2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第四講數(shù)列求和學(xué)案新人教版

1、第四講數(shù)列求和知識梳理雙基自測知識點一公式法求和(1)如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式(2)等差數(shù)列的前n項和公式：sn_na1d_n2n_.(3)等比數(shù)列的前n項和公式：sn注意等比數(shù)列公比q的取值情況，要分q1，q1.知識點二分組求和法一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減如若一個數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，則可用分組求和法求其前n項和知識點三倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等且等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等

2、差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的知識點四錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的知識點五裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和知識點六并項求和法在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩合并求解，則稱之為并項求和如an是等差數(shù)列，求數(shù)列(1)nan的前n項和，可用并項求和法求解形如an(1)nf(n)類型，可考慮采用兩項合并求解1常見的裂項公式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；()；(6).題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中

3、打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和為sn.()(2)sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和()(3)當(dāng)n2時，.()(4)求數(shù)列的前n項和可用分組求和()解析(1)因為數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1.則其前n項和為sn.(2)因為sin21sin289sin22sin288sin23sin2871，所以sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和(3)因為.(4)因為數(shù)列是由一個等比數(shù)列與一個等差數(shù)列的和數(shù)列，所以求數(shù)列的前n項和可以用分組求和題組二走進教材2(必修5p6

4、1t4改編)sn等于(b)abcd解析由sn得sn得，sn，sn.3(必修5p47b組t4改編)數(shù)列an的前n項和為sn，若an，則s5等于(b)a1bcd解析an，s5a1a2a51.4(必修5p47t4改編)數(shù)列an的通項公式是an，前n項和為9，則n(b)a9b99c10d100解析因為an.所以sna1a2a3an(1)()()1.所以19，即10，所以n99.故選b題組三走向高考5(2017課標，15,5分)等差數(shù)列an的前n項和為sn，a33，s410，則_.解析本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算及裂項相消法求和設(shè)公差為d，則ann.前n項和sn12n，2，222.6(2020課標，

5、16,5分)數(shù)列an滿足an2(1)nan3n1，前16項和為540，則a1_7_.解析令n2k(kn*)，則有a2k2a2k6k1(kn*)，a2a45，a6a817，a10a1229，a14a1641，前16項的所有偶數(shù)項和s偶517294192，前16項的所有奇數(shù)項和s奇54092448，令n2k1(kn*)，則有a2k1a2k16k4(kn*)a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k1)28146k4k(3k1)(kn*)，a2k1k(3k1)a1(kn*)，a32a1，a510a1，a724a1，a944a1，a1170a1，a13102a1，a15140a1

6、，前16項的所有奇數(shù)項和s奇a1a3a158a12102444701021408a1392448.a17.考點突破互動探究考點一分組求和法師生共研例1 (1)若數(shù)列an的通項公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項和為(c)a2nn21b2n1n21c2n1n22d2nn2(2)已知數(shù)列an的前n項和為sn159131721(1)n1(4n3)，則s15s22s31的值是(d)a13b76c46d76解析(1)sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.(2)因為sn159131721(1)n1

7、(4n3)，所以s15(15)(913)(4953)57(4)75729，s22(15)(913)(1721)(8185)41144，s31(15)(913)(1721)(113117)12141512161，所以s15s22s3129446176.名師點撥分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和變式訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列an的通項公式是an2nn，則其前20項和為(c)a379b399c419d439(2)(2021信陽模擬)已知數(shù)列an中

8、，a1a21，an2則數(shù)列an的前20項和為(c)a1 121b1 122c1 123d1 124解析(1)令數(shù)列an的前n項和為sn，則s20a1a2a3a202(12320)420419.(2)由題意知，數(shù)列a2n是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列a2n1是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前20項和為10121 123.考點二裂項相消法多維探究角度1形如bn(an為等差數(shù)列)型例2 sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，a2an4sn3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解析(1)由a2an4sn3，可知a2an14sn13.可得aa2(an1an)

9、4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn，則tnb1b2bn.角度2形如an型例3 (2021西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x的圖象過點(4,2)，令an，nn.記數(shù)列an的前n項和為sn，則s2 022等于(c)a1b1c1d1解析由f(4)2可得42，解得，則f(x)x.an，s2 022a1a2a3a2 022()()()()1.角度3形如bn(an為等比數(shù)列)型例4 (2021

