作如下的三種變換：（1）將一個非零常數(shù)乘到方程的兩端；（2）將一個方程的倍加到另一個方程上；（3）交換兩個方程的位置.我們將線性方程組的這三種變換稱之為線性方程組的初等變換.對線性方程組做初等變換得到的新的線性方程組與原來的線性方程組是同解的.易知，對線性方程組做初等變換等價于對其增廣矩陣做相應(yīng)的初等行變換.注：由于齊次線性方程組的常數(shù)項恒為零，我們在對其做初等變換時只需對它的系數(shù)矩陣做相應(yīng)的初等行變換.2）高斯消元法我們對線性方程組作初等變換的目的是為了將其化為與之同解的如下

4、形式的線性方程組：在該方程組中，每一個方程都至少比上一個方程少一個未知量，這種方程組稱為階梯型方程組.在階梯型方程組中，每一行的第一個未知量稱為主元，其余的未知量稱為自由變量.階梯型方程組的解是比較容易求得的.將線性方程組通過初等變換化為同解的階梯型方程組的過程就稱之為高斯消元法.易知，利用高斯消元法求解線性方程組就等價于利用初等行變換將線性方程組的矩陣化為階梯型矩陣.注：1）高斯消元法示例：.從最后一個線性方程組中不難求出原線性方程組的解為.2）高斯消元法的矩陣形式對上述的線性方程組，其求解過程等價于對其增廣矩陣作如下的變換：再將最后的增廣矩陣還原為線性方程組同樣可以求出原方程組的解.二解的

5、判定1線性方程組解的存在性定理1：設(shè)，其中為的列向量，則線性方程組有解向量能由向量組線性表出；向量組與向量組等價； ；向量屬于由向量組所生成的向量空間（*數(shù)學(xué)一）.2線性方程解的唯一性定理2：當(dāng)線性方程組有解時，的解不唯一（有無窮多解）線性方程組的導(dǎo)出組有非零解；由向量組線性表出的方式不唯一；向量組線性相關(guān)；.推論1：設(shè)為階方陣，則線性方程組有唯一解的充要條件是.推論2：設(shè)為矩陣，當(dāng)時，必有非零解.三解的結(jié)構(gòu)1解的性質(zhì)1）齊次線性方程組定理3（齊次線性方程組解的性質(zhì)）：如果為齊次線性方程組的兩個解，則對任意的實數(shù)，仍為的解.2）非齊次線性方程組定理4（非齊次線性方程組解的性質(zhì)）：（1）如果為非

6、齊次線性方程組的兩個解，則為的解.（2）如果為非齊次線性方程組的解，為齊次線性方程組的解，則為非齊次線性方程組的解.2基礎(chǔ)解系與通解1）基礎(chǔ)解系a.基礎(chǔ)解系的定義假設(shè)齊次線性方程組有非零解.向量組稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，如果它們滿足如下三個條件：（1）都是的解；（2）線性無關(guān)；（3）的任意解都可以由線性表出.如果為的基礎(chǔ)解系，則的通解可以表示為.b.基礎(chǔ)解系的存在性定理5：設(shè)齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，并且任一個基礎(chǔ)解系中含有個解向量.2）非齊次線性方程組的通解定理6（非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)）：設(shè)為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，為非齊次線性方程組任意一個解，

7、則非齊次線性方程組的通解可以表示為（）.3基礎(chǔ)解系的計算對于具體的齊次線性方程組，我們按照如下的步驟進(jìn)行計算其基礎(chǔ)解系1）設(shè)，則對系數(shù)矩陣實施初等行變換化為階梯型矩陣.找出主元（每行第一個非零元），再進(jìn)一步通過初等行變換將方程組化為“行最簡形”（使得主元所在列稱為一個單位矩陣）.我們給出了主元為前個變量的情形，如下：2）則對應(yīng)的齊次線性方程組可化為如下形式：3）在上述方程中，分別令“自由變量”（主元以外的變量）其中一個為1，其余為0，如下：可以得到個線性無關(guān)的解向量：它們就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系. 考點精講一判斷線性方程組解的情況1數(shù)值型【例1】：（1）已知方程組無解，則 （2）已知方程組

8、有無窮多解，則 【答案】：1）-1； 2）-2【例2】：設(shè)，3階矩陣，且有，求【答案】：1【例3】：設(shè)，已知線性方程組存在兩個不同的解，求，a.【答案】：-1，-2【例4】：取何值時，方程組無解，有唯一解或有無窮多解？【答案】：當(dāng)時：有唯一解； 當(dāng)時：有無窮多解； 當(dāng)時無解.小結(jié)：當(dāng)系數(shù)矩陣為方陣且不易于作初等行變換時，可以借助行列式進(jìn)行討論：當(dāng)時，線性方程組有唯一解；當(dāng)時，從方程中解出未知參數(shù)代入方程組再討論是有無窮多解，還是無解.2抽象型【例5】：設(shè)是矩陣，B是，線性方程組，（ ）(A) 當(dāng)時僅有零解 (B) 當(dāng)必有非零解(C) 當(dāng)時僅有零解 (D) 當(dāng)必有非零解【答案】：D【例6】：設(shè)是

