方向?qū)?shù)、梯度和泰勒公式課件

1、第六節(jié)第六節(jié)方向?qū)?shù)、梯度和泰勒公式方向?qū)?shù)、梯度和泰勒公式實(shí)例實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）

2、爬行向（即梯度方向）爬行一、問題的提出一、問題的提出 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義oyxlP xyP引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點(diǎn)且上的另一點(diǎn)且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) （如圖）（如圖） |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf

3、 , z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)P沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿著沿著x軸負(fù)向、軸負(fù)向、y軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是 yxff ,.的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)在在，時(shí)時(shí)，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當(dāng)當(dāng)之之比比值值，兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為

4、定定理理如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP是是可可微微分分的的，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 L L 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有 sincosyfxflf ， 其其中中 為為x軸軸到到方方向向 L L 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxe

5、z2 在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(P處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn) )0 , 1(P到到點(diǎn)點(diǎn))1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解故故x軸軸到到方方向向l的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù))4sin(2)4cos( lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,例例 2 2 求求函函數(shù)數(shù)22),(yxyxyxf 在在點(diǎn)點(diǎn)（1，1）沿沿與與x軸軸方方向向夾夾角角為為 的的方方向向射射線線l的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).并并問問在在怎怎樣樣的的方方向向上上此此方方向向?qū)?dǎo) 數(shù)數(shù)有有 （1）最最大大值值； （

6、2）最最小小值值； （3）等等于于零零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)當(dāng)4 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)當(dāng)43 和和47 時(shí)時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),()

7、,(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ） 同同理理：當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在此此點(diǎn)點(diǎn)可可微微時(shí)時(shí)，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有.coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 設(shè)設(shè)n是是曲曲面面632222 zyx 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(P處處的的指指向向外外側(cè)側(cè)的的法法向向量量，求求函函數(shù)數(shù)2122)86(1yxzu 在在此此處處沿沿方方向向n的

8、的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在平平面面區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，都都可可定定出出一一個(gè)

9、個(gè)向向量量jyfixf ，這這向向量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的梯梯度度，記記為為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時(shí)時(shí)，lf 有最大值有最大值.設(shè)設(shè)jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由由方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)公公式式知知 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一

10、個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，x軸軸到到梯梯度度的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角的的正正切切為為xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgr

11、adf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形函函數(shù)數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個(gè)法線方向于函數(shù)在這個(gè)法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個(gè)方向相同，且線的一個(gè)方向相同，且在這點(diǎn)的法在這點(diǎn)的法高線高線的等的等的梯度的方向與點(diǎn)的梯度的方向與點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),( 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一

12、階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過點(diǎn)過點(diǎn) P的等量面的等量面czyx

13、f ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處

14、梯度為 0.1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)（注意梯度是一個(gè)向量向量）四、小結(jié)四、小結(jié).),(最最快快的的方方向向在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yy

15、y |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))2 , 1(到點(diǎn)到點(diǎn) )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.

16、3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個(gè)函數(shù)與某個(gè)函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二二、求求函函數(shù)數(shù))(12222byaxz 在在點(diǎn)點(diǎn))2,2(ba處處沿沿曲曲線線 12222 byax在在這這點(diǎn)點(diǎn)的的內(nèi)內(nèi)法法線線方方向向的的