10、遼寧凌源二中聯(lián)考)已知數(shù)列an與bn的前n項和分別為sn，tn，且an0,6sna3an，nn*，bn，若對任意的nn*，ktn恒成立，則k的最小值是(c)ab49cd解析當(dāng)n1時，6a1a3a1，解得a13或a10(舍去)，又6sna3an，6sn1a3an1，兩式作差可得6an1aa3an13an，整理可得(an1an)(an1an3)0，結(jié)合an0可得an1an30，an1an3，故數(shù)列an是首項為3，公差為3的等差數(shù)列，an3(n1)33n，則bn，tn，k.故選c名師點撥裂項相消法求和在歷年高考中曾多次出現(xiàn)，命題角度凸顯靈活多變在解題中，要善于利用裂項相消的基本思想，變換數(shù)列an的通

11、項公式，達到求解的目的(1)直接考查裂項相消法求和解決此類問題應(yīng)注意以下兩點：抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等如：若an是等差數(shù)列，則，.(2)與不等式相結(jié)合考查裂項相消法求和解決此類問題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式變式訓(xùn)練2(1)(角度1)(2021衡水中學(xué)調(diào)研卷)在數(shù)列an中，an，又bn，則數(shù)列bn的前n項和sn_.(2)(角度2)求和s(a)a5b4c10d9(3)(角度3)an是等比數(shù)列，a2，a5，bn，則數(shù)列bn的前n項和為

12、(a)abcd解析(1)由已知得an(12n)，所以bn4，所以數(shù)列bn的前n項和為sn44.(2)s5，故選a(3)a5a2q3，q3，q，a11，ann1，bnb1b2b3bn.故選a考點三錯位相減法師生共研例5 (2019天津)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nn*)解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意，得解得故an33(n1)3n，bn33n13n.所以，an的通項公式為an3n，bn的通項公式為bn3n.(2)a1c

13、1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)記tn131232n3n，則3tn132233n3n1，得，2tn332333nn3n1n3n1.所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26tn3n23(nn*)名師點撥用錯位相減法解決數(shù)列求和的模板第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列anbn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn(公比q)的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則可用此法求和第二步：(乘公比)設(shè)anbn的前n項和為tn，然后兩邊同乘以q.第三步：(錯位相減)乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(kn*)的項對齊，然

14、后兩邊同時作差第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和化簡，從而表示出tn.用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法(2)在寫出“sn”與“qsn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“snqsn”的表達式(3)“snqsn”化簡的關(guān)鍵是化為等比數(shù)列求和，一定要明確求和的是n項還是n1項，一般是n1項(4)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論求解變式訓(xùn)練3(1)12x3x2nxn1_.(2)(2020課標，17,12分)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，a

15、1為a2，a3的等差中項求an的公比；若a11，求數(shù)列nan的前n項和解析(1)當(dāng)x0時，12x3x2nxn11；當(dāng)x1時，12x3x2nxn1123n，當(dāng)x0且x1時解法一：記sn12x3x2nxn1，則xsnx2x2(n1)xn1nxn，兩式相減得：(1x)sn1xx2xn1nxnnxn，sn解法二：12x3x2nxn1(xx2x3xn)，綜上可知12x3x2nxn1(2)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q11(舍去)，q22.故an的公比為2.記sn為nan的前n項和由(1)及題設(shè)可得，an(2)n1.所以sn12(2)n(2)n1，

16、2sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以sn.考點四倒序相加法師生共研例6 設(shè)f(x)，若sfff，則s_.分析利用f(x)f(1x)1求解解析f(x)，f(1x).f(x)f(1x)1.sfff，sfff，得2s2 021.s.名師點撥倒序相加法應(yīng)用的條件與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和相加的方法求解變式訓(xùn)練4設(shè)f(x)，則fff(1)f(2)f(2 022)_.解析f(x)，f(x)f1.令sfff(1)f(2)f(2 022)則sf(2 022)f(2 021)f(1)ff.2s4 043，s.名師講壇素養(yǎng)提升數(shù)列的綜合應(yīng)用與實際應(yīng)用例7 一次展覽會上展出一套由寶石串聯(lián)制成的工藝品，如圖所示若按照這種規(guī)律依次增加一定數(shù)量的寶石，則第5件工藝品所用的寶石數(shù)為_66_顆；第n件工藝品所用的寶石數(shù)為_2n23n1_.(結(jié)果用n表示)分析設(shè)第n個圖有寶石an顆，逐項研究，尋找規(guī)律解析解法一：設(shè)第n個圖有寶石an顆，則a16，a26541，a3a2542625(12)4，a4a3543635(123)4，a5a4544645(1234)466，an6(n1)5(123(n1)42n23n1.解法二：設(shè)第n個圖有an顆寶石，則a