9、階矩陣, 是維列向量,若秩=秩,則線性方程組（ ）(A) 必有無窮多解 (B) 必有惟一解(C) 僅有零解 (D) 必有非零解【答案】：D【例7】：設(shè)線性方程組 （1） （2）其中為在行列式中的代數(shù)余子式， 不全為零.證明（1）有唯一解的充要條件是（2）有唯一解.【例8】：設(shè)為矩陣，為階方陣，.試證明：（1）若，則；（2）若，則.【例9】：設(shè)是矩陣，是維列向量，試判斷下列說法的正誤.（1）如果僅有零解，則有唯一解；（2）如果有兩個不同的解，則有無窮多解；（3）有無窮多解；（4）如果，則有解；（5）如果中存在階非零子式，則齊次線性方程組僅有零解；（6）如果的列向量組線性無關(guān)，則有解（為任意維列向

10、量）.【答案】：FTFTTT二齊次線性方程組的通解1數(shù)值型【例10】：設(shè)，且齊次線性方程組有兩個線性無關(guān)的解，求其基礎(chǔ)解系.【答案】： 【例11】：設(shè)，且向量均為齊次線性方程組的解，試求的通解.【答案】： 2抽象型【例12】：已知是線性方程組的基礎(chǔ)解系，若，試討論當(dāng)滿足什么條件時，也是線性方程組的基礎(chǔ)解系.【答案】：小結(jié)：說明向量組是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的過程可以概括成一句話：證明是的個線性無關(guān)的解.具體來說，一般可以分為如下三步：先說明該向量組中向量均為齊次線性方程組的解，再說明該向量組線性無關(guān)，最后說明.【例13】：已知為階矩陣，令，并假設(shè)，（1）求的基礎(chǔ)解系，（2）求的基礎(chǔ)解系，（3

11、）求的基礎(chǔ)解系.【答案】：1) ; 2) ; 3)當(dāng)時，基礎(chǔ)解系為 。（其中為維基本單位向量） 當(dāng)時，基礎(chǔ)解系為小結(jié)：結(jié)合基礎(chǔ)解系的定義及重要性質(zhì)，我們可以將抽象的線性方程組的基礎(chǔ)解系的計算過程總結(jié)為如下兩個步驟：求；求的個線性無關(guān)的解.若要證明某向量組是的基礎(chǔ)解系，一般也可以按照類似的兩步來進(jìn)行：確定；說明該向量組是的個線性無關(guān)的解.整個求解及證明過程中有兩個主要的考點：一是確定，二是說明向量組線性無關(guān).一般來說，大多數(shù)考題會著重考查其中的一方面.【例14】：假設(shè)為階矩陣，求的通解.【答案】：【例15】：設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若是方程組的一個基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為( ) (A) (

12、B) (C) (D) 【答案】：D【例16】：已知線性方程組 （1）的一個基礎(chǔ)解系為，試寫出線性方程組 （2）的通解，并說明理由【答案】：A的行向量的轉(zhuǎn)置為基礎(chǔ)解系三非齊次線性方程組的通解1數(shù)值型【例17】：求線性方程組的通解.【答案】： 2抽象型【例18】：設(shè)是四元非齊次線性方程組的三個解向量，且秩，c表示任意常數(shù)，由線性方程組的通解（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】：C【例19】：已知方陣，均為維列向量，其中線性無關(guān)，.如果，求線性方程組的通解.【答案】： 【例20】：已知，非齊次線性方程組的通解為，（1）令，求的通解；（2）令，求的通解.【答案】：1) 2） 【例21】：設(shè)是

13、線性方程組的解，是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，令，證明：線性無關(guān)方程組的任一解可表示為.其中四含參數(shù)的線性方程組【例22】：設(shè)齊次線性方程組，試問a為何值時，該方程組有非零解，并求其解.【答案】： 時， 時， 【例23】：設(shè)，（）求（）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解.【答案】：1）； 2） ； 【例24】：已知非齊次線性方程組有三個線性無關(guān)的解.()證明方程組系數(shù)矩陣的秩：()求的值及方程組的通解.【答案】：() ，【例25】：設(shè)，當(dāng)為何值時，存在矩陣使得，并求所有矩陣.【答案】：， 五同解與公共解【例26】：設(shè)線性方程組：與方程：有公共解，求的值及所有公共解.【答案】： 時： ； 時： 【

14、例27】：設(shè)元齊次線性方程組為，又已知某齊次線性方程組的通解為.（1）求線性方程組的基礎(chǔ)解系；（2）問線性方程組和是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解. 若沒有，則說明理由.【答案】：1） ；2） 【例28】：設(shè)為矩陣，為矩陣，證明：和同解.【例29】：設(shè)為矩陣，為矩陣，證明：和同解的充要條件是.六幾何運用（*數(shù)學(xué)一）【例30】：設(shè)矩陣是滿秩的，則直線與直線（ ）(A)相交于一點 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)異面【答案】： A【例31】：設(shè)，則條直線，（其中）交于一點的充要條件是（ ）(A)線性相關(guān) (B)線性無關(guān) (C)秩秩 (D)線性相關(guān)，線性無關(guān).【答案】： D【例32】：設(shè)有三張不同平面的方程，它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為，則這三張平面可能的位置關(guān)系為（ ）【答案】： B小結(jié)：數(shù)學(xué)一在考查線性代數(shù)的相關(guān)知識點時可以和高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何結(jié)合出題.本章的線性方程組在二維的情況下可以看作直角坐標(biāo)下直線的方程，在三